Въ обѣихъ задачахъ должны слѣдовательно руб. съ руб. составлять 19 руб., или должны быть . Каждая изъ сихъ задачъ даетъ слѣдовательно для опредѣленія двухъ неизвѣствыхъ только одно уравненіе, а потому онѣ не опредѣлены. Не смотря на то, обѣ задачи сильно отличаются другъ отъ друга степенью ихъ неопредѣленности; ибо сущность второй задачи непремѣнно требуетъ для и только цѣлыхъ чиселъ, между тѣмъ какъ первая допускаетъ и дроби. Потому я могу въ первомъ случаѣ для одного изъ двухъ неизвѣстныхъ, напр. для принять произвольное цѣлое или дробное число, только такое, которое взятое 3 раза было бы меньше 19; и изъ того опредѣлить . Я возьму на пр. ; то жды , или : и такъ должны быть менѣе , т. е. , слѣдовательно будетъ тогда половиною или , и я могу отвѣчать: ф. перваго и ф. втораго сорта. Вторая задача гораздо труднѣе; ее ограничиваетъ условіе, что искомыя числа должны непремѣнно быть цѣлыми, и она для того допускаетъ гораздо меньше первой отвѣтовъ. Въ самомъ дѣлѣ, эта задача имѣетъ только три дѣльные отвѣта, именно: 8 бабъ и 1 мужикъ, или 5 бабъ и 3 мужика, или 2 бабы и 5 мужиковъ.
Для всегдашняго удовлетворенія такихъ ограничивающихъ условій потребны совершенно особенныя средства; для того и привели все къ тому относящееся къ одной системѣ правилъ и методъ, и назвали неопредѣленнымъ Анализисомъ или неопредѣленною Аналитикою (см. Аналитика). Такую систему оставилъ намъ Эйлеръ во второй части вышедшей его здѣсь въ С. Петербургѣ Алгебры. Лагранжъ одарилъ ту часть многими занимательными примѣчаніями и прибавками. Неопредѣленный Анализисъ находитъ свое главное примѣчаніе въ весьма важныхъ изслѣдованіяхъ о свойствѣ чиселъ. Такимъ образомъ, подъ именемъ Теоріи чиселъ, образовалась совершенно особенная вѣтвь математическаго Анализиса. Въ XVII столѣтіи по этой части особенно отличался Ферматъ. Его именемъ еще и донынѣ обыкновенно называютъ нѣсколько весьма примѣчательныхъ теоремъ той теорія, оставленныхъ имъ безъ доказательствъ, или, можетъ быть, только угаданныхъ. Въ новѣйшее время систематическимъ обработываніемъ теоріи чиселъ, послѣ того какъ Эйлеръ проложилъ къ тому путь многими разсужденіями, помѣщенными въ сочиненіяхъ здѣшней Академія, особенно занимались Гауссъ (Disquisitiones arithmeticae, 1801) и Лежандръ (Essai sur la théorie des nombres, 2ème éd. 1808). Эта теорія довела до весьма занимательныхъ открытій; изъ числа которыхъ мы упомянемъ о способѣ Гаусса для строенія правильнаго семнадцатиугольника.
Въ заключеніе должны мы здѣсь сказать нѣсколько о такъ называемомъ Анализисѣ соединеній (Combinatorische Analysis, analyse combinatoire), существованіе котораго вѣроятно одолжено нѣкоторымъ идеямъ Лейбница. Въ концѣ прошлаго столѣтія Лейпцигскій профессоръ Гинденбургъ старался привести сію теорію въ наукообразную систему. Подъ Анализисомъ соединеній разумѣютъ науку, разсматривающую величины и символы ихъ только въ отношеніи къ ихъ взаимному мѣсту, и изслѣдывающую, какъ часто многія, одна подлѣ другой находящіяся, вещи могутъ перемѣнить свои мѣста, какъ часто могутъ онѣ быть соединены по двѣ; по три, и т. д. Сколь ни остроумны способы изложенія, методы и правила, изобрѣтенные въ этомъ отношеніи Гинденбургомъ, старшимъ Пфаффомъ, Роте, и многими другими отличными математиками Германіи, сколь ни многообразную пользу, именно своими самыми простѣйшими предложеніями, приноситъ эта теорія нѣкоторымъ частямъ и примѣненіямъ Математики, къ числу послѣднихъ именно относится исчисленіе вѣроятностей, — несмотря на все это, она кажется переоцѣнена въ Германіи, и нельзя многаго ожидать отъ нея въ будущемъ. Безъ успѣха также остались новѣйшіе опыты профессоровъ Геттингенскаго Тибо, Гейдельбергскаго Швейнса, и другихъ, поставить, въ общей теоріи величинъ, Анализисъ соединеній наряду съ собственно такъ называемымъ математическимъ Анализисомъ. Въ 1820 году впервые систематически обработанная Эрлангенскимъ профессоромъ Роте, Теорія комбинаторическихъ интеграловъ или аггрегатовъ значительно полезна тѣмъ, что всѣ относящіяся къ конечнымъ или безконечнымъ рядамъ дѣйствія приводятся ею къ одному простому исчисленію съ общими членами рядовъ, т. е. съ общими выраженіями, изображающими законъ, которому слѣдуютъ всѣ члены ря-
