Когда, по приведеніи надлежащимъ образомъ въ дѣйствіе Анализиса, дошли въ первомъ случаѣ до предложенія, котораго истина признана, или въ послѣднемъ случаѣ до вывода, котораго возможность не подлежитъ ни какому сомнѣнію, и которое потому должно удовлетворить задачѣ, тогда получишь способомъ синтетическимъ, противоположнымъ аналитическому, въ первомъ случаѣ доказательство теоремы, во второмъ синтетическое рѣшеніе вмѣстѣ съ доказательствомъ проблемы. Каждый Анализисъ теоремы можетъ быть продолженъ до тѣхъ поръ, пока не будетъ доведенъ до одного или нѣсколькихъ опредѣленій; ибо одни только опредѣленія должны быть почитаемы собственными источниками всѣхъ остальныхъ математическихъ предложеній. Даже такъ называемыя аксіомы суть, въ строгомъ смыслѣ, одни только слѣдствія опредѣленій. Каждое конечное слѣдствіе Анализиса геометрической проблемы, когда оно возможно или изображаемо, древніе называли Datum. Слово Diorismus означало у нихъ опредѣленіе, сколько и какихъ именно родовъ рѣшенія можетъ допустить задача. Слѣдующіе примѣры объяснятъ сказанное о тѣхъ двухъ случаяхъ, разсмотрѣніемъ которыхъ вообще занимается Геометрическій Анализисъ.
Примѣръ I. Утверждается, что два подобные треугольника относятся одинъ къ другому какъ квадраты ихъ сходственныхъ сторонъ. (Подобные треугольники тѣ, въ которыхъ углы одного равны угламъ другаго, и стороны одного пропорціональны сходственнымъ сторонамъ другаго, т. е. сторонамъ противолежащимъ равнымъ угламъ. См. Отношеніе и Пропорція).
1. Если слѣдовательно и подобные треугольники, и и квадраты, построенные на сходственныхъ сторонахъ и , тогда должно быть: треуг. : треуг. : .
2. Но какъ тр. половина прямоугольника , который имѣетъ одно съ нимъ основаніе и равную высоту или , и также тр. половина прямоугольника , то должно бы быть .
3. Тогда, по теоріи пропорцій, было бы также .
4. Но поелику у прямоугольниковъ и одинакое основаніе , и у прямоугольниковъ и также одинакое основаніе , а, въ силу извѣстнаго предложенія, прямоугольники при равныхъ основаніяхъ относятся какъ ихъ высоты, то должно бы быть: и , слѣдовательно, по 3му пункту, или .
5. Тогда было бы также , т. е. высоты обоихъ треугольниковъ должны бы относиться какъ ихъ основанія: это и дѣйствительно можетъ быть непосредственно выведено изъ опредѣленія подобныхъ треугольниковъ.
1. , потому что треугольники и подобны.
2. , изъ 1 пункта, по теоріи пропорцій и поелику и .
3. и поелику прямоугольники, при равныхъ основаніяхъ, относятся какъ ихъ высоты.
4. и , изъ 2 и 3 пунктовъ.
5. Тр. :тр. , изъ 4 пункта и изъ того, что каждый треугольникъ есть половина прямоугольника, имѣющаго равное съ нимъ основаніе и равную высоту.
Примѣръ II. Требуется провести къ двумъ, на одной плоскости лежащимъ, неравнымъ кругамъ, величина и положеніе которыхъ даны, одну общую касательную, т. е. прямую линію, которая касалась бы каждаго изъ тѣхъ круговъ только въ одной точкѣ.
