1. Діоризмъ. Круги неравны; оттого требуемая касательная не можетъ быть параллельна прямой линіи, проходящей чрезъ центры и . И такъ она должна эту прямую линію пресѣчь или между и , или, потому что кругъ меньше круга въ продолженіи ея со стороны . Но извѣстно, что изъ каждой внѣ круга лежащей точки можно провести къ нему двѣ касательныя. Слѣдовательно, задача не только кажется возможною, но и допускающею даже четыре рѣшенія.
2. Если бы сперва точка пресѣченія касательной съ продолженною прямою была , и если бы тогда точки прикосновенія, надъ или подъ , были и , то, по извѣстному свойству касательныхъ круга, радіусы и должны бы оба стоять перпендикулярно на касательной , слѣдовательно быть другъ другу параллельными. Оттого, по предложенію также извѣстному, должно быть: .
3. То же самое и для другихъ двухъ случаевъ, когда полагается внутри : и тогда должно быть: .
4. Но если, въ каждомъ изъ четырехъ разсмотрѣнныхъ случаевъ, въ центрахъ и устроитъ на перпендикулярные радіусы и , то должно быть также , и потому проходящая чрезъ концы и прямая линія должна пересѣчь линію въ той же точкѣ , какъ и прежде касательная.
5. Для того, чтобы опредѣлить изъ этого искомую точку , должны быть устроены въ точкахъ и на линіи перпендикулярные поперечники, и должны быть проведены, или чрезъ оба верхніе, или чрезъ оба низшіе концы ихъ, или чрезъ одинъ верхній и одинъ низшій конецъ, прямыя линіи до пересѣченія съ линіею или ея продолженіемъ. Но такъ какъ все это всегда возможно, и также всегда, какъ учитъ Геометрія, изъ каждой, внѣ круга лежащей точки, могутъ быть проведены къ нему двѣ касательныя, то и самая предложенная задача возможна и дѣйствительно допускаетъ четыре рѣшенія.
Это послѣднее предложеніе содержитъ слѣдовательно Data задачи, и легко усмотрѣть, какъ учиненный нами Анализъ можетъ быть обращенъ въ синтетическое рѣшеніе задачи.
Древнѣйшими извѣстіями о геометрическомъ Анализисѣ Древнихъ обязаны мы Паппу Александрійскому, Греческому математику второй половины четвертаго столѣтія. До насъ дошла большая часть его Collectiones mathematicae. Въ седьмой книгѣ этого сочиненія описываетъ онъ Анализисъ Древнихъ, и называетъ относящіяся до того предмета сочиненія въ слѣдующемъ порядкѣ: Эвклидовы Data и Porismata; Апполлонія de sectione rationis, de sectione spatii, de sectione determinata; de tactionibus, de inclinationibus, de locis planis и conicorum libri coto; Аристея de lovus solidis; Эвклида de locis ad superficiem, и Эратосѳена de mediis proprtionalibus. Паппъ выписалъ также нѣкоторыя мѣста изъ означенныхъ сочиненій. Изъ нихъ уцѣлѣли только Эвклидовы Data и творенія Аполлонія о коническихъ сѣченіяхъ и de sectione rationis. Нютонъ весьма уважалъ послѣднее изъ сихъ сочиненій, Арабскій переводъ котораго нашелъ Борелли. Въ число аналитиковъ, поименованныхъ Паппомъ, должно по всей справедливости вкдючить его самого. Его остальныя творенія переведены на Латинскій языкъ и истолкованы Коммандиномъ, 1583 и 1660; кромѣ того есть частныя выписки, напримѣръ въ
