Страница:Энциклопедический лексикон Плюшара Т. 2.djvu/199

Эта страница не была вычитана
— 195 —


назвали интеграціею функціи объ одной перемѣнной. Это самая простая изъ теорій интегральнаго исчисленія; она столь же мало сдѣлала успѣховъ, какъ и прочія. Первая проблема, представляющаяся при интеграціи функціи объ одной перемѣнной, должна найти, въ какихъ случаяхъ можетъ быть приведена къ алгебраической функціи извѣстная подъ именемъ интеграла и составленная безконечнымъ множествомъ сложений трансцендентная функція. Математики всегда причисляли функціи логариѳмическія и круговыя къ трансцендентнымъ: онѣ въ самомъ дѣлѣ туда относятся; ибо можно доказать, что онѣ не въ состояніи удовлетворить ни одному алгебраическому уравненію. Интеграція функцій объ одной перемѣнной, продолжаетъ нашъ Академикъ, зависитъ отъ рѣшенія двухъ различныхъ проблемъ. Первая изъ нихъ есть вышепомянутая проблема о приведеніи интеграловъ къ алгебраическимъ функціямъ, или къ другимъ болѣе простымъ интеграламъ. Вторая проблема занимается сравненіемъ интеграловъ или трансцендентныхъ функцій другь съ другомъ, и получила удовлетворительное рѣшеніе въ предложеніи знаменитаго Норвежскаго математика Абеля. До сихъ поръ не обращали большаго вниманія на его Анализъ. Нашъ Академикъ, въ новѣйшей запискѣ, изслѣдовалъ примѣненіе общей методы разрѣшенія первой изъ тѣхъ проблемъ къ интеграціи раціональныхъ дробей[1], почитаемой истощенною со временъ Лейбница и Іоанна Бернулли. Онъ доказываетъ, что во всѣхъ случаяхъ, когда интегралъ такой будетъ алгебраическимъ, то его можно найти, неразрѣшивъ какого нибудь уравненія. Общее рѣшеніе той проблемы не только довело бы до окончанія интеграцію функцій объ одной перемѣнной, но и освободило бы всю науку отъ шаткихъ дѣйствій (tâtonnement), свойственныхъ еще нынѣшнему интегральному исчисленію столь же, сколько наблюдательнымъ наукамъ. Мы сочли долгомъ нѣсколько распространиться о занимательныхъ мнѣніяхъ нашего земляка: они питаютъ въ насъ надежду, что выводы ихъ будутъ содѣйствовать большему возвышенію ученой славы Россіи.

Въ новѣйшія времена Лежандръ прежде всѣхъ обратилъ вниманіе геометровъ на особенный замѣчательный родъ трансцендентныхъ функцій — эллиптическія функціи. Онѣ довели до важныхъ открытій его, Абеля и Кенигсбергскаго Профессора Якоби. Планъ и предѣлы Энциклопедическаго Лексикона позволяютъ только слегка коснуться сего предмета. Потому же мы мало скажемъ нашимъ читателямъ о знаменитой Изопериметрической проблемѣ, въ теченіе почти цѣлаго столѣтія занимавшей умы математиковъ и содѣйствовавшей открытію новой вѣтви дифференціальнаго исчисленія. Мы уже замѣтили, что Ферматъ, прежде всѣхъ, далъ прямую методу для рѣшенія проблемы о наибольшихъ и наименьшихъ величинахъ. Она послѣ того упрощена и обобщена дифференціальнымъ исчисленіемъ. Та метода относилась однако до однѣхъ наибольшихъ или наименьшихъ величинъ координатъ данныхъ кривыхъ линій и поверхностей. Но скоро возвысились до задачъ совершенно новыхъ и болѣе трудныхъ. Надобно было найти кривыя линіи, въ которыхъ извѣстныя величины, зависящія отъ всего протяженія тѣхъ линій, и заключающіяся въ данныхъ предѣлахъ, были бы maxima или minima въ отношеніи ко всѣмъ прочимъ кривымъ линіямъ. Надобно, напр., найти ту кривую линію, которая, оборачиваясь около своей оси, заключила бы, въ данныхъ предѣлахъ, наивозможно большее пространство. Первыя подобныя проблемы предложила Механика. Нютонъ прежде всѣхъ искалъ такой кривой линіи, что оборотившись около оси, произвела бы тѣло, которое, будучи движимо въ жидкости по направленію оси, претерпѣвало бы наивозможно меньшее сопротивленіе (solide de la moindre résistance). Онъ предложилъ, однако же безъ доказательства, пропорцію, достаточную для строенія кривой линіи чрезъ ея касательныя. Открытію аналитической методы, собственно принадлежащей къ тому роду задачъ, подала первый поводъ предложенная въ 1693 году Іоанномъ Бернулли, знаменитая проблема о Брахистохронѣ, линіи наискорѣйшаго ската, т. е. той линіи, по которой тѣло доходитъ въ кратчайшее время отъ одной данной до другой, также данной точки, не находящейся съ первою ни въ горизонтальной, ни въ вертикальной линіи. За этою проблемою слѣдовали проблемы собственно изопериметрическія, которыя требуютъ найти изъ всѣхъ кривыхъ линій, имѣющихъ равный периметръ, т. е. одина-

  1. [Вѣроятно, речь идетъ о Mémorie sur l'intégration des fractions rationnelles М. В. Остроградскаго, опубликованномъ въ Mémoires de l'Academie impériale des sciences de St. Pétersbourg за 1833 г.] — Прим. ред. Викитеки.