Непрерывность и иррациональные числа (Дедекинд; Шатуновский)

Непрерывность и иррациональные числа
автор Рихард Дедекинд, пер. Самуил Осипович Шатуновский

Оригинал: нем. Stetigkeit und irrationale Zahlen. — Перевод опубл.: 1923.

Непрерывность и иррациональные числа

Предисловие автора

Рассуждения, составляющие предмет этого маленького сочинения, относятся к осени 1858 года. Тогда я, в качестве профессора Союзного Политехникума в Цюрихе, в первый раз обязан был по своему положению излагать элементы дифференциального исчисления и при этом чувствовал жи­вее, чем когда-либо, недостаток в действительно научном обосновании арифметики. При изложении понятия о при­ближении переменной величины к постоянному пределу, и именно при доказательстве того положения, что величина, которая возрастает постоянно, но не сверх всяких границ, должна приближаться к некоторому пределу, я прибегал к геометрической наглядности. Да и теперь я из дидактиче­ских оснований считаю такое привлечение геометрической наглядности при первом обучении дифференциальному исчислению необычайно полезным, даже неизбежным, если не хотят потратить слишком много времени. Но никто не ста­нет отрицать того, что этот способ введения в изучение дифференциального исчисления не может иметь никакого притязания на научность.

Во мне тогда это чувство неудовлетворенности преобладало в такой степени, что я принял твердое решение думать до тех пор, пока не найду часто арифметического и вполне строгого основания для начал анализа бесконечных. Говорят часто, что дифференциальное исчисление зани­мается непрерывными величинами, однако же нигде не дают определения этой непрерывности, и даже при самом строгом изложении дифференциального исчисления доказательства не основывают на непрерывности, а апеллируют, более или менее сознательно, либо к геометрическим представлениям, либо к представлениям, которые берут свое начало в гео­метрии, либо, наконец, основывают доказательства на поло­жениях, которые сами никогда не были доказаны чисто арифметическим путем. Сюда относится, например, и выше­ упомянутое положение. Более точное изыскание, убедило меня в том, что это или всякое другое эквивалентное ему предложение может до известной степени рассматриваться, как достаточный фундамент для анализа бесконечных. Все сводится только к тому, чтобы открыть настоящее начало этого положения в элементах арифметики и вместе с этим приобрести действительное определение существа непрерыв­ности. Это мне удалось 24 ноября 1858 года, и, несколько дней спустя, я сообщил результаты своих размышлений моему дорогому другу Durège'у, что повело к продолжи­ тельной и оживленной беседе. Впоследствии я излагал эти мысли о научном обосновании арифметики то одному, то другому из моих учеников, читал также об этом предмете доклад в ученом обществе профессоров здесь, в Брауншвейге, но я не мог окончательно решиться на действительное опу­бликование, потому, во-первых, что изложение предста­вляется не легким, и потому еще, что и самый предмет так мало плодовит. Несколько дней назад, 14 марта, в то время, как я наполовину стал уже подумывать о том, чтобы из­ брать эту тему предметом настоящего юбилейного сочине­ния ^[1], ко мне в руки попала, благодаря любезности ее ав­тора, статья E. Heine (Crelle's Journal. Bd. 74), которая и подкрепила меня в моем решении. По существу я вполне согласен с содержанием этого сочинения, но должен откро­венно сознаться, что мое изложение кажется мне более простым по форме и более точно выдвигающим настоящее ядро вопроса. В то время, как я писал это предисловие (20 марта 1872 г.), я получил интересную статью „Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen“ Gr. Cantor'a (Mathem. Annalenvon von Clebsch und mann. Bd. 5), за которую высказываю искреннюю благо­ дарность остроумному автору. Как мне кажется при быстром чтении, аксиома в § 2 вполне согласуется, независимо от внешней формы изложения, с тем, что я отмечаю ниже в § 3, как сущность непрерывности. Какую же пользу пред­ставит выделение, хотя бы только в понятии, вещественных чисел еще более высокого порядка, я, согласно с моим пониманием системы вещественных чисел, как совершенной в самой себе, еще признать не в состоянии.

§ 1. Свойства рациональных чисел

Хотя арифметика рациональных чисел предполагается здесь уже известной, но мне думается, что полезно будет выдвинуть некоторые главные моменты, не подвергая их обсуждению, с тою только целью, чтобы заранее наметить точку зрения, на которую я становлюсь в последующем из­ложении. Я смотрю на всю арифметику, как на необходи­мое или, по крайней мере, натуральное следствие простейше­го арифметического акта — счета, самый же счет представляет не что иное, как последовательное созидание бесконечного ряда положительных целых чисел, где каждый индивидуум определяется непосредственно ему предшествующим. Про­ стейший акт заключается в переходе от созданного уже индивидуума к следующему, вновь созидаемому. Уже сама по себе цепь этих чисел образует необычайно полезное вспомогательное средство для человеческого ума и представляет неиссякаемое богатство замечательных законов, к которым мы приходим посредством введения четырех основных ариф­метических действий. Сложение есть соединение в один акт упомянутых простейших актов, повторенных сколько угодно раз. Таким же образом из сложения проистекает умножение. Между тем, как обе эти операции всегда вы­ полнимы, выполнимость обратных операций — вычитания и деления — оказывается ограниченной. Каков бы ни был здесь ближайший повод, какие бы сравнения и аналогии с опытом и наблюдением ни приводили к этому, — вопрос об этом мы оставим в стороне; достаточно того, что именно эта ограниченность в выполнении обратных операций всякий раз становилась настоящей причиной нового творческого акта. Так созданы человеческим умом отрицательные и ные числа, благодаря чему приобретено было орудие беско­нечно более высокого совершенства в виде системы всех рациональных чисел. Эта система, которую я обозначу че­рез $R$, обладает прежде всего тою полнотою и закончен­ностью, которую я в другом месте^[2] отметил, как признак числового корпуса (Zahlkörper), и которая состоит в том, что четыре основные операции со всякими двумя индивиду­ умами из $R$ выполнимы, то есть, что результатом этих опе­раций всегда опять является определенный индивидуум из $R$, если только исключить единственный случай деления на нуль.

Для нашей ближайшей цели гораздо более важным яв­ляется другое свойство системы $R$, которое может быть вы­ражено так: система $R$ представляет правильно распреде­ленную, бесконечно простирающуюся в две стороны область одного измерения. Что именно этим хотят сказать — достаточ­ но указывается выбором выражений, заимствованных из обла­сти геометрических представлений; тем более необходимо по­ этому выделить соответствующие им чисто арифметические особенности — чтобы не могло даже только казаться, будто арифметика нуждается в таких чуждых ей представлениях.

Если нужно выразить, что знаки $a$ и $b$ означают одно и то же рациональное число, то полагают одинаково $a=b$ и $b=a$. Различие двух рациональных чисел сказывается в том, что разность $a-b$ имеет или положительное, или отри­цательное значение. В первом случае $a$ больше $b$, $b$ меньше $a$, что и указывается знаками $a>b$, $b<a$^[3]. Так как во вто­ром случае $b-a$ — а имеет положительное значение, то $b>a$, $a<b$. Сообразно с этой двойственностью в характере разли­чия двух чисел $a$ и $b$, имеют место следующие законы:

I. Если $a>b$, $b>c$, то $a>c$. Всякий раз, когда $a$, $c$ будут два различных (или неравных) числа и когда $b$ будет больше одного и меньше другого, мы, не опасаясь отголоска геометрических представлений, будем это выражать так: $b$ лежит между обоими числами $a$, $c$.

II. Если $a$, $c$ суть два различных числа, то всегда су­ществует бесконечное множество чисел, лежащих между $a$, $c$.

III. Если $a$ есть определенное число, то все числа системы $R$ распадаются на два класса $A_{1}$ и $A_{2}$, из коих каждый содержит бесконечно много индивидуумов. Первый класс $A_{1}$ обнимает собой все те числа $a_{1}$ которые меньше $a$; второй класс $A_{2}$ обнимает собою все числа $a_{2}$, которые больше $a$. Само число $a$ может быть отнесено по произволу к первому или ко второму классу и тогда оно соответственно бывает наиболь­шим числом в первом классе или наименьшим числом во втором. В обоих случаях разложение системы $R$ на два класса $A_{1}$, $A_{2}$ таково, что каждое число первого класса $A_{1}$ меньше каждого числа второго класса $A_{2}$.

§ 2. Сравнение рациональных чисел с точками прямой линии

Поставленные нами на вид свойства рациональных чи­сел напоминают о взаимном относительном положении точек прямой линии $L$. Если различать два принадлежащие ей противоположные направления словами „вправо“ и „влево“, и если $p$, $q$ — две различные точки, то либо точка $p$ распо­ложена вправо от $q$, и в то же время $q$ влево от $p$, или, наоборот, $q$ — вправо от $p$, и в то же время $p$ влево от $q$. Тре­тий случай невозможен, если $p$ и $q$ действительно различные точки. Сообразно с этим различием в положении имеют место следующие законы:

I. Если $p$ лежит вправо от $q$ и $q$ опять вправо от $r$, то и $p$ лежит вправо от $r$; говорят тогда, что $q$ лежит между точками $p$ и $r$.

II . Если $p$, $r$ две различные точки, то существует беско­нечное множество точек, лежащих между $p$ и $r$.

III. Если $p$ есть определенная точка на $L$, то все точки на $L$ распадаются на два класса $P_{1}$, $P_{2}$, из коих каждый содержит бесконечное множество индивидуумов. Первый класс $P_{1}$ обнимает собою все те точки которые лежат вправо от $p$, а второй класс $P_{2}$ обнимает все точки, которые лежат влево от $p$. Сама точка $p$ может быть отнесена по произволу к первому или ко второму классу. В обоих слу­чаях разложение прямой $L$ на два класоа или два куска таково, что каждая точка первого класса $P_{1}$ лежит влево от каждой точки второго класса $P_{2}$.

Эта аналогия между рациональными числами и точками прямой становится, как известно, действительною зависи­мостью, когда на прямой выбирают определенную начальную или нулевую точку о и определенную единицу длины для измерения отрезков. При помощи последней можно для каждого рационального числа а построить соответствующую длину, и если нанести ее на прямую от точки о вправо или влево, смотря по тому, есть ли а положительное или отрицательное число, то получим определенную конечную точку $p$, которая может быть принята за точку, соответствующую числу $a$. Рациональному числу нуль соответствует точка $o$. Таким образом, каждому рациональному числу $a$, т. е. каждому индивидууму в $R$, соответствует одна и только одна точка $p$, то-есть, один индивидуум на $L$. Если двум числам $a$, $b$ отвечают две точки $p$, $q$ и если $a>b$, то $p$ лежит вправо от $q$. Законам I, II, III предыдущего параграфа вполне отвечают законы I, II, III настоящего.

§ 3. Непрерывность прямой линии

Но теперь фактом величайшей важности является то обстоятельство, что на прямой $L$ есть бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Действительно, если точка $p$ соответствует рациональному числу $a$, то, как известно, длина $op$ соизмерима с употреблен­ной при построении единицей длины, то есть существует третья длина, так называемая общая мера, относительно которой обе длины представляются целыми кратными. Но уже древние греки знали и доказали, что существуют длины не соизмеримые с данной единицей длины, — например дагональ квадрата, сторона которого есть единица длины. Если нанести такую длину от точки $o$ на прямую. то получим конечную точку, которой не соответствует никакое рацио­нальное число. Так как легко далее показать, что существует бесконечное множество длин, несоизмеримых с единицей длины, то можем утверждать: прямая $L$ бесконечно более богата индивидуумами-точками, чем область $R$ рациональ­ных чисел индивидуумами-числами.

Если же хотят, а это в самом деле желательно, иссле­довать также все явления на прямой и арифметическим пу­тем, то, в виду недостаточности для этой цели рациональ­ных чисел, становится необходимым существенно улучшить построенный путем созидания рациональных чисел инстру­мент $R$, создав новые числа таким образом, чтобы область чисел приобрела ту же полноту, или, скажем прямо, ту же непрерывность, как и прямая линия.

Приведенные до сих пор соображения всем так хорошо известны, что многие сочтут их повторение совершенно из­ лишним.

Однако же, я нахожу их краткое обозрение необходи­мым для того, чтобы надлежащим образом подготовить глав­ный вопрос. Принятое до сих пор введение иррациональ­ных чисел связывается именно с понятием о протяженных величинах — которое само нигде до сих пор не определено — и определяет число, как результат измерения такой величины другою того же рода^[4]. Вместо этого я требую, чтобы ариф­метика развивалась сама из себя. Можно в общем согла­ситься с тем, что такие связи с неарифметическими пред­ ставлениями дали ближайший повод к расширению поня­тия о числе (хотя это решительно не имело места привведении комплексных чисел), но это безусловно не может служить достаточным основанием для того, чтобы ввести в арифметику, науку о числах, эти чуждые ей соображения. Как отрицательные и дробные рациональные числа созданы путем свободного творчества, и как вычисления с этими числами должны были и могли быть сведены к законам числений с положительными целыми числами, точно так же должно стремиться к тому, чтобы иррациональные числа были вполне определены через посредство рациональных чисел. Но как это сделать — вот в чем вопрос.

Предыдущее сравнение области $R$ рациональных чисел с прямою привело к открытию в первой изъянов (Lückenhaftigkeit), неполноты, или разрывности, между тем как прямой мы приписываем полноту, отсутствие пробелов, или непрерывность. В чем же, собственно, состоит эта непрерыв­ность? Все и заключается в ответе на этот вопрос, и только в этом ответе мы приобретаем научное основание для иссле­дования всех непрерывных областей. Смутными разговорами о непрерывной связи малейших частиц, конечно, ничего не достигнешь. Дело идет о том, чтобы дать точный признак непрерывности, который мог бы служить базисом действи­тельных дедукций. Долгое время я напрасно об этом ду­мал, но, наконец, нашел искомое. Разные лица, вероятно, оценят эту находку различно, но все же я думаю, что боль­шинство найдет ее содержание весьма тривиальным. Оно состоит в следующем: в предыдущих параграфах обращено было внимание на то, что каждая точка $p$ прямой произ­водит разложение прямой на две части таким образом, что каждая точка одной части расположена влево от каждой точки другой. Я усматриваю теперь сущность непрерывности в обратном принципе, то-есть, в следующем:

„Если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна и только одна точка, которая производит это разделение прямой на два класса, это рассечение прямой на два куска“^[5]. Как уже и было сказано, я, кажется, не ошибаюсь, приняв, что каждый тотчас же согласится с истинностью этого утверждения; большинство моих читателей будут даже очень разочарованы, узнав, что посредством этой тривиаль­ности должен быть снят покров с тайны непрерывности. По этому поводу я замечу следующее: мне очень приятно, если каждый находит упомянутый принцип столь ясным и в та­кой мере согласным со своим представлением о прямой ли­нии, ибо я решительно не в состоянии привести какое бы то ни было доказательство справедливости этого принципа, и никто не в состоянии этого сделать. Принятие этого свой­ства прямой линии есть не что иное, как аксиома, посред­ством которой мы только и признаем за прямой ее непре­рывность, мысленно вкладываем (hineindenken) непрерыв­ность в прямую. Если вообще пространство имеет реальное бытие, то ему нет необходимости быть непрерывным. Бесчи­сленные его свойства оставались бы теми же, если бы оно было разрывным. И если бы мы знали наверное, что про­странство не обладает непрерывностью, то, при желании, нам все-таки ничто не могло бы помешать сделать его не­прерывным через мысленное заполнение его пробелов. Это заполнение должно было бы состоять в созидании но­вых точек и осуществлялось бы сообразно упомянутому принципу.

§ 4. Созидание иррациональных чисел

Последними словами уже достаточно ясно указывается, каким образом разрывная область $R$ рациональных чисел должна быть дополнена до превращения ее в непрерывную. Как это поставлено было на вид в § 1 (III), каждое рацио­нальное число $a$ производит разложение системы $R$ на два класса $A_{1}$ и $A_{2}$ такого рода, что каждое число $a_{1}$ первого класса меньше каждого числа $a_{2}$ второго класса. Число $a$ представляет либо наибольшее число класса $A_{1}$, либо наи­меньшее число класса $A_{2}$. Если теперь дано какое-либо подразделение системы $R$ на два класса $A_{1}$, $A_{2}$, обладаю­щее только тем характерным свойством, что каждое число $a_{1}$ из $A_{1}$ меньше каждого числа $a_{2}$ из $A_{2}$, то для краткости мы будем называть такое подразделение сечением и будем его обозначать через $(A_{1},A_{2})$. Мы можем тогда сказать, что каждое число $a$ производит одно или, собственно, два се­чения, на которые мы, однако, не будем смотреть, как на существенно различные^[6]; это сечение имеет кроме тою то свойство, что либо между числами первого класса есть наи­большее, либо между числами второго класса существует наименьшее. И наоборот, если сечение обладает и этим свойством, то оно производится этим наибольшим или наи­меньшим числом.

Легко, однако, убедиться в том, что существует бес­численное множество сечений, которые не могут быть про­изведены рациональным числом. Ближайший пример есть следующий.

Пусть $D$ будет положительное целое число, но не ква­драт целого числа. Существует положительное целое число $\lambda$ такого рода, что

$\lambda ^{2}<D<(\lambda +1)^{2}.$

Если возьмем для второго класса $A_{2}$ каждое положи­тельное рациональное число, которого квадрат $>D$, а для первого класса $A_{1}$ все остальные рациональные числа, то это подразделение составит сечение $(A_{1},A_{2})$, то-есть, каждое число $a_{1}$ будет меньше каждого числа $a_{2}$. Именно, когда $a_{1}=0$ или есть отрицательное число, то уже в силу этого $a_{1}$ меньше каждого числа $a_{2}$, ибо это последнее, по определе­нию, представляет собой положительное число. Если же $a_{1}$ есть число положительное, то его квадрат $\leq D$, и, следова­тельно, $a_{1}$ меньше каждого числа $a_{2}$, которого квадрат $>D$.

Это сечение не производится, однако, никаким рацио­нальным числом. Чтобы доказать это, должно прежде всего обнаружить, что нет никакого рационального числа, кото­рого квадрат равен $D$. Хотя это и известно из первых эле­ментов теории чисел, но мы все же находим возможным уделить место следующему косвенному доказательству. Если есть рациональное число, которого квадрат $=D$, то суще­ствуют и два положительных целых числа $t$ и $u$, которые удовлетворяют уравнению

$t^{2}-D^{2}u^{2}=0$

и можно принять, что $u$ есть наименьшее положительное целое число, обладающее тем свойством, что его квадрат че­рез умножение на $D$ обращается в квадрат некоторого це­ лого числа $t$. Так как, очевидно^[7],

$\lambda u<t<(\lambda +1)u$

то число

$u_{1}=t-\lambda u$

есть положительное целое число и притом меньшее, чем $u$. Если, далее, положить

$t_{1}=Du-\lambda t$

то и $t_{1}$ будет положительное^[8] целое число, причем

$t_{1}^{2}-Du_{1}^{2}=(\lambda ^{2}-D)(t^{2}-Du^{2})=0$

что противоречит допущению, сделанному относительно $u$.

Таким образом, квадрат всякого рационального числа $a$ или $<D$, или $>D$. Отсюда легко выводится, что в клас­се $A_{1}$ нет наибольшего, а в классе $A_{2}$ нет наименьшего чи­сла. Действительно, если положить

$y={\frac {x(x^{2}+3D)}{3x^{2}+D}}$

то

$y-x={\frac {2x(D-x^{2})}{3x^{2}+D}}$

и

$y^{2}-D={\frac {(x^{2}-D)^{2}}{(3x^{2}+D)^{2}}}$

Если взять здесь для $x$ положительное число из клас­са $A_{1}$, то $x^{2}<D$, следовательно, $y>x$ и $y^{2}<D$; поэтому $y$ также принадлежит к классу $A_{1}$. Если же положить, что $x$ есть число из класса $A_{2}$ то $y<x$; $x>0$ и $y^{2}>D$, так что $y$ принадлежит к классу $A_{2}$. Это сечение не производится, следовательно, никаким рациональным числом.

В том свойстве, что не все сечения производятся ра­циональными числами, и состоит неполнота, или разрыв­ность, области $R$ рациональных чисел.

Теперь всякий раз, когда нам дано сечение $(A_{1},A_{2})$, которое не может быть произведено никаким рациональ­ным числом, мы создаем новое иррациональное число $\alpha$, которое рассматривается нами, как вполне определенное этим сечением $(A_{1},A_{2})$. Мы скажем, что число $\alpha$ соответствует этому сечению, или что оно производит это сечение. Таким образом, отныне каждому определенному сечению соответ­ ствует одно и только одно рациональное или иррациональное число, и мы будем смотреть на два числа, как на различные или неравные тогда и только тогда, когда они соответствуют существенно различным сечениям.

Чтобы найти основание для распределения всех веще­ственных, т. е. всех рациональных и иррациональных чисел, нам необходимо прежде всего исследовать соотношения между двумя какими-либо сечениями $(A_{1},A_{2})$ и $(B_{1},B_{2})$, производимыми какими угодно двумя числами $\alpha$ и $\beta$. Вся­кое сечение $(A_{1},A_{2})$, очевидно, дано вполне уже в том слу­чае, когда мы знаем один из двух классов, например, пер­вый класс $A_{1}$ потому что второй $A_{2}$ состоит из всех рацио­нальных чисел, не заключающихся в классе $A_{1}$; характерной же особенностью этого первого класса является то, что, за­ключая в себе какое-либо число $a_{1}$ он содержит и все числа, меньшие $a_{1}$. Если теперь сравнить два первых класса этого рода $A_{1}$ и $B_{1}$ то может случиться, 1) что они вполне тожде­ственны, т. е. каждое число, содержащееся в $A_{1}$ содержится также и в $B_{1}$ и каждое число, содержащееся в $B_{1}$ содер­жится и в $A_{1}$. В этом случае $A_{2}$ необходимо тождественно с $B_{2}$; оба сечения вполне тождественны, что мы знаками выражаем через $\alpha =\beta$, или $\beta =\alpha$.

Но если два класса $A_{1}$ и $B_{1}$ не тождественны, то в одном, например, в $A_{1}$ есть число $a_{1}'=b_{2}'$, не содержащееся в классе $B_{1}$ и заключающееся, следовательно, в $B_{2}$; поэтому, все числа $b_{1}$, заключающиеся в $B_{1}$ несомненно, будут мень­ше, чем это число $a_{1}'=b_{2}'$, следовательно, все числа $b_{1}$ за­ ключаются и в $A_{1}$.

Если же 2) это число $a_{1}'$ будет единственным числом в $A_{1}$, не входящим в $B_{1}$, то всякое другое число $a_{1}$, содер­жащееся в $A_{1}$ будет содержаться и в $B_{1}$, а потому $a_{1}$ мень­ше $a_{1}'$, т. е. $a_{1}'$ есть наибольшее между числами $a_{1}$; поэто­му сечение $(A_{1},A_{2})$ производится рациональным числом $\alpha =a_{1}'=b_{1}'$ Относительно второго сечения $(B_{1},B_{2})$ мы уже знаем, что все числа $b_{1}$ класса $B_{1}$ содержатся и в $A_{1}$ а по­тому они меньше, чем число $a_{1}'=b_{2}'$, которое содержится в $B_{2}$; всякое же другое число $b_{2}$ содержащееся в $B_{2}$, должно быть, больше, чем $b_{2}'$, потому что иначе $b_{2}$ было бы также меньше, чем $a_{1}'$, и заключалось бы в $A_{1}$ а следователельно и в $B_{1}$. Таким образом, $b_{2}'$ есть наименьшее между числами, содержащимися в $B_{2}$; следовательно, и сечение $(B_{1},B_{2})$ про­изводится тем же рациональным числом $\beta =b_{2}'=a_{2}'=\alpha$. Оба сечения поэтому несущественно равличны.

Но если 3) в $A_{1}$ есть, по крайней мере два различных рациональных числа $a_{1}'=b_{2}'$ и $a_{1}''=b_{2}''$ не содержащихся в $B_{1}$ то их существует и бесконечное множество, потому что все бесконечное множество чисел, лежащих между $a_{1}'$ и $a_{1}''$ (§ 1,II), содержится, очевидно, в $A_{1}$ но не в $B_{1}$. Два числа $\alpha$ и $\beta$, соответствующие в этом случае существенно различным сечениям $(A_{1},A_{2})$ и $(B_{1},B_{2})$, мы также назовем различными, а именно скажем, что $\alpha$ больше, чем $\beta$, что $\beta$ меньше, чем $\alpha$, и выразим это в знаках как через $\alpha >\beta$, так и через $\beta <\alpha$. Здесь следует иметь в виду, что это опреде­ление вполне совпадает с прежним, когда оба числа $\alpha$ и $\beta$ были рациональными.

Остаются еще следующие возможные случаи: если 4) в $B_{1}$ содержится одно и только одно число $b_{1}=a'_{2}$, не содержащееся в $A_{1}$ то оба сечения $(A_{1},A_{2})$ и $(B_{1},B_{2})$ только несущественно различны и производятся одним и тем же числом $\alpha =a_{2}'=b_{1}'=\beta$. Если же 5) в $B_{1}$ есть, по крайней мере, два различных числа, не содержащихся в $A_{1}$, то $\beta >\alpha$, $\alpha <\beta$

Так как этим исчерпываются все случаи, то заключаем, что из двух различных чисел одно необходимо окажется большим, другое меньшим: здесь два возможных случая. Тре­тий случай невозможен. Это заключалось уже в употре­блении сравнительной степени (больше, меньше) для выра­жения отношения между $\alpha$ и $\beta$; но только теперь выбор та­кого выражения вполне оправдан. Именно при изысканиях такого рода необходимо самым заботливым образом остере­гаться, чтобы, даже при всем желании быть честным, не увлечься и не сделать непозволительных перенесений из одной области в другую из-за поспешного выбора выраже­ний, относящихся к другим, уже развитым представлениям.

Если снова точно обсудим случай $\alpha >\beta$, то найдем, что меньшее число $\beta$ в том случае, когда оно рациональное наверно принадлежит к классу $A_{1}$. Действительно, так как в $A_{1}$ есть число $a_{1}'=b_{2}'$, принадлежащее к классу $B_{2}$, то независимо от того, будет ли $\beta$ наибольшим числом в $B_{1}$ или наименьшим в $B_{2}$, наверное имеем $\beta \leq a_{1}'$ и, следовательно, $\beta$ содержится в $A_{1}$. Точно так же из $\alpha >\beta$ выводится, что большее число $\alpha$, когда оно рациональное, непременно содержится в $B_{2}$, ибо $\alpha \geq a_{1}'$. Соединяя оба соображения найдем следующий результат: если сечение $(A_{1},A_{2})$ произво­дится числом $\alpha$, то всякое рациональное число принадле­жит к классу $A_{1}$ или к классу $A_{2}$, смотря по тому, будет ли оно меньше или больше $\alpha$. Если само число а рациональ­ное, то оно может принадлежать к тому или другому классу.

Отсюда, наконец, вытекает еще и следующее: если $\alpha >\beta$, если, значит, существует бесчисленное множество чи­сел в $A_{1}$ не содержащихся в $B_{1}$, то существует среди них также бесконечное множество таких чисел, которые одновременно отличны и от $\alpha$, и от $\beta$. Каждое такое рациональ­ное число $c<\alpha$, ибо оно содержится в $A_{1}$ и в то же время оно $>\beta$, потому что содержится в $B_{2}$.

§ 5. Непрерывность области вещественных чисел

Сообразно с твердо установленными нами родами раз­личия чисел, система ${\mathfrak {R}}$ всех вещественных чисел образует правильно распределенную область одного измерения. Этим сказано только то, что имеют место нижеследующие законы:

I. Если $\alpha >\beta$ и $\beta >\gamma$, то и $\alpha >\gamma$. Мы будем говорить, что $\beta$ лежит между числами $\alpha$ и $\gamma$.

II. Если $\alpha$, $\gamma$ суть два различных числа, то всегда су­ществует бесконечное множество различных чисел, лежащих между числами $\alpha$ и $\gamma$.

III. Если $\alpha$ есть определенное число, то все числа си­стемы ${\mathfrak {R}}$ распадаются на два класса ${\mathfrak {A}}_{1}$, и ${\mathfrak {A}}_{2}$, из коих каждый содержит бесконечно много индивидуумов. Первый класс ${\mathfrak {A}}_{1}$ обнимает собою все те числа $\alpha _{1}$, которые $<\alpha$; второй класс ${\mathfrak {A}}_{2}$ обнимает все те числа $\alpha _{2}$, которые $>\alpha$. Само число $\alpha$ мо­жет быть отнесено по произволу к первому или ко второму классу и тогда оно соответственно бывает наибольшим чи­слом в первом или наименьшим во втором классе. В обоих случаях разложение системы ${\mathfrak {R}}$ на два класса ${\mathfrak {A}}_{1}$ и ${\mathfrak {A}}_{2}$ таково, что каждое число первого класса ${\mathfrak {A}}_{1}$ меньше каждого числа второго класса ${\mathfrak {A}}_{2}$, и мы говорим, что это разложение произведено числом $\alpha$.

Чтобы быть кратким и не утомлять читателя, я опускаю доказательства этих положений, вытекающие непосредственно из определений предыдущих параграфов. Кроме этих свойств, область ${\mathfrak {R}}$ обладает еще непрерыв­ностью, то есть имеет место следующее предложение:

IV. Если система ${\mathfrak {R}}$ всех вещественных чисел распа­дается на два класса ${\mathfrak {A}}_{1}$ и ${\mathfrak {A}}_{2}$ такого рода, что каждое число $\alpha _{1}$ класса ${\mathfrak {A}}_{1}$ меньше каждого числа $\alpha _{2}$ класса ${\mathfrak {A}}_{2}$, то суще­ствует одно и только одно число $\alpha$, производящее это разло­жение.

Доказательство. Вместе с разложением или сечением ${\mathfrak {R}}$ на два класса ${\mathfrak {A}}_{1}$ и ${\mathfrak {A}}_{2}$ дается и некоторое сечение $(A_{1},A_{2})$ системы $R$ всех рациональных чисел, определяемое тем пра­вилом, что $A_{1}$ содержит все рациональные числа класса ${\mathfrak {A}}_{1}$, а $A_{2}$ все остальные рациональные числа, то есть все рацио­нальные числа класса ${\mathfrak {A}}_{2}$. Пусть $\alpha$ будет то вполне определен­ное число, которым производится это сечение $(A_{1},A_{2})$. Если теперь $\beta$ есть какое-либо число, отличное от $\alpha$, то существует бесконечно много рациональных чисел $c$, которые лежат между $\alpha$ и $\beta$. Если $\beta <\alpha$, то $c<\alpha$; поэтому $c$ принадлежит к классу $A_{1}$ а следовательно, и к классу ${\mathfrak {A}}_{1}$, но так как вместе с этим $\beta <c$, то и $\beta$ принадлежит к тому же классу ${\mathfrak {A}}_{1}$, ибо каждое число в ${\mathfrak {A}}_{2}$ больше каждого числа $c$ из ${\mathfrak {A}}_{1}$. Если же $\beta >\alpha$, то $c>\alpha$; поэтому $c$ принадлежит к классу $A_{2}$, а следо­вательно, и к классу ${\mathfrak {A}}_{2}$; но так как вместе с этим $\beta >c$, то и $\beta$ принадлежит к классу ${\mathfrak {A}}_{2}$, потому что каждое число в ${\mathfrak {A}}_{1}$ меньше каждого числа с из ${\mathfrak {A}}_{2}$. Таким образом, каждое число $\beta$, отличное от $\alpha$, принадлежит или к классу ${\mathfrak {A}}_{1}$ или к классу ${\mathfrak {A}}_{2}$, смотря по тому, будет ли $\beta <\alpha$, или $\beta >\alpha$; сле­довательно, само а представляет либо наибольшее число в ${\mathfrak {A}}_{1}$, либо наименьшее в ${\mathfrak {A}}_{2}$, то есть, $\alpha$ есть некоторое и, оче­видно, единственное число, производящее разложение си­стемы ${\mathfrak {R}}$ на классы ${\mathfrak {A}}_{1}$ и ${\mathfrak {A}}_{2}$. Что и требовалось доказать.

§ 6. Вычисления с вещественными числами

Для того, чтобы вычисление с двумя вещественными числами $\alpha$ и $\beta$ свести к вычислению с рациональными чи­слами, нужно только по двум сечениям $(A_{1},A_{2})$ и $(B_{1},B_{2})$, производимым числами $\alpha$ и $\beta$ в системе $R$ определить сечение $(C_{1},C_{2})$, соответствующее результату $\gamma$ ния^[9]. Мы ограничимся здесь приведением простейшего примера — сложения.

Если $c$ есть какое-либо рациональное число, то мы от­несем его к классу $C_{1}$ когда существует число $a_{1}$ в $A_{1}$ и число $b_{1}$ в $B_{1}$ такого рода, что $a_{1}+b_{1}\geq c$. Все другие числа $c$ отнесем к классу $C_{2}$. Это подразделение всех рациональ­ных чисел на два класса $C_{1}$ и $C_{2}$, очевидно, образует чение, ибо всякое число $c_{1}$ в $C_{1}$ меньше каждого числа $c_{2}$ в $C_{2}$. Если теперь оба числа $\alpha$, $\beta$ рациональные, то каждое содержащееся в $C_{1}$ число $c_{1}\leq \alpha +\beta$, ибо $a_{1}\leq \alpha$ и $b_{1}\leq \beta$, а потому и $a_{1}+b_{1}\leq \alpha +\beta$. Если бы, далее, в $C_{2}$ содержалось какое-либо число $c_{2}<\alpha +\beta$, так что было бы $\alpha +\beta =c_{2}+p$ где $p$ означает положительное число, то мы нашли бы, что

$c_{2}=(\alpha -{\tfrac {1}{2}}p)+(\beta -{\tfrac {1}{2}}p)$

а это находится в противоречии с определением числа $c_{1}$ так как $\alpha -{\tfrac {1}{2}}p$ есть число из $A_{1}$, а $\beta -{\tfrac {1}{2}}p$ есть число из $B_{1}$. Таким образом, каждое содержащееся в $C_{2}$ число $c_{2}>\alpha +\beta$; следовательно, сечение $(C_{1},C_{2})$ образуется в этом случае суммой $\alpha +\beta$. Мы поэтому не погрешим против определе­ния, которое имеет место в арифметике рациональных чи­сел, если во всех случаях будем разуметь под суммой $\alpha +\beta$ двух произвольных вещественных чисел $\alpha$, $\beta$ то число $\gamma$, по­средством которого образуется сечение $(C_{1},C_{2})$^[10]. Далее, если только одно из двух чисел $\alpha$, $\beta$ — например, $\alpha$ — раци­ональное, то легко убедиться, что на сумму $\gamma =\alpha +\beta$ не влияет то обстоятельство, отнесем ли мы а к первому классу $A_{1}$, или ко второму $A_{2}$.

Так же, как сложение, можно определить и остальные опе­рации так называемой элементарной арифметики, а именно составление разности, произведения, степени, корня, лога­рифма. Таким образом можно придти к действительному доказательству теорем (как, например, ${\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}={\sqrt {6}}$), которые, сколько я знаю, до сих пор нигде не доказаны. Слишком большие подробности, которых следует опасаться при определении более сложных операций, лежат частью в природе самого предмета, большею же частью они могут быть устранены. В этом отношении является весьма полезным понятие об интервале, т. е. системе $A$ рациональных чисел, обладающих следующим характерным свойством: если $a$ и $a'$ суть числа системы $A$ то все рациональные числа, лежащие между $a$ и $a'$, содержатся в $A$. Система $R$ ональных чисел, а также и оба класса каждого ее сечения суть интервалы. Если существует рациональное число $a_{1}$ которое меньше каждого числа интервала $A$, и если есть рациональное число $a_{2}$, которое больше каждого числа ин­тервала $A$, то $A$ называется конечным интервалом; в этом случае существует, очевидно, бесконечное множество чисел такого же рода, как $a_{2}$. Вся область $R$ распадается на три куска: $A_{1}$, $A$, $A_{2}$, причем появляются два вполне опреде­ленных рациональных или иррациональных числа $\alpha _{1}$ и $\alpha _{2}$, которые соответственно могут быть названы нижней и верхней (или меньшей и большей) границей интервала $A$. Нижняя граница $\alpha _{1}$ определяется сечением, в котором первый класс образован системой $A_{1}$, верхняя же граница $\alpha _{2}$ определяется сечением, в котором $A_{2}$ образует второй класс. О всяком рациональном или иррациональном числе $\alpha$, лежащем между $\alpha _{1}$ и $\alpha _{2}$, будем говорить, что оно лежит внутри интервала $A$. Когда все числа интервала $A$ являются также числами интервала $B$, то $A$ будет называться куском $B$.

Придется, по-видимому, сделать еще большие отступле­ния, когда желательно будет перенести бесчисленные пред­ложения арифметики рациональных чисел [например, пред­ложение, в силу которого $(a+b)=x=ac+bc$] на произвольные вещественные числа. Это, однако, не так; скоро убеждаешься, что все здесь приводится к доказательству положения, по которому арифметические операции сами обладают некото­рой непрерывностью. То, что я под этим понимаю, я облеку в форму общей теоремы.

„Если число $\lambda$ есть результат вычислений, совершенных над числами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,..., и если $\lambda$ лежит внутри интервала $L$, то можно указать интервалы $A$, $B$, $C$,... (внутри которых ле­жат числа $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,...) такого рода, что результат такого же вычисления, в котором, однако, числа $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,..., заменены любыми числами соответственных интервалов $A$, $B$, $C$,..., будет всегда представлять число, лежащее внутри интервала $L$. Однако же, ужасная трудность, связанная со словесным изложением такой теоремы, убеждает нас в том, что здесь необходимо что-нибудь предпринять для того, чтобы придти в помощь языку: этого мы действительно стигаем самым совершенным образом, когда вводим понятие о переменных величинах, о функциях, о пределах. Всего целесообразнее было бы основать на этих понятиях определения даже простейших арифметических операций, что здесь, однако, не может быть дальше проведено.

§ 7. Анализ бесконечных

В заключение мы уясним себе зависимость между при­ веденными до сих пор соображениями и основными поло­ жениями анализа бесконечных.

Говорят, что переменная величина $x$, пробегающая последовательные определенные численные значения, приближается к постоянному пределу $\alpha$, если она в ходе процесса изменения окончательно^[11] заключается между каждыми двумя числами, между которыми а само лежит, или, что то же, если разность $x-\alpha$, взятая абсолютно, окончательно опускается ниже всякого данного значения, отличного от нуля.

Одно из важнейших предложений гласит так: „Если величина $x$ возрастает постоянно, но не сверх всяких гра­ниц, то она приближается к некоторому пределу“.

Я доказываю это предложение следующим образом: по предположению, существует одно, а следовательно, и бесчисленное множество чисел $\alpha _{2}$ такого рода, что $x$ постоянно остается $<\alpha _{2}$. Я обозначаю через ${\mathfrak {A}}_{2}$ систему всех этих чисел $<\alpha _{2}$ и через ${\mathfrak {A}}_{1}$ систему всех остальных чисел $\alpha _{1}$; каждое из последних имеет то свойство, что впродолжение процесса изменения имеем окончательно $x>\alpha _{1}$; поэтому каждое число $\alpha _{1}$ меньше каждого числа $\alpha _{2}$ и, следовательно, существует число $\alpha$, которое представляет собою или наибольшее в ${\mathfrak {A}}_{1}$, или наименьшее в ${\mathfrak {A}}_{2}$ (§ 5, IV). Первого быть не может, ибо $x$ никогда не перестает возрастать, поэтому а есть наименьшее число в ${\mathfrak {A}}_{2}$. Какое бы число $\alpha _{1}$ мы ни взяли, рано или поздно будет окончательно $\alpha <x<\alpha$ при­ ближается к пределу $\alpha$.

Это предложение эквивалентно принципу непрерывности, то есть оно теряет свою силу, как только мы станем смотреть хотя бы на одно вещественное число, как на число, отсутствующее в области ${\mathfrak {R}}$; или, выражаясь иначе, если это предложение верно, то верна и теорема IV в § 5.

Другое предложение, также ему эквивалентное, но еще более часто встречающееся в анализе бесконечных, гласит так: „Если в процессе изменения величины $x$ можно указать для каждой положительной величины $\delta$ соответствующий момент, начиная с которого $x$ изменяется меньше, чем на $\delta$, то $x$ приближается к некоторому пределу“.

Это обращение легко доказуемой теоремы, по которой переменная величина, приближающаяся к определенному пределу, изменяется, в конце концов, меньше, чем на любую данную положительную величину, может быть выведено как из предыдущего предложения, так и непосредственно из принципа непрерывности. Мы выберем последний путь. Пусть $\delta$ будет произвольная положительная величина (то есть $\delta >0$); по предположению, наступает момент, начиная с которого $x$ изменяется меныше, чем на $\delta$, то есть, если в этот момент $x$ обладает значением $a$, то впоследствии всегда $x>a-\delta$ и $x<a+\delta$. Я оставляю на время первоначальную гипотезу и держусь только сейчас доказанного факта, что все позднейшие значения переменной $x$ лежат между конечными значениями, которые могут быть даны. На этом я основываю двойное подразделение всех вещественных чисел. К системе ${\mathfrak {A}}_{2}$ я отношу всякое число $a_{2}$ (например, $a+\delta$), обладающее тем свойством, что в ходе процесса $x$ окончательно становится $<a_{2}$; к системе ${\mathfrak {A}}_{1}$ я отношу веякое число, не содержащееся в ${\mathfrak {A}}_{2}$. Если $\alpha _{1}$, есть такое число то, как бы далеко процесс ни продолжался, случай $x>\alpha _{1}$ будет еще наступать бесчисленное множество раз^[12] Так как ждое число $\alpha _{1}$ меньше каждого числа $\alpha _{2}$^[13], то существует вполне определенное число $\alpha$, которым производится это сечение $({\mathfrak {A}}_{1},{\mathfrak {A}}_{2})$ системы ${\mathfrak {R}}$ и которое я буду называть верхним пределом переменной величины $x$, остающейся всегда конечною. Но характером изменений переменной $x$ порождается также другое сечение $({\mathfrak {B}}_{1},{\mathfrak {B}}_{2})$ системы ${\mathfrak {R}}$: число $\beta _{1}$ (например, $a-\delta$) заключается в ${\mathfrak {B}}_{1}$ если впродолжение процесса окончательно $x\geq \beta _{1}$ всякое другое число $\beta _{2}$, подлежащее включению в ${\mathfrak {B}}_{2}$, имеет то свойство, что $x$ никогда окончательно не становится $\geq \beta _{2}$, так что случай $x<\beta _{2}$ будет наступать еще бесчисленное множество раз. Число $\beta$, производящее это сечение, пусть называется нижним пределом переменной $x$. Оба числа $\alpha$, $\beta$ очевидно характеризуются следующим свойством: если $\varepsilon$ есть произвольно малая положительная величина, то всегда будет окончательно $x<\alpha +\varepsilon$ и $x>\beta -\varepsilon$ но никогда не будет окончательно $x<\alpha -\varepsilon$ и $x>\beta +\varepsilon$. Теперь возможны два случая. Если $\alpha$ и $\beta$ отличны друг от друга, то необходимо $\alpha >\beta$, ибо всегда $\alpha _{2}>\beta _{1}$; переменная величина $x$ колеблется и, как бы далеко процесс ни пошел, она все еще претерпевает изменения, значения которых превосходят $\alpha -\beta -2\varepsilon$, где $\varepsilon$ означает произвольно малую положительную величину. Первоначальная гипотеза, к которой я теперь только возвращаюсь, находится в противоречии с этим выводом; остается, поэтому, только второй случай $\alpha =\beta$, и так как уже доказано, что как бы мала ни была положительная величина $\varepsilon$, окончательно будет всегда $x<\alpha -\varepsilon$ и $x>\beta +\varepsilon$, то $x$ приближается к пределу $\alpha$, что и требовалось доказать.

Удовольствуемся этими примерами в изложении связи между принципом непрерывности и анализом бесконечных.

---

1. Автор выпустил это сочинение к юбилею своего отца. Примеч. переводчика
2. Vorlesungen über Zahlenteorie von P. G. Lejeune-Dirichlet. Zweite Auflage. § 159.
3. В последующем подразумевается так называемое „алгебра­ическое“ больше и меньше, если только не прибавлено слово „абсолютно“.
4. Кажущееся преимущество общности такого определения числа исчезает тотчас же, как только подумаешь о комплексных числах. На­ оборот, по моему воззрению, понятие отношения двух одпородных величин тогда только может быть ясно развито, когда иррациональные числа уже введены. Примеч. переводчика.
5. То-есть, если, следуя какому бы то ни было закону (правилу), например, подчиняясь условиям некоторой задачи, мы произведем разделение точек прямой на два класса таким образом, что 1) каждая точка прямой принадлежит либо к тому, либо к другому классу, и 2) каждая точка одного класса расположена влево от каждой точки другого класса, то существует одна и только одна точка такого свой­ства, что каждая точка, влево от нее лежащая, принадлежит к одному классу, а все остальные точки прямой принадлежат к другому классу. Если бы мы разорвали прямую, т. е. удалили бы из нее отрезок $AB$ то оставшийся геометрический образ („разорванная“ прямая) был бы разбит на два куска $P$ и $Q$, лежащие с различных сторон изъяна та­ким образом, что 1) каждая точка рассматриваемого образа принадле­жала бы либо к классу $P$, либо к классу $Q$, и 2) если бы кусок $P$, содержащий точку $A$, лежал влево от изъяна, то каждая точка класса $P$ лежала бы влево от каждой точки класса $Q$. Таким образом, каждая точка, лежащая влево от точки $A$, и точка $A$ принадлежали бы к классу $P$, а все остальные точки — к классу $Q$. Точка В обладает подобным же свойством: все точки нашего образа, лежащие влево от В, принадле­жат к классу Р; остальные точки — к классу $P$. Существованием не одной, а двух точек такого свойства, как $A$ и $B$, характеризуется разрывность нашего образа. Невозможностью существования двлгх таких точек и существованием одной точки такого рода определяется непрерывность прямой. Примеч.переводчика.
6. Число $a$ может быть отнесено к первому или второму классу. Оба эти подразделения $R$ на два класса рассматриваются, как два случая одного и того же сечения. В первом случае, когда число $a$ отне­сено к первому классу, оно есть наибольшее число в первом классе, и нельзя указать наименьшего числа во втором классе; во втором случае нет наиболцшего числа в первом классе, но $a$ есть наименьшее число во втором классе. Примеч. переводчика
7. Число $t$ не может быть кратным числа $u$, ибо в противном случае мы, обозначая через $\lambda$ положительное целое, имели бы $t=\lambda u$; $\lambda ^{2}u^{2}-Du^{2}=0$ или $D=\lambda ^{2}$ что недопустимо, так как $D$ не точный ква­драт. Отсюда следует, что $t$ содержится между некоторымии двумя по следовательными членами $\lambda u$ и $(\lambda +1)u$ ряда $u,1u,3u,\dots$ Примеч. переводчика.
8. Ибо $t_{1}u=Du^{2}-\lambda tu=t^{2}-\lambda tu=t(t-\lambda u)=tu_{1}$. Примеч. переводчика.
9. Автор, очевидно, хотел сказать следующее: действия сложения, вычитания, умножения и деления определены были до сих нор только для рациональных чисел; для иррациональных же чисел эти действия не будут иметь смысла до тех пор, пока мы не условимся относительно того, какой именно смысл мы желаем им придавать в применении к иррациональным числам. Так, например, сумму двух иррациональных чисел нельзя определить ни как совокупность, в которой содержится столько единиц и аликвотных частей единицы, сколько их в двух сла­гаемых, вместе взятых, ни индуктивно, как это делал Грассман для це­лых чисел, ибо ни то, ни другое определение не имеет здесь смысла. Мы могли бы и совсем не употреблять термина „сумма“ в применении к иррациональным числам, говоря, что иррациональные числа не имеют суммы, но делать такое или подобное ограничение было бы в высшей степени неудобно; с другой стороны, сообразуясь с выгодами соблю­дения в одной и той же области знания так называемого правила перманентности в определении термина (по этому правилу всякое из­менение в соозначении термина должно совершаться так, чтобы новое соозначение по возможности не только не противоречило прежнему, но заключало бы последнее, как частный случай), будет наиболее целе­сообразным определить термины основных действий над веществен­ными числами так, чтобы в своем новом соозначении эти термины могли быть относимы как к рациональным, так и к иррациональным числам, и чтобы, совершая над рациональными числами действия на основании нового их определения, мы всегда получали прежние ре­ зультаты. Пусть $\gamma$ будет результат совершения некоторого действия О над двумя произвольными рациональными числами $\alpha$ и $\beta$. Если найдем правило К, по которому, зная сечения, производимые числами $\alpha$ и $\beta$, мы всегда в состоянии найти сечение, производимое числом $\gamma$, то действие О можно будет определить, как процесс составления некоторого се­чения по правилу К из сечений, производимых числами $\alpha$ и $\beta$. Такое определение действия О, имея смысл и в том случае, когда одно из чисел $\alpha$ и $\beta$ или оба они иррациональны, обладает евойством перманентности. Процесс отыскания новых перманентных определений дей­ствий при переходе от рациональных чисел ко всей системе веществен­ных чисел автор называет приведением вычислений с вещественными числами к вычислениям с рациональными числами. Примеч. переводчика.
10. Из сечений $(A_{1},A_{2})$ и $(B_{1},B_{2})$ по указанному только что способу. Примеч. переводчика.
11. Автор употребляет слово „definitive“ = „определенно, решительно, окончательно“ в том смысле, что, приобретя какое-либо свойство в определенный момент своего изменения, переменная величина удерживает это свойство в продолжение всего остального хода процесса. Примеч. переводчика.
12. Ибо противное означало бы, что неравенство $x\leq \alpha _{1}$ справедливо окончательно, т. е. $\alpha _{1}$ принадлежало бы к классу ${\mathfrak {A}}_{2}$. Примеч. переводчика.
13. Потому что после того, как величина $x$ окончательно стала $\leq \alpha _{2}$ она еще больше, или сделается еще больше, чем $\alpha _{1}$. Примеч. переводчика.