Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/32

Эта страница была вычитана

рано или поздно будет окончательно $\alpha <x<\alpha$ при ближается к пределу $\alpha$ .

Это предложение эквивалентно принципу непрерывности, то есть оно теряет свою силу, как только мы станем смотреть хотя бы на одно вещественное число, как на число, отсутствующее в области ${\mathfrak {R}}$ ; или, выражаясь иначе, если это предложение верно, то верна и теорема IV в § 5.

Другое предложение, также ему эквивалентное, но еще более часто встречающееся в анализе бесконечных, гласит так: „Если в процессе изменения величины $x$ можно указать для каждой положительной величины $\delta$ соответствующий момент, начиная с которого $x$ изменяется меньше, чем на $\delta$ , то $x$ приближается к некоторому пределу“.

Это обращение легко доказуемой теоремы, по которой переменная величина, приближающаяся к определенному пределу, изменяется, в конце концов, меньше, чем на любую данную положительную величину, может быть выведено как из предыдущего предложения, так и непосредственно из принципа непрерывности. Мы выберем последний путь. Пусть $\delta$ будет произвольная положительная величина (то есть $\delta >0$ ); по предположению, наступает момент, начиная с которого $x$ изменяется меныше, чем на $\delta$ , то есть, если в этот момент $x$ обладает значением $a$ , то впоследствии всегда $x>a-\delta$ и $x<a+\delta$ . Я оставляю на время первоначальную гипотезу и держусь только сейчас доказанного факта, что все позднейшие значения переменной $x$ лежат между конечными значениями, которые могут быть даны. На этом я основываю двойное подразделение всех вещественных чисел. К системе ${\mathfrak {A}}_{2}$ я отношу всякое число $a_{2}$ (например, $a+\delta$ ), обладающее тем свойством, что в ходе процесса $x$ окончательно становится $<a_{2}$ ; к системе ${\mathfrak {A}}_{1}$ я отношу веякое число, не содержащееся в ${\mathfrak {A}}_{2}$ . Если $\alpha _{1}$ , есть такое число то, как бы далеко процесс ни продолжался, случай $x>\alpha _{1}$ будет еще наступать бесчисленное множество раз^[1]

Так как ка-

↑ Ибо противное означало бы, что неравенство $x\leq \alpha _{1}$ справедливо окончательно, т. е. $\alpha _{1}$ принадлежало бы к классу ${\mathfrak {A}}_{2}$ . Примеч. переводчика.

[1] Ибо противное означало бы, что неравенство $x\leq \alpha _{1}$ справедливо окончательно, т. е. $\alpha _{1}$ принадлежало бы к классу ${\mathfrak {A}}_{2}$ . Примеч. переводчика.

[1]