Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/26

найдем следующий результат: если сечение $(A_{1},A_{2})$ произво­дится числом $\alpha$, то всякое рациональное число принадле­жит к классу $A_{1}$ или к классу $A_{2}$, смотря по тому, будет ли оно меньше или больше $\alpha$. Если само число а рациональ­ное, то оно может принадлежать к тому или другому классу.

Отсюда, наконец, вытекает еще и следующее: если $\alpha >\beta$, если, значит, существует бесчисленное множество чи­сел в $A_{1}$ не содержащихся в $B_{1}$, то существует среди них также бесконечное множество таких чисел, которые одновременно отличны и от $\alpha$, и от $\beta$. Каждое такое рациональ­ное число $c<\alpha$, ибо оно содержится в $A_{1}$ и в то же время оно $>\beta$, потому что содержится в $B_{2}$.

§ 5. Непрерывность области вещественных чисел

Сообразно с твердо установленными нами родами раз­личия чисел, система ${\mathfrak {R}}$ всех вещественных чисел образует правильно распределенную область одного измерения. Этим сказано только то, что имеют место нижеследующие законы:

I. Если $\alpha >\beta$ и $\beta >\gamma$, то и $\alpha >\gamma$. Мы будем говорить, что $\beta$ лежит между числами $\alpha$ и $\gamma$.

II. Если $\alpha$, $\gamma$ суть два различных числа, то всегда су­ществует бесконечное множество различных чисел, лежащих между числами $\alpha$ и $\gamma$.

III. Если $\alpha$ есть определенное число, то все числа си­стемы ${\mathfrak {R}}$ распадаются на два класса ${\mathfrak {A}}_{1}$, и ${\mathfrak {A}}_{2}$, из коих каждый содержит бесконечно много индивидуумов. Первый класс ${\mathfrak {A}}_{1}$ обнимает собою все те числа $\alpha _{1}$, которые $<\alpha$; второй класс ${\mathfrak {A}}_{2}$ обнимает все те числа $\alpha _{2}$, которые $>\alpha$. Само число $\alpha$ мо­жет быть отнесено по произволу к первому или ко второму классу и тогда оно соответственно бывает наибольшим чи­слом в первом или наименьшим во втором классе. В обоих случаях разложение системы ${\mathfrak {R}}$ на два класса ${\mathfrak {A}}_{1}$ и ${\mathfrak {A}}_{2}$ таково, что каждое число первого класса ${\mathfrak {A}}_{1}$ меньше каждого числа второго класса ${\mathfrak {A}}_{2}$, и мы говорим, что это разложение произведено числом $\alpha$.

Чтобы быть кратким и не утомлять читателя, я опускаю доказательства этих положений, вытекающие непосредственно из определений предыдущих параграфов.