Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/29

чение, ибо всякое число $c_{1}$ в $C_{1}$ меньше каждого числа $c_{2}$ в $C_{2}$. Если теперь оба числа $\alpha$, $\beta$ рациональные, то каждое содержащееся в $C_{1}$ число $c_{1}\leq \alpha +\beta$, ибо $a_{1}\leq \alpha$ и $b_{1}\leq \beta$, а потому и $a_{1}+b_{1}\leq \alpha +\beta$. Если бы, далее, в $C_{2}$ содержалось какое-либо число $c_{2}<\alpha +\beta$, так что было бы $\alpha +\beta =c_{2}+p$ где $p$ означает положительное число, то мы нашли бы, что

$c_{2}=(\alpha -{\tfrac {1}{2}}p)+(\beta -{\tfrac {1}{2}}p)$

а это находится в противоречии с определением числа $c_{1}$ так как $\alpha -{\tfrac {1}{2}}p$ есть число из $A_{1}$, а $\beta -{\tfrac {1}{2}}p$ есть число из $B_{1}$. Таким образом, каждое содержащееся в $C_{2}$ число $c_{2}>\alpha +\beta$; следовательно, сечение $(C_{1},C_{2})$ образуется в этом случае суммой $\alpha +\beta$. Мы поэтому не погрешим против определе­ния, которое имеет место в арифметике рациональных чи­сел, если во всех случаях будем разуметь под суммой $\alpha +\beta$ двух произвольных вещественных чисел $\alpha$, $\beta$ то число $\gamma$, по­средством которого образуется сечение $(C_{1},C_{2})$^[1]. Далее, если только одно из двух чисел $\alpha$, $\beta$ — например, $\alpha$ — раци­ональное, то легко убедиться, что на сумму $\gamma =\alpha +\beta$ не влияет то обстоятельство, отнесем ли мы а к первому классу $A_{1}$, или ко второму $A_{2}$.

Так же, как сложение, можно определить и остальные опе­рации так называемой элементарной арифметики, а именно составление разности, произведения, степени, корня, лога­рифма. Таким образом можно придти к действительному доказательству теорем (как, например, ${\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}={\sqrt {6}}$), которые, сколько я знаю, до сих пор нигде не доказаны. Слишком большие подробности, которых следует опасаться при определении более сложных операций, лежат частью в природе самого предмета, большею же частью они могут быть устранены. В этом отношении является весьма полезным понятие об интервале, т. е. системе $A$ рациональных чисел, обладающих следующим характерным свойством: если $a$ и $a'$ суть числа системы $A$ то все рациональные числа, лежащие между $a$ и $a'$, содержатся в $A$.

Система $R$ раци-

1. Из сечений $(A_{1},A_{2})$ и $(B_{1},B_{2})$ по указанному только что способу. Примеч. переводчика.