Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/24

между двумя какими-либо сечениями $(A_{1},A_{2})$ и $(B_{1},B_{2})$, производимыми какими угодно двумя числами $\alpha$ и $\beta$. Вся­кое сечение $(A_{1},A_{2})$, очевидно, дано вполне уже в том слу­чае, когда мы знаем один из двух классов, например, пер­вый класс $A_{1}$ потому что второй $A_{2}$ состоит из всех рацио­нальных чисел, не заключающихся в классе $A_{1}$; характерной же особенностью этого первого класса является то, что, за­ключая в себе какое-либо число $a_{1}$ он содержит и все числа, меньшие $a_{1}$. Если теперь сравнить два первых класса этого рода $A_{1}$ и $B_{1}$ то может случиться, 1) что они вполне тожде­ственны, т. е. каждое число, содержащееся в $A_{1}$ содержится также и в $B_{1}$ и каждое число, содержащееся в $B_{1}$ содер­жится и в $A_{1}$. В этом случае $A_{2}$ необходимо тождественно с $B_{2}$; оба сечения вполне тождественны, что мы знаками выражаем через $\alpha =\beta$, или $\beta =\alpha$.

Но если два класса $A_{1}$ и $B_{1}$ не тождественны, то в одном, например, в $A_{1}$ есть число $a_{1}'=b_{2}'$, не содержащееся в классе $B_{1}$ и заключающееся, следовательно, в $B_{2}$; поэтому, все числа $b_{1}$, заключающиеся в $B_{1}$ несомненно, будут мень­ше, чем это число $a_{1}'=b_{2}'$, следовательно, все числа $b_{1}$ за­ ключаются и в $A_{1}$.

Если же 2) это число $a_{1}'$ будет единственным числом в $A_{1}$, не входящим в $B_{1}$, то всякое другое число $a_{1}$, содер­жащееся в $A_{1}$ будет содержаться и в $B_{1}$, а потому $a_{1}$ мень­ше $a_{1}'$, т. е. $a_{1}'$ есть наибольшее между числами $a_{1}$; поэто­му сечение $(A_{1},A_{2})$ производится рациональным числом $\alpha =a_{1}'=b_{1}'$ Относительно второго сечения $(B_{1},B_{2})$ мы уже знаем, что все числа $b_{1}$ класса $B_{1}$ содержатся и в $A_{1}$ а по­тому они меньше, чем число $a_{1}'=b_{2}'$, которое содержится в $B_{2}$; всякое же другое число $b_{2}$ содержащееся в $B_{2}$, должно быть, больше, чем $b_{2}'$, потому что иначе $b_{2}$ было бы также меньше, чем $a_{1}'$, и заключалось бы в $A_{1}$ а следователельно и в $B_{1}$. Таким образом, $b_{2}'$ есть наименьшее между числами, содержащимися в $B_{2}$; следовательно, и сечение $(B_{1},B_{2})$ про­изводится тем же рациональным числом $\beta =b_{2}'=a_{2}'=\alpha$. Оба сечения поэтому несущественно равличны.

Но если 3) в $A_{1}$ есть, по крайней мере два различных рациональных числа $a_{1}'=b_{2}'$ и $a_{1}''=b_{2}''$ не содержащихся