Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/22

Эта страница была вычитана

Если возьмем для второго класса $A_{2}$ каждое положительное рациональное число, которого квадрат $>D$ , а для первого класса $A_{1}$ все остальные рациональные числа, то это подразделение составит сечение $(A_{1},A_{2})$ , то-есть, каждое число $a_{1}$ будет меньше каждого числа $a_{2}$ . Именно, когда $a_{1}=0$ или есть отрицательное число, то уже в силу этого $a_{1}$ меньше каждого числа $a_{2}$ , ибо это последнее, по определению, представляет собой положительное число. Если же $a_{1}$ есть число положительное, то его квадрат $\leq D$ , и, следовательно, $a_{1}$ меньше каждого числа $a_{2}$ , которого квадрат $>D$ .

Это сечение не производится, однако, никаким рациональным числом. Чтобы доказать это, должно прежде всего обнаружить, что нет никакого рационального числа, которого квадрат равен $D$ . Хотя это и известно из первых элементов теории чисел, но мы все же находим возможным уделить место следующему косвенному доказательству. Если есть рациональное число, которого квадрат $=D$ , то существуют и два положительных целых числа $t$ и $u$ , которые удовлетворяют уравнению

t^{2}-D^{2}u^{2}=0

и можно принять, что $u$ есть наименьшее положительное целое число, обладающее тем свойством, что его квадрат через умножение на $D$ обращается в квадрат некоторого це лого числа $t$ . Так как, очевидно^[1],

\lambda u<t<(\lambda +1)u

то число

u_{1}=t-\lambda u

есть положительное целое число и притом меньшее, чем $u$ . Если, далее, положить

t_{1}=Du-\lambda t

то и $t_{1}$ будет положительное^[2]

целое число, причем

↑ Число $t$ не может быть кратным числа $u$ , ибо в противном случае мы, обозначая через $\lambda$ положительное целое, имели бы $t=\lambda u$ ; $\lambda ^{2}u^{2}-Du^{2}=0$ или $D=\lambda ^{2}$ что недопустимо, так как $D$ не точный квадрат. Отсюда следует, что $t$ содержится между некоторымии двумя по следовательными членами $\lambda u$ и $(\lambda +1)u$ ряда $u,1u,3u,\dots$ Примеч. переводчика.
↑ Ибо $t_{1}u=Du^{2}-\lambda tu=t^{2}-\lambda tu=t(t-\lambda u)=tu_{1}$ . Примеч. переводчика.

[1] Число $t$ не может быть кратным числа $u$ , ибо в противном случае мы, обозначая через $\lambda$ положительное целое, имели бы $t=\lambda u$ ; $\lambda ^{2}u^{2}-Du^{2}=0$ или $D=\lambda ^{2}$ что недопустимо, так как $D$ не точный квадрат. Отсюда следует, что $t$ содержится между некоторымии двумя по следовательными членами $\lambda u$ и $(\lambda +1)u$ ряда $u,1u,3u,\dots$ Примеч. переводчика.

[2] Ибо $t_{1}u=Du^{2}-\lambda tu=t^{2}-\lambda tu=t(t-\lambda u)=tu_{1}$ . Примеч. переводчика.

[1]

[2]