ные числа, благодаря чему приобретено было орудие бесконечно более высокого совершенства в виде системы всех рациональных чисел. Эта система, которую я обозначу через , обладает прежде всего тою полнотою и законченностью, которую я в другом месте[1] отметил, как признак числового корпуса (Zahlkörper), и которая состоит в том, что четыре основные операции со всякими двумя индивиду умами из выполнимы, то есть, что результатом этих операций всегда опять является определенный индивидуум из , если только исключить единственный случай деления на нуль.
Для нашей ближайшей цели гораздо более важным является другое свойство системы , которое может быть выражено так: система представляет правильно распределенную, бесконечно простирающуюся в две стороны область одного измерения. Что именно этим хотят сказать — достаточ но указывается выбором выражений, заимствованных из области геометрических представлений; тем более необходимо по этому выделить соответствующие им чисто арифметические особенности — чтобы не могло даже только казаться, будто арифметика нуждается в таких чуждых ей представлениях.
Если нужно выразить, что знаки и означают одно и то же рациональное число, то полагают одинаково и . Различие двух рациональных чисел сказывается в том, что разность имеет или положительное, или отрицательное значение. В первом случае больше , меньше , что и указывается знаками , [2]. Так как во втором случае — а имеет положительное значение, то , . Сообразно с этой двойственностью в характере различия двух чисел и , имеют место следующие законы:
I. Если , , то . Всякий раз, когда , будут два различных (или неравных) числа и когда будет больше одного и меньше другого, мы, не опасаясь отголоска
