бесконечное множество длин, несоизмеримых с единицей длины, то можем утверждать: прямая бесконечно более богата индивидуумами-точками, чем область рациональных чисел индивидуумами-числами.
Если же хотят, а это в самом деле желательно, исследовать также все явления на прямой и арифметическим путем, то, в виду недостаточности для этой цели рациональных чисел, становится необходимым существенно улучшить построенный путем созидания рациональных чисел инструмент , создав новые числа таким образом, чтобы область чисел приобрела ту же полноту, или, скажем прямо, ту же непрерывность, как и прямая линия.
Приведенные до сих пор соображения всем так хорошо известны, что многие сочтут их повторение совершенно из лишним.
Однако же, я нахожу их краткое обозрение необходимым для того, чтобы надлежащим образом подготовить главный вопрос. Принятое до сих пор введение иррациональных чисел связывается именно с понятием о протяженных величинах — которое само нигде до сих пор не определено — и определяет число, как результат измерения такой величины другою того же рода[1]. Вместо этого я требую, чтобы арифметика развивалась сама из себя. Можно в общем согласиться с тем, что такие связи с неарифметическими пред ставлениями дали ближайший повод к расширению понятия о числе (хотя это решительно не имело места привведении комплексных чисел), но это безусловно не может служить достаточным основанием для того, чтобы ввести в арифметику, науку о числах, эти чуждые ей соображения.
Как отрицательные и дробные рациональные числа созданы путем свободного творчества, и как вычисления с этими числами должны были и могли быть сведены к законам вы-
- ↑ Кажущееся преимущество общности такого определения числа исчезает тотчас же, как только подумаешь о комплексных числах. На оборот, по моему воззрению, понятие отношения двух одпородных величин тогда только может быть ясно развито, когда иррациональные числа уже введены. Примеч. переводчика.
