Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/21

§ 4. Созидание иррациональных чисел

Последними словами уже достаточно ясно указывается, каким образом разрывная область $R$ рациональных чисел должна быть дополнена до превращения ее в непрерывную. Как это поставлено было на вид в § 1 (III), каждое рацио­нальное число $a$ производит разложение системы $R$ на два класса $A_{1}$ и $A_{2}$ такого рода, что каждое число $a_{1}$ первого класса меньше каждого числа $a_{2}$ второго класса. Число $a$ представляет либо наибольшее число класса $A_{1}$, либо наи­меньшее число класса $A_{2}$. Если теперь дано какое-либо подразделение системы $R$ на два класса $A_{1}$, $A_{2}$, обладаю­щее только тем характерным свойством, что каждое число $a_{1}$ из $A_{1}$ меньше каждого числа $a_{2}$ из $A_{2}$, то для краткости мы будем называть такое подразделение сечением и будем его обозначать через $(A_{1},A_{2})$. Мы можем тогда сказать, что каждое число $a$ производит одно или, собственно, два се­чения, на которые мы, однако, не будем смотреть, как на существенно различные^[1]; это сечение имеет кроме тою то свойство, что либо между числами первого класса есть наи­большее, либо между числами второго класса существует наименьшее. И наоборот, если сечение обладает и этим свойством, то оно производится этим наибольшим или наи­меньшим числом.

Легко, однако, убедиться в том, что существует бес­численное множество сечений, которые не могут быть про­изведены рациональным числом. Ближайший пример есть следующий.

Пусть $D$ будет положительное целое число, но не ква­драт целого числа. Существует положительное целое число $\lambda$ такого рода, что

$\lambda ^{2}<D<(\lambda +1)^{2}.$

Число $a$ может быть отнесено к первому или второму классу. Оба эти подразделения $R$ на два класса рассматриваются, как два случая одного и того же сечения. В первом случае, когда число $a$ отне­сено к первому классу, оно есть наибольшее число в первом классе, и нельзя указать наименьшего числа во втором классе; во втором случае нет наиболцшего числа в первом классе, но $a$ есть наименьшее число во втором классе. Примеч. переводчика