Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/33

Эта страница была вычитана

ждое число $\alpha _{1}$ меньше каждого числа $\alpha _{2}$ ^[1], то существует вполне определенное число $\alpha$ , которым производится это сечение $({\mathfrak {A}}_{1},{\mathfrak {A}}_{2})$ системы ${\mathfrak {R}}$ и которое я буду называть верхним пределом переменной величины $x$ , остающейся всегда конечною. Но характером изменений переменной $x$ порождается также другое сечение $({\mathfrak {B}}_{1},{\mathfrak {B}}_{2})$ системы ${\mathfrak {R}}$ : число $\beta _{1}$ (например, $a-\delta$ ) заключается в ${\mathfrak {B}}_{1}$ если впродолжение процесса окончательно $x\geq \beta _{1}$ всякое другое число $\beta _{2}$ , подлежащее включению в ${\mathfrak {B}}_{2}$ , имеет то свойство, что $x$ никогда окончательно не становится $\geq \beta _{2}$ , так что случай $x<\beta _{2}$ будет наступать еще бесчисленное множество раз. Число $\beta$ , производящее это сечение, пусть называется нижним пределом переменной $x$ . Оба числа $\alpha$ , $\beta$ очевидно характеризуются следующим свойством: если $\varepsilon$ есть произвольно малая положительная величина, то всегда будет окончательно $x<\alpha +\varepsilon$ и $x>\beta -\varepsilon$ но никогда не будет окончательно $x<\alpha -\varepsilon$ и $x>\beta +\varepsilon$ . Теперь возможны два случая. Если $\alpha$ и $\beta$ отличны друг от друга, то необходимо $\alpha >\beta$ , ибо всегда $\alpha _{2}>\beta _{1}$ ; переменная величина $x$ колеблется и, как бы далеко процесс ни пошел, она все еще претерпевает изменения, значения которых превосходят $\alpha -\beta -2\varepsilon$ , где $\varepsilon$ означает произвольно малую положительную величину. Первоначальная гипотеза, к которой я теперь только возвращаюсь, находится в противоречии с этим выводом; остается, поэтому, только второй случай $\alpha =\beta$ , и так как уже доказано, что как бы мала ни была положительная величина $\varepsilon$ , окончательно будет всегда $x<\alpha -\varepsilon$ и $x>\beta +\varepsilon$ , то $x$ приближается к пределу $\alpha$ , что и требовалось доказать.

Удовольствуемся этими примерами в изложении связи между принципом непрерывности и анализом бесконечных.

↑ Потому что после того, как величина $x$ окончательно стала $\leq \alpha _{2}$ она еще больше, или сделается еще больше, чем $\alpha _{1}$ . Примеч. переводчика.

[1] Потому что после того, как величина $x$ окончательно стала $\leq \alpha _{2}$ она еще больше, или сделается еще больше, чем $\alpha _{1}$ . Примеч. переводчика.

[1]