Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/16

геометрических представлений, будем это выражать так: $b$ лежит между обоими числами $a$, $c$.

II. Если $a$, $c$ суть два различных числа, то всегда су­ществует бесконечное множество чисел, лежащих между $a$, $c$.

III. Если $a$ есть определенное число, то все числа системы $R$ распадаются на два класса $A_{1}$ и $A_{2}$, из коих каждый содержит бесконечно много индивидуумов. Первый класс $A_{1}$ обнимает собой все те числа $a_{1}$ которые меньше $a$; второй класс $A_{2}$ обнимает собою все числа $a_{2}$, которые больше $a$. Само число $a$ может быть отнесено по произволу к первому или ко второму классу и тогда оно соответственно бывает наиболь­шим числом в первом классе или наименьшим числом во втором. В обоих случаях разложение системы $R$ на два класса $A_{1}$, $A_{2}$ таково, что каждое число первого класса $A_{1}$ меньше каждого числа второго класса $A_{2}$.

§ 2. Сравнение рациональных чисел с точками прямой линии

Поставленные нами на вид свойства рациональных чи­сел напоминают о взаимном относительном положении точек прямой линии $L$. Если различать два принадлежащие ей противоположные направления словами „вправо“ и „влево“, и если $p$, $q$ — две различные точки, то либо точка $p$ распо­ложена вправо от $q$, и в то же время $q$ влево от $p$, или, наоборот, $q$ — вправо от $p$, и в то же время $p$ влево от $q$. Тре­тий случай невозможен, если $p$ и $q$ действительно различные точки. Сообразно с этим различием в положении имеют место следующие законы:

I. Если $p$ лежит вправо от $q$ и $q$ опять вправо от $r$, то и $p$ лежит вправо от $r$; говорят тогда, что $q$ лежит между точками $p$ и $r$.

II . Если $p$, $r$ две различные точки, то существует беско­нечное множество точек, лежащих между $p$ и $r$.

III. Если $p$ есть определенная точка на $L$, то все точки на $L$ распадаются на два класса $P_{1}$, $P_{2}$, из коих каждый содержит бесконечное множество индивидуумов. Первый класс $P_{1}$ обнимает собою все те точки которые лежат вправо от $p$, а второй класс $P_{2}$ обнимает все точки, которые