Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/31

Эта страница была вычитана

стигаем самым совершенным образом, когда вводим понятие о переменных величинах, о функциях, о пределах. Всего целесообразнее было бы основать на этих понятиях определения даже простейших арифметических операций, что здесь, однако, не может быть дальше проведено.

§ 7. Анализ бесконечных

В заключение мы уясним себе зависимость между при веденными до сих пор соображениями и основными поло жениями анализа бесконечных.

Говорят, что переменная величина $x$ , пробегающая последовательные определенные численные значения, приближается к постоянному пределу $\alpha$ , если она в ходе процесса изменения окончательно^[1] заключается между каждыми двумя числами, между которыми а само лежит, или, что то же, если разность $x-\alpha$ , взятая абсолютно, окончательно опускается ниже всякого данного значения, отличного от нуля.

Одно из важнейших предложений гласит так: „Если величина $x$ возрастает постоянно, но не сверх всяких границ, то она приближается к некоторому пределу“.

Я доказываю это предложение следующим образом: по предположению, существует одно, а следовательно, и бесчисленное множество чисел $\alpha _{2}$ такого рода, что $x$ постоянно остается $<\alpha _{2}$ . Я обозначаю через ${\mathfrak {A}}_{2}$ систему всех этих чисел $<\alpha _{2}$ и через ${\mathfrak {A}}_{1}$ систему всех остальных чисел $\alpha _{1}$ ; каждое из последних имеет то свойство, что впродолжение процесса изменения имеем окончательно $x>\alpha _{1}$ ; поэтому каждое число $\alpha _{1}$ меньше каждого числа $\alpha _{2}$ и, следовательно, существует число $\alpha$ , которое представляет собою или наибольшее в ${\mathfrak {A}}_{1}$ , или наименьшее в ${\mathfrak {A}}_{2}$ (§ 5, IV). Первого быть не может, ибо $x$ никогда не перестает возрастать, поэтому а есть наименьшее число в ${\mathfrak {A}}_{2}$ .

Какое бы число $\alpha _{1}$ мы ни взяли,

↑ Автор употребляет слово „definitive“ = „определенно, решительно, окончательно“ в том смысле, что, приобретя какое-либо свойство в определенный момент своего изменения, переменная величина удерживает это свойство в продолжение всего остального хода процесса. Примеч. переводчика.

[1] Автор употребляет слово „definitive“ = „определенно, решительно, окончательно“ в том смысле, что, приобретя какое-либо свойство в определенный момент своего изменения, переменная величина удерживает это свойство в продолжение всего остального хода процесса. Примеч. переводчика.

[1]