Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/19

Эта страница была вычитана

числений с положительными целыми числами, точно так же должно стремиться к тому, чтобы иррациональные числа были вполне определены через посредство рациональных чисел. Но как это сделать — вот в чем вопрос.

Предыдущее сравнение области $R$ рациональных чисел с прямою привело к открытию в первой изъянов (Lückenhaftigkeit), неполноты, или разрывности, между тем как прямой мы приписываем полноту, отсутствие пробелов, или непрерывность. В чем же, собственно, состоит эта непрерывность? Все и заключается в ответе на этот вопрос, и только в этом ответе мы приобретаем научное основание для исследования всех непрерывных областей. Смутными разговорами о непрерывной связи малейших частиц, конечно, ничего не достигнешь. Дело идет о том, чтобы дать точный признак непрерывности, который мог бы служить базисом действительных дедукций. Долгое время я напрасно об этом думал, но, наконец, нашел искомое. Разные лица, вероятно, оценят эту находку различно, но все же я думаю, что большинство найдет ее содержание весьма тривиальным. Оно состоит в следующем: в предыдущих параграфах обращено было внимание на то, что каждая точка $p$ прямой производит разложение прямой на две части таким образом, что каждая точка одной части расположена влево от каждой точки другой. Я усматриваю теперь сущность непрерывности в обратном принципе, то-есть, в следующем:

„Если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна и только одна точка, которая производит это разделение прямой на два класса, это рассечение прямой на два куска“^[1].

↑ То-есть, если, следуя какому бы то ни было закону (правилу), например, подчиняясь условиям некоторой задачи, мы произведем разделение точек прямой на два класса таким образом, что 1) каждая точка прямой принадлежит либо к тому, либо к другому классу, и 2) каждая точка одного класса расположена влево от каждой точки другого класса, то существует одна и только одна точка такого свойства, что каждая точка, влево от нее лежащая, принадлежит к одному классу, а все остальные точки прямой принадлежат к другому классу. Если бы мы разорвали прямую, т. е. удалили бы из нее отрезок $AB$ то оставшийся геометрический образ („разорванная“ прямая) был бы разбит на два куска $P$ и $Q$ , лежащие с различных сторон изъяна таким образом, что 1) каждая точка рассматриваемого образа принадлежала бы либо к классу $P$ , либо к классу $Q$ , и 2) если бы кусок $P$ , содержащий точку $A$ , лежал влево от изъяна, то каждая точка класса $P$ лежала бы влево от каждой точки класса $Q$ . Таким образом, каждая точка, лежащая влево от точки $A$ , и точка $A$ принадлежали бы к классу $P$ , а все остальные точки — к классу $Q$ . Точка В обладает подобным же свойством: все точки нашего образа, лежащие влево от В, принадлежат к классу Р; остальные точки — к классу $P$ . Существованием не одной, а двух точек такого свойства, как $A$ и $B$ , характеризуется разрывность нашего образа. Невозможностью существования двлгх таких точек и существованием одной точки такого рода определяется непрерывность прямой. Примеч.переводчика.

[1] То-есть, если, следуя какому бы то ни было закону (правилу), например, подчиняясь условиям некоторой задачи, мы произведем разделение точек прямой на два класса таким образом, что 1) каждая точка прямой принадлежит либо к тому, либо к другому классу, и 2) каждая точка одного класса расположена влево от каждой точки другого класса, то существует одна и только одна точка такого свойства, что каждая точка, влево от нее лежащая, принадлежит к одному классу, а все остальные точки прямой принадлежат к другому классу. Если бы мы разорвали прямую, т. е. удалили бы из нее отрезок $AB$ то оставшийся геометрический образ („разорванная“ прямая) был бы разбит на два куска $P$ и $Q$ , лежащие с различных сторон изъяна таким образом, что 1) каждая точка рассматриваемого образа принадлежала бы либо к классу $P$ , либо к классу $Q$ , и 2) если бы кусок $P$ , содержащий точку $A$ , лежал влево от изъяна, то каждая точка класса $P$ лежала бы влево от каждой точки класса $Q$ . Таким образом, каждая точка, лежащая влево от точки $A$ , и точка $A$ принадлежали бы к классу $P$ , а все остальные точки — к классу $Q$ . Точка В обладает подобным же свойством: все точки нашего образа, лежащие влево от В, принадлежат к классу Р; остальные точки — к классу $P$ . Существованием не одной, а двух точек такого свойства, как $A$ и $B$ , характеризуется разрывность нашего образа. Невозможностью существования двлгх таких точек и существованием одной точки такого рода определяется непрерывность прямой. Примеч.переводчика.

[1]