Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание III/ДО

Примѣчаніе III : О поризмахъ Евклида
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг.. Источникъ: Сканы, размещённые на Викискладе

О поризмахъ Евклида

Примѣчаніе къ n° 8

Мы обязаны Р. Симсону возстановленіемъ особой формы, свойственной предложеніямъ, называвшимся у древнихъ Porismata, и разъясненіемъ нѣкоторыхъ изъ нихъ по неполнымъ указаніямъ Паппа. Въ разныхъ мѣстахъ своего сочиненія Симсонъ воспроизводитъ также и 38 леммъ, заключающихся въ Collectiones mathematicae и относящихся къ Porismata съ доказательствами очень часто упрощенными и пополненными; здѣсь же онъ приводитъ доказательства пяти теоремъ, превращенныхъ Ферматомъ въ поризмы, и еще многихъ весьма общихъ предложеній о кругѣ, найденныхъ Стевартомъ и представляющихъ настоящія поризмы.

Но намъ кажется, что Симсонъ не затронулъ еще многихъ другихъ вопросовъ, рѣшеніе которыхъ необходимо для полнаго разъясненія ученія о поризмахъ. У него не объяснено напримѣръ, какою мыслію руководствовался Евклидъ, представляя свое сочиненіе въ такой необычной формѣ; въ какомъ отношеніи это сочиненіе заслуживало того предпочтенія, которое даетъ ему Паппъ; какими способами и дѣйствіями замѣнилось ученіе о поризмахъ въ новой наукѣ; и наконецъ, какъ удовлетворительно объяснить нѣкоторыя мѣста о поризмахъ у Паппа и опредѣленіе ихъ у Прокла. Однимъ словомъ, мы хотимъ сказать, что ученіе о поризмахъ, ихъ происхожденіе, т. е. разумная цѣль, вызвавшая ихъ, ихъ опредѣленіе, употребленіе, приложенія и то, что замѣнило ихъ въ новѣшихъ ученіяхъ, — все это — тайны, нисколько не разгаданныя въ трудѣ Симсона. Къ этому нужно прибавить, что имъ возстановлено только шесть изъ тридцати поризмъ, приводимыхъ Паппомъ.

По нашему мнѣнію, нѣкоторая тьма еще лежитъ на этомъ вопросѣ, доставшемся намъ въ наслѣдіе отъ древняго міра, если только для разъясненія его несуществуетъ другихъ неизвѣстныхъ намъ сочиненій, и если мы вправѣ счесть себя достаточно проницательными, чтобы понимать сочиненіе Симсона.

Размышленія объ этомъ предметѣ долгое время занимали насъ исключительно и часто отвлекали отъ занятій, которымъ мы хотѣли себя посвятить: интересъ былъ сильнѣе воли. Такимъ образомъ мы составили себѣ нѣкоторыя представленія объ ученіи о поризмахъ и возстановили 24 выраженія Паппа, не затронутыя Симсономъ. Здѣсь мы предлагаемъ краткій разборъ нашей работы, разсчитывая при этомъ на снисхожденіе читателей; понятно, что къ подобному изслѣдованію, составлявшему предметъ живыхъ стремленій величайшихъ геометровъ, мы приступаемъ съ чувствомъ страха и недовѣрія, возбуждаемымъ въ насъ сознаніемъ нашей слабости.

При недостаткѣ документовъ, помощію которыхъ было бы возможно вполнѣ возстановить ученіе о поризмахъ аналитическимъ путемъ, мы принуждены, такъ сказать, составить вновь это ученіе a priori, путемъ чистаго синтеза. При этомъ оно должно быть построено на всѣхъ данныхъ и должно быть подвергнуто всѣмъ испытаніямъ, которыя только могутъ быть извлечены изъ сохранившихся до нашего времени отрывковъ.

Понятіе о Porismata слѣдуетъ производить, какъ намъ кажется, изъ понятія о Data, и, по нашему мнѣнію, таково было его происхожденіе въ сознаніи самого Евклида.

Porismata были то же самое по отношенію къ мѣстамъ, что были Data по отношенію къ простымъ теоремамъ элементовъ; такъ что поризмы и данныя составляли дополненія къ элементамъ геометріи, служившія для облегченія примѣненій ихъ къ рѣшенію задачъ ^[1]. Съ этой точки зрѣнія главное назначеніе поризмъ заключается въ томъ, что онѣ ведутъ къ познанію мѣстъ, доставляя средство изъ условій, опредѣляющихъ искомое мѣсто, выводить другія, яснѣе указывающія его видъ и положеніе.

Если, напримѣръ, мы ищемъ мѣсто точки, для которой квадраты ея разстояній отъ двухъ неподвижныхъ точекъ, умноженные соотвѣтственно на два постоянныя количества, имѣютъ постоянную сумму; то мы докажемъ, что существуетъ неподвижная точка, разстояніе которой отъ всѣхъ точекъ, удовлетворяющихъ вопросу, постоянно; потомъ изъ данныхъ вопроса опредѣлимъ положеніе этой неподвижной точки и величину постояннаго разстоянія.

Такимъ образомъ получится поризма, которая показываетъ, что мѣсто искомой точки есть окружность.

Этотъ примѣръ показываетъ, въ чемъ состояло употребленіе поризмъ. Собраніе поризмъ заключало въ себѣ рядъ, различныхъ признаковъ и опредѣленій кривыхъ линій (въ книгѣ Евклида только прямой линіи и круга); это былъ сводъ преобразованій ихъ различныхъ свойствъ; поэтому поризмы въ смыслѣ Евклида были въ нѣкоторомъ родѣ уравненіями кривыхъ линій. Ими достигалась простота и удобство способовъ координатъ, (разумѣя подъ этимъ словомъ всевозможные способы выражать кривую посредствомъ двухъ или многихъ перемѣнныхъ).

Ученіе о поризмахъ было такимъ образомъ аналитическою геометріею древнихъ; и если бы оно дошло до насъ, мы можетъ быть усмотрѣли бы въ немъ зачатки Декартова ученія. Мы дeмаемъ по крайней мѣрѣ, что уравненіе прямой линіи заключалось въ поризмахъ Евклида, конечно не въ алгебраической формѣ, въ которой мы пользуемся имъ теперь. Для примѣра нами приведена въ текстѣ одна изъ такихъ поризмъ. Въ другой разъ мы подтвердимъ это мнѣніе многими доказательствами. И если эти первыя соображенія наши не покажутся лишенными всякой вѣроятности, то мы можетъ прибавить, что Евклиду недоставало только употребленія алгебры, чтобы создать систему координатъ, появляющуюся только со времени Декарта.

Вотъ общая задача, для которой, какъ намъ кажется, Евклидъ назначалъ свои поризмы:

«Геометрическое мѣсто дано посредствомъ общаго построенія всѣхъ его точекъ, или посредствомъ извѣстной системы координатъ; требуется найти другое построеніе, или другую систему координатъ, которымъ удовлетворяли бы всѣ точки этого мѣста и изъ которыхъ можно бы было узнать его видъ и положеніе».

Согласно съ содержаніемъ этой общей задачи, цѣль поризмъ заключаласъ въ томъ, чтобы облегчить преобразованія построеній или координатъ, принадлежащихъ всѣмъ точкамъ кривой; и сочиненіе Евклида было собраніемъ формулъ, служившихъ для достиженія этой цѣли.

Поэтому Проклъ справедливо говоритъ, что въ поризмахъ дѣло идетъ о нахожбеніи нѣкотораго искомаго, которое ищется и разсматривается не само для себя. Въ самрмъ дѣлѣ, въ нихъ ищутся новые способы построенія, или новыя координаты, только какъ вспомогательныя средства для главной задачи, т. е. для изученія и изслѣдованія кривыхъ.

Поризмы, заключавшіяся въ трехъ книгахъ Евклида, представляли собраніе формулъ, служившихъ для построенія мѣстъ, именно для прямой линіи, точки и круга. Это были извѣстные въ то время, или найденные Евклидомъ, способы выражать различныя построенія этихъ трехъ мѣстъ помощію двухъ, извѣстнымъ образомъ связанныхъ, координатъ и переходить отъ одного изъ построеній къ другому.

Онѣ имѣли также цѣлію приводить къ одному и тому же построенію, или къ одной и той же системѣ координатъ, различныя части фигуры, образуемыя, вслѣдствіе условій задачи, различными построеніями, или координатами,— дѣйствіе, которое въ нѣкоторыхъ отношеніяхъ сходно съ приведеніемъ многихъ численныхъ или буквенныхъ дробей къ общему знаменателю; дѣйствіе, польза котораго признана въ современной геометріи и которое мы постоянно прилагаемъ во всѣхъ отдѣлахъ математики, когда употребляемъ разнаго рода вспомогательныя координаты и, смотря по требованіямъ задачи, преобразуемъ ихъ одни въ другія.

Польза поризмъ будетъ видна, можетъ быть, еще яснѣе, если мы ихъ сравнимъ также съ другими новѣйшими пріемами.

Древніе для сравненія различныхъ мѣстъ между собою не имѣли общаго средства, которое могло бы руководить ихъ въ геометрическихъ изысканіяхъ и которымъ мы пользуемся со времени Декарта. Для насъ достаточно выразить мѣсто въ обыкновенныхъ координатахъ, чтобы прямо видѣть его главный характеръ. Затѣмъ изслѣдованіе уравненія показываетъ намъ частныя свойства и особенности кривой и мѣсто, которое она, какъ видъ, занимаетъ въ своемъ семействѣ. Такимъ образомъ нахожденіе уравненія геометрическаго мѣста по системѣ Декарта есть единственный опытъ, который нужно произвести, чтобы узнать общій характеръ мѣста, его положеніе, и отношеніе его къ другимъ извѣстнымъ геометрическимъ мѣстамъ. Древніе не обладали такимъ общимъ и однообразнымъ пріемомъ изслѣдованія. Не имѣя постояннаго образца для сравненія, они принуждены были изобрѣтать различныя средства для распознаванія, въ какихъ отношеніяхъ находится новое, въ первый разъ встрѣтившееся, геометрическое мѣсто къ другимъ уже извѣстнымъ мѣстамъ. Эти средства могли состоять только въ преобразованіи построеній и координатъ съ намѣреніемъ открыть простѣйшія соотношенія, или даже тождество, даннаго мѣста съ извѣстными прежде.

Таково происхожденіе поризмъ. Цѣль ихъ заключалась въ замѣненіи одного геометрическаго или аналитическаго выраженія кривой линіи другимъ.

Эти соображенія объясняютъ связь ученія о поризмахъ съ современными намъ методами и въ то же время показываютъ, какая польза должна была въ нихъ заключаться. Разсматриваемыя съ такой точки зрѣнія, поризмы представляли дѣйствительно аналитическую геометрію, отъ которой наша отличается только алгебраическими пріемами и обозначеніемъ, честь введенія которыхъ принадлежитъ Декарту. Поризмы у древнихъ замѣняли нашъ теперешній анализъ, который сталъ теперь на ихъ мѣсто помимо нашей воли. Весьма замѣчательно, что въ сущности перемѣнилось только названіе. Потомучто анализъ Декарта представляетъ въ своихъ приложеніяхъ ничто иное, какъ непрерывную поризму, имѣющую всегда одни и тѣ же свойства и постоянную форму, въ высшей степени приспособленную къ тому употребленію, для котораго она назначается. Нашъ анализъ, точно также, какъ и поризмы Евклида, имѣетъ цѣлію вывести изъ данныхъ свойствъ мѣста другое выраженіе его, намъ уже извѣстное и показывающее намъ какъ соотношеніе его съ извѣстными мѣстами, такъ и его видъ и положеніе.

Положимъ напримѣръ, что ищется точка, квадратъ разстоянія которой отъ неподвижной точки находится въ данномъ отношеніи къ разстоянію ея отъ неподвижной прямой.

Взявъ въ плоскости чертежа двѣ прямоугольныя оси и означивъ черезъ $x$ и $y$ разстоянія отъ нихъ искомой точки, мы получимъ между этими перемѣнными соотношеніе такого вида:

$x^{2}+y^{2}+ax+by=c^{2}$,

гдѣ $a,\,b,\,c$ суть постоянные коэффиціенты, зависящіе отъ данныхъ вопроса. Этимъ уравненіемъ выражается слѣдующая поризма:

«Можно найти двѣ такія линіи $a$ и $b$ и такой квадратъ $c^{2}$, что, если къ квадратамъ разстояній искомой точки отъ двухъ, проведенныхъ въ плоскости чертежа, осей прибавимъ эти разстоянія, умноженныя соотвѣтственно на линіи $a$ и $b$, то получимъ сумму, равную квадрату $c^{2}$.»

Эта поризма показываетъ, на основаніи началъ аналитической геометріи, что искомое мѣсто есть кругъ.

Но если бы эти начала и не были извѣстны, или еслибы мы ими не захотѣли пользоваться, то мы упростили бы предыдущее уравненіе, перенеся начало координатъ, и получили бы уравненіе вида,

$x^{2}+y^{2}=A^{2}$,

которое выражаетъ другую поризму:

«Въ плоскости чертежа существуетъ точка, которую можно опредѣлить и которая находится отъ искомой точки на постоянномъ разстояніи, которое также можно опредѣлить».

Эта вторая поризма показываетъ, что мѣсто искомой точки есть кругъ, извѣстный по величицѣ и положенію.

Результаты эти, полученные нами по способу координатъ Декарта, мы могли бы найти безъ вычисленія, путемъ чисто геометрическимъ. Но каковъ бы ни былъ путь, мы видимъ, что эти результаты можно разсматривать какъ поризмы. Отсюда же видно, по нашему мнѣнію, что способъ Декарта замѣнилъ собою поризмы, доставивъ намъ при помощи вычисленія вмѣсто различнаго рода поризмъ, употреблявшихся древними, одну общую формулу, прилагаемую съ удивительнымъ удобствомъ къ всевозможнымъ задачамъ.

Высказавъ наши мнѣнія о теоріи поризмъ, мы должны бы были повѣрить ихъ помощію текста, оставленнаго намъ Паппомъ объ этомъ предметѣ; но Примѣчаніе это выходитъ и безъ того слишкомъ длинно, такъ что мы не будемъ входить въ дальнѣйшія подробности и ограничимся слѣдующими замѣчаніями. Усвоивъ себѣ ету точку зрѣнія на ученіе о поризмахъ и руководствуясь ею, мы пришли къ достаточно простому объясненію 24 поризмъ, не возстановленныхъ Симсономъ. При этомъ мы основывались какъ на 38 леммахъ Паппа къ поризмамъ, такъ и на теоремахъ его, относящихся къ loca plana Аполлонія. Такъ какъ поризмы Евклида суть предложенія о прямолинейныхъ и круговыхъ мѣстахъ, то мы имѣли основаніе думать, что Аполлоній долженъ былъ ими пользоваться при составленіи своихъ loca plana, изъ которыхъ можно бы составить также цѣлую книгу поризмъ.

Границы сочиненія не позволяютъ намь привести здѣсь всѣ тѣ поризмы, которыя мы нашли и считаемъ соотвѣтствующими тексту Паппа. Вмѣсто этого мы укажемъ на два весьма общія предложенія, которыя въ своихъ многочисленныхъ слѣдствіяхъ заключаютъ 15 теоремъ Паппа, относящихся къ первой книгѣ поризмъ Евклида и изъ которыхъ слѣдовательно можно вывести эти послѣднія.

Изъ этихъ же двухъ предложеній проистекаютъ многія системы координатъ и, между прочимъ, система Декарта. Отсюда видна уже несомнѣнная связь между поризмами Евклида и нашими системами координатъ — связь, служащая первымъ подтвержденіемъ идей, высказанныхъ нами по поводу ученія о поризмахъ.

Два предложенія, о которыхъ мы говоримъ и которыя мы представляемъ въ формѣ поризмъ, суть слѣдующія.

Первая поризма. Возьмемъ на плоскости двѣ точки $P$ и $P_{1}$, двѣ сѣкущія, встрѣчающіяся съ прямою $PP_{1}$ въ точкахъ $E$ и $E_{1}$, и на этихъ сѣкущихъ двѣ постоянныя точки $O$ и $O_{1}$; если изъ каждой точки какой-нибудь данной прямой будемъ проводить къ точкамъ $P$ и $P_{1}$ прямыя, пересѣкающіяся съ сѣкущими $EO$ и $E_{1}O_{1}$ въ точкахъ $a$ и $a_{1}$, то можно опредѣлить два такія количества $\lambda$ и $\mu$, чтобы постоянно существовало соотношеніе:

${\frac {Oa}{Ea}}+\lambda {\frac {O_{1}a_{1}}{E_{1}a_{1}}}=\mu$

(1.)

Вторая поризма. На плоскости проведены двѣ неподвижныя прямыя, пересѣкающіяся въ точкѣ $S$; на этихъ двухъ прямыхъ взяты двѣ неподвижныя точки $O$ и $O_{1}$; если около какой-нибудь данной точки будемъ обращать сѣкущую, пересѣкающую двѣ неподвижныя прямыя въ точкахъ $a$ и $a_{1}$, то можно найти два такія количества $\lambda$ и $\mu$, что постоянно будетъ существовать соотношеніе

${\frac {Oa}{Sa}}+\lambda {\frac {O_{1}a_{1}}{S_{1}a_{1}}}=\mu$

(2.)

Обратныя предложенія также справедливы, т. е.

1. Если между отрѣзками, образуемыми двумя перемѣнными точками $a$ и $a_{1}$ на двухъ неподвижныхъ прямыхъ $EO$ и $E_{1}O_{1}$ существуетъ соотношеніе (1), то геометрическое мѣсто точки пересѣченія прямыхъ $Pa$ и $P_{1}a_{1}$ будетъ прямая, положеніе которой, вполнѣ опредѣляется двумя постоянными $\lambda$ и $\mu$. 2. Если между отрѣзками, образуемыми двумя перемѣнными точками $a$ и $a_{1}$, на двухъ неподвижныхь прямыхъ $SO$ и $SO_{1}$, существуетъ соотношеніе (2), то прямая $aa_{1}$ проходитъ постоянно черезъ одну и ту же точку, положеніе которой вполнѣ опредѣляется постоянными $\lambda$ и $\mu$.

Изъ первой поризмы и ея обратной легко выводится слѣдующая весьма общая поризма, относящаяся ко всѣмъ геометрическимъ кривымъ.

Общая поризма. Если предположимъ тоже, что въ первой поризмѣ, и изъ каждой точки данной кривой лѵніи будемъ проводить къ точкамъ $P$ и $P_{1}$ прямыя, встрѣчающяся съ сѣкущими въ точкахъ $a$ и $a_{1}$, то существуютъ такіе коэффиціенты $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\delta$ и т. д., при которыхъ будетъ удовлетворено общее уравненіе $m$-ой степени между отношеніями ${\tfrac {Oa}{Ea}}$ и ${\tfrac {O_{1}a_{1}}{E_{1}a_{1}}}$:

$\left({\frac {Oa}{Ea}}\right)^{m}+\left(\alpha {\frac {O_{1}a_{1}}{E_{1}a_{1}}}+\beta \right)\left({\frac {Oa}{Ea}}\right)^{m-1}+\dots =0$

Отсюда проистекаетъ безчисленное множество системъ координатъ, которыя могутъ служить для выраженія всѣхъ точекъ кривой; систему Декарта получимъ, если возьмемъ точку $P$ на прямой $O_{1}E_{1}$ и на безконечномъ разстояніи, а точку $P_{1}$ на прямой $OE$ и также въ безконечности, и сверхъ того возьмемъ точки $O$ и $O_{1}$ въ точкѣ пересѣченія сѣкущихъ $OE$ и $O_{1}E_{1}$.

Вторая поризма и ея обратная ведутъ также къ одной весьма общей поризмѣ, относящейся ко всѣмъ геометрическимъ кривымъ.

Общая поризма. Проведемъ въ плоскости кривой двѣ сѣкущія, пересѣкающіяся въ точкѣ $S$, и возьмемъ на нихъ соотвѣтственно двѣ точки $O$ и $O_{1}$. Каждая касательная пересѣчетъ эти прямыя въ двухъ точкахъ $a$ и $a_{1}$. Если общій характеръ кривой состоитъ въ томъ, что къ ней изъ внѣшней точки можно провесть не болѣе $m$ касательныхъ, то существуютъ такіе коэффиціенты $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\dots$, при которыхъ будетъ удовлетворено общее уравненіе $m$-ой степени между отношеніями ${\tfrac {Oa}{Sa}}$ и ${\tfrac {O_{1}a_{1}}{S_{1}a_{1}}}$:

$\left({\frac {Oa}{Sa}}\right)^{m}+\left(\alpha {\frac {O_{1}a_{1}}{S_{1}a_{1}}}+\beta \right)\left({\frac {Oa}{Sa}}\right)^{m-1}+\dots =0$

Возвращаемся къ нашимъ первымъ общимъ предложеніямъ.

Каждое изъ уравненій (1) и (2) можетъ быть различнымъ образомъ преобразовано въ другое, содержащее два, три, или четыре члена. Многія изъ этихъ преобразованій необходимы для изъясненія поризмъ первой книги Евклида. Къ этому мы должны прибавить, что каждое изъ получаемыхъ при этомъ уравненій представляетъ нѣсколько различныхъ поризмъ, потомучто мы можемъ за неизвѣстныя въ поризмѣ принимать не только постоянные коэффиціенты, какъ мы это дѣлали выше, но и различныя составныя части чертежа, напримѣръ точки $O$ и $O_{1}$ или направленія сѣкущихъ.

Такимъ образомъ изъ нашихъ двухъ общихъ предложеній можно получить множество поризмъ и мы, кажется, не преувеличимъ, если скажемъ, что число ихъ простирается отъ двухъ до трехъ сотенъ. Такое обиліе вполнѣ согласуется съ тѣмъ, что сказалъ Паппъ о богатствѣ поризмъ Евклида: «Per omnia Porismata non nisi prima principia, et semina tantum multarum et magnarum rerum sparsisse videtur» (Euclides).

Изъ всевозможныхъ тождественныхъ уравненій мы избрали для примѣра уравненія (1) и (2) потому, что они обнимаютъ собою наиболѣе важныя изъ безчисленныхъ предложеній, относящихся къ этому предмету, и въ особенности потому, что имъ существуютъ соотвѣтственныя въ пространствѣ, служащія для распространенія Евклидова ученія о поризмахъ на геометрію трехъ измѣреній.

Вотъ двѣ общія теоремы, которыя могутъ служить для этой цѣли и которыя мы выразимъ въ формѣ поризмъ.

Первая поризма. Въ пространствѣ даны: треугольникъ $ABC$, три какія нибудь сѣкущія, встрѣчающіяся съ плоскостью треугольника въ точкахъ $E,\,E_{1},\,E_{2}$, и на этихъ сѣкущихъ три неподвижныя точки $O,\,O_{1},\,O_{2}$. Если черезъ каждую точку какой нибудь данной плоскости будемъ проводить три плоскости, проходящія черезъ стороны треугольника $AB,\,BC,\,CA$ и пересѣкающіяся съ сѣкущими соотвѣтственно въ точкахъ $a,\,a_{1},\,a_{2}$, то можно всегда опредѣлить три такія количества $\lambda ,\,\mu ,\nu$, чтобы постоянно существовало уравненіе:

${\frac {Oa}{Ea}}+\lambda {\frac {O_{1}a_{1}}{E_{1}a_{1}}}+\mu {\frac {O_{2}a_{2}}{E_{2}a_{2}}}=\nu$.

И обратно, если даны коэффиціенты $\lambda ,\,\mu ,\nu$, то имъ всегда соотвѣтствуетъ плоскость, положеніе которой можно опредѣлить.

Вторая поризма. Возьмемъ въ пространствѣ трегранный уголъ, вершина котораго находится въ точкѣ $S$, и на ребрахъ его три неподвижныя точки $O,\,O_{1},\,O_{2}$. Если около какой нибудь данной точки будемъ вращать плоскость, которая будетъ пересѣкать ребра треграннаго уіла въ точкахъ $a,\,a_{1},\,a_{2}$, то можно найти три такія количества $\lambda ,\,\mu ,\nu$, что постоянно будетъ имѣть мѣсто ураѳненіе:

${\frac {Oa}{Sa}}+\lambda {\frac {O_{1}a_{1}}{S_{1}a_{1}}}+\mu {\frac {O_{2}a_{2}}{S_{2}a_{2}}}=\nu$.

И обратно, если даны три коэффиціента $\lambda ,\,\mu ,\nu$ этого уравненія, то ими вполнѣ опредѣляется соотвѣтствующая точка пространства.

Эти двѣ общія теоремы ведутъ къ безчисленному множеству слѣдствій, въ которыхъ между прочимъ заключается начало преобразованія фигуръ и двойственности свойствъ протяженія. Впрочемъ мы не можемъ входить здѣсь въ подробности относительно этихъ предметовъ.

Прибавленіе. Двѣ поризмы плоской геомотріи, приложенныя нами къ геометріи трехъ измѣреній, имѣютъ также себѣ соотвѣтствующія на сферѣ. Вотъ онѣ:

1-я поризма. Возьмемъ на сферѣ: двѣ неподвижныя точки $P,\,P'$; двѣ дуги, пересѣкающіяся съ дугою $PP'$ въ $E,\,E'$, и на этихъ двухъ дугахъ соотвѣтственно двѣ неподвижныя точки $O,\,O'$. Если изъ каждой точки какой нибудь данной дуги будемъ проводить дуги въ точки $P,\,P'$, которыя пересѣкутся съ двумя дугами $EO<\,E'O'$ въ точкахъ $a,\,a'$, то можно нтйти два такія количества $\lambda ,\,\mu$, что всегда будетъ имѣть мѣсто соотношеніе:

${\frac {\sin .Oa}{\sin .Ea}}+\lambda {\frac {\sin .O'a'}{\sin .E'a'}}=\mu$.

2-я поризма. Проведемъ на сферѣ двѣ дуги большихъ круговъ, пересѣкающіяся въ $S$ и возьмемъ на нихъ соотвѣтственно двѣ неподвижныя точки $O,\,O'$. Если около какой нибудь данной точки сферы будемъ вращать дугу, которая будетъ встрѣчать двѣ неподвижныя дуги въ точкахъ $a,\,a'$ то всегда можно найти такія два количества $\lambda ,\,\mu$, что постоянно будетъ существовать соотношеніе:

${\frac {\sin .Oa}{\sin .Sa}}+\lambda {\frac {\sin .O'a'}{\sin .S'a'}}=\mu$.

Прибавимъ еще одно замѣчаніе. Хотя мы прилагали ученіе о поризмахъ только къ теоремамъ о геометрическихъ мѣстахъ, тѣмъ не менѣе мы распространяемъ его, согласно съ общимъ опредѣленіемъ Симсона, и на всѣ другіе роды геометрическихъ и алгебраическихъ предложеній, лишь бы въ нихъ заключались нѣкоторыя перемѣнныя величины.

Въ заключеніе этого примѣчанія предлагаемъ перечень авторовъ, которые писали о поризмахъ, или только употребляли это слово, не указывая въ точности, какой смыслъ они ему придаютъ.

Прежде всего припомнимъ, что у Грековъ слово πόρισμα въ самомъ употребительномъ и общемъ смыслѣ означало corollarium. Въ этомъ значеніи оно часто употребляется Евклидомъ въ элементахъ. Но въ его сочиненіи о поризмахъ оно имѣетъ другое значеніе.

Діофантъ въ сочиненіи Problemata arilhmetica нѣсколько разъ употребилъ слово поризма для обозначенія нѣкоторыхъ предложеній теоріи чиселъ, на которыхъ онъ основыватъ свои доказательства и которыя вѣроятно составлялч предметъ особаго, не дошедшаго до насъ, сочиненія (См. напр. теоремы 3, 5 и 19 книги V.)

Паппъ и Проклъ оставили намъ, какъ уже было сказано, различныя объясненія поризмъ Евклида.

Только у этихъ трехъ древнихъ писателей слово поризма употребляется не въ обыкновенномъ значеніи королларія, а въ особомъ смыслѣ.

У писателей новаго времени слово это встрѣчается въ первый разъ въ Cosmolabium Бессона (Besson. Paris 1567, in 4), гдѣ оно, также какъ и слово королларій, служитъ названіемъ предложеній, проистекающихъ изъ главной теоремы (стр. 203, 207 и 210).

Около того же времени Дасиподій далъ опредѣленіе поризмъ въ смыслѣ Прокла въ сочиненіи: Volumen II mathematicum, complectens praecepta mathematici, astronomica, logistica. (Argentorati 1570 in 8, стр. 243 и проч.).

Вьетъ употребилъ слово поризма, говоря о королларіи, слѣдующемъ послѣ 16-й теоремы третьей книги элементовъ Евклида (Variorum de rebus mathematcis responsorum liber VIII, cap. XIII).

Неперъ въ своемъ безсмертномъ сочиненіи: Mirifici Logarithmorum canonis descriptio, jusque usus in utraque trigonometria etc. (Edinb. 1614, in 4) называетъ поризмою особаго рода общее предложеніе, обнимающее данныя имъ правила для рѣшенія сферическихъ треугольниковъ, въ которыхъ стороны или углы равны 90°.

Александръ Андерсонъ назвалъ поризмою задачу о геометрическомъ мѣстѣ вершины треугольника, въ которомъ основаніе остается одно и тоже, а двѣ другія стороны сохраняютъ постоянное отношеніе. См. Animadversionis in Franciscum Vietam a Clemente Cyriaco nuper editae, brevis Διάκρισις per Alexandrum Andersonum. (Paris 1617, in 4., 7). ^[2] Bachetus de Meziriac, подобно Діофанту, употреблялъ слово поризма для означенія цѣлаго ряда предложеній теоріи чиселъ, предложеній, предпосланныхъ введенію и комментаріямъ къ шести ариѳметическимъ книгамъ греческихъ математиковъ. Эти поризмы составляли три книги подъ заглавіемъ: Claudii Casparis Bacheti Sebusiani in Diophantum, Porismatum libri tres (Paris. 1621, in fol.)

Савилій далъ опредѣленіе поризмъ въ смыслѣ Прокла въ Praelectiones tredecim in principium elementorum Euclidis (Oxonii 1621, in 4. Lect. prima, p. 18).

Альбертъ Жираръ (Girard) въ своей тригонометріи (Haag 1626, in 16) и въ комментаріѣ къ сочиненіямъ Стевина (Leyden 1634, in fol. р. 459) заявилъ, что имъ возстановлены поризмы {{Персона|Евклида}. Но трудъ этотъ не явился въ свѣтъ. Можетъ быть еще есть надежда, что онъ не окончательно потерянъ.

Кирхеръ (Kircher) въ той части своего сочиненія Ars magna Lucis et Umbrae (Romae 1646, in fol.) гдѣ говорится о коническихъ сѣченіяхъ, употребляетъ три слова: corollarium, consectarium и porisma для означенія слѣдствій главной теоремы. Но по большей части послѣднее слово прилагается не къ слѣдствіямъ доказанной теоремы, а къ такимъ предложеніямъ, которыя, наоборотъ, суть обобщенія ея или которыя относятся къ ней какъ отдѣльныя части той же теоріи. Такъ напримѣръ, послѣ доказательства свойства параболы, озаглавленнаго словомъ Propositio, находимъ съ надписью Porismata изложеніе соотвѣтствующихъ свойствъ эллипса и гиперболы (см. стр. 237 и 238, 242 и 243).

Шутенъ (Schooten) въ Sectiones triginta miscellaneae (Exercitationes mathematicae. Lib. V. Leyden 1657, in 4., p. 484) даетъ 24-му отдѣлу своего сочиненія заглавіе Porisma; здѣсь, чтобы показать примѣръ того, какъ слѣдуетъ поступать въ геометріи для открытія свойствъ фигуръ, онъ предлагаетъ себѣ вывести свойства фигуры, образуемой различными прямыми, проведенными въ плоскости круга.

Четыре слѣдующіе геометра имѣли въ виду прямо разъясненіе поризмь: Marin Ghetaldi, De resolutione et composilione mathematica, lib. V; opus posthumum. Romae 1640.

Bulliaud, Exercitationes geomericae tres: 1) circa demonstrationes per inscriptas et circumscriptas figuras; 2) circa conicarum sectionum quasdam propositiones; 3) de Porismatibus. Parisiis 1657 in 4.

Renaldini, De resolulione et compositione mathematica, libri duo. Patavii 1668, in fol.

Fermat, Varia opera mathematica. Tolosae 1679, in fol. Porismatum Euclidaeorum renovata doctrina et sub forma isagoges recentioribus geometricis exhibita. Это сочиненіе въ четыре страницы было за нѣсколько лѣтъ сообщено Ферматомъ многимъ геометрамъ и между прочимъ Bulliaud, который упоминаетъ объ немъ въ своемъ вышеназванномъ сочиненіи.

Послѣ этого прошло столѣтіе, не доставившее намъ ни одного сочиненія о поризмахъ; потомъ мы находнмъ:

Lawson, Treatise concerning Porisms, 1777, in 4. — Этотъ геометръ издалъ еще другое сочиненіе о геометріи древнихъ: geometrical analysis of the ancients, 1775, in 8.

Wallace, Geometrical Porisms, 1796, in 4

Playfair, On the origin and investigation of Porisms (Transactions of the Royal society of Edinburg. tom. III, 1794 и Oeuvres de Playfair въ 4 томахъ, 1822, in 4, t. III, стр. 179).

Lhuillier, Eléments d'analyse géométrique et d'analyse algébrique. 1809, in 4.

J. Leslie, Geomelrical analysis, Lib. III, in 8. Edinb. 1809 и 1821. Это сочиненіе переведено на французскій языкъ Контомъ (Auguste Comte) и присоединено къ Second supplément à la géométrie descriptive par Hachette. 1818, in 4.

Въ послѣднее время Вронскій, предложилъ объясненіе поризмъ и пользовался этимъ словомъ въ его сочиненіи: Introduction à la philosophie des mathématiques. Paris, 1811, in 4 (стр. 217).

Eisenrnann, профессоръ въ école des ponts et chaussées de France, занимающійся переводомъ сочиненій Паппа съ греческаго текста, обратилъ особое вниманіе на ученіе о поризмахъ, которому онъ обѣщаетъ дать новое объясненіе (См. Traité des propriétés projectives стр. 37 введенія). Вмѣстѣ съ Понселе мы искренно желаемъ, чтобы появленіе этого сочиненія, которое должно принести существенную пользу геометріи, не замедлилось на очень долгое время.

Castillon, извѣстный геометръ прошлаго столѣтія и знатокъ древней геометріи, думалъ, что сочиненіе о поризмахъ существовало на востокѣ еще въ XIII столѣтіи и что комментарій къ книгѣ Евклида знаменитаго астронома и геометра Нассиръ Эддинъ-аль-Тузи, упоминаемый Herbelot въ Bibliothèque d'Orient относится именно къ сочиненію о поризмахъ, которое одно только могло служнть достойнымъ предметомъ для комментарія знаменитому персидскому геометру. «Счастливы, восклицаетъ Кастильонъ, счастливы тѣ геометры, которые обладаютъ этими удивительными книгами и умѣютъ цѣнить ихъ!» (Mém. de l'Acad. de Berlin, 1786—1787).

Драгоцѣнныя открытія могутъ еще быть сдѣланы въ библіотекахъ востока^[3], если только ихъ пересмотрѣть внимательно, пользуясь расположеніемъ правительства, благосклоннаго наукамъ и ревнующаго о славѣ распространенія ихъ, какъ во времена Птоломеевъ, Медичи и Лудовика XIV.

Примѣчанія.

1. Здѣсь позволяемъ себѣ сдѣлать одно замѣчаніе, на которое мы не рѣшались, когда говорили о Data Евклида.
   Хотя и трудно разгадать смыслъ поризмъ, оставленныхъ Паппомъ, но тотчасъ видно, что въ этихъ предложеніяхъ нѣчто отыскивается. Паппъ, подобно тому, какъ и Евклидъ въ книгѣ Δεδομένα, означаетъ это искомое словомъ δεδόμενον и прилагаетъ его же ко всему, что дѣйствительно должно считать даннымъ на основаніи условій вопроса. Выраженія Паппа сдѣлались бы понятнѣе, еслибы только въ послѣднемъ случаѣ употреблять слово данныя, а величины, которыя нужно еще найти, называть опредѣленными.
   Это замѣчаніе прилагаетея также и къ сочиненію «данныя» Евклида, но только занимаясь разъясненіемъ поризмъ я почувствовалъ неудобство обозначенія однимъ и тѣмъ же словомъ двухъ различныхъ понятій.
2. Андерсонъ написалъ много другихъ сочиненій о геометрическомъ анализѣ древнихъ, но они не были изданы. Мерсеннъ въ своей книгѣ de la Vérité des sciences (1625, in 12., стр. 752) произноситъ большую похвальную рѣчь этому геометру, заслуги котораго, по его словамъ, не были достаточно оцѣнены при жизни, хотя онъ приближался къ Архимеду и Аполлонію. Послѣ этого авторъ говоритъ, что Андерсонъ приготовил многія сочиненія въ замѣнъ утраченныхъ твореній древнихъ, и предлагаетъ владѣющимъ ими лицамъ не отнимать ихъ у науки.
3. Персы утверщаютъ, что у нихъ есть греческія сочиненія, не дошедшія до насъ; и дѣйствительно, у Арабовъ мы находимъ цитаты изъ многихъ неизвѣстныхъ намъ сочиненій (Montucla, Histoire des mathem. t. I, p. 373, 394).