Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/15

$\left({\frac {Oa}{Sa}}\right)^{m}+\left(\alpha {\frac {O_{1}a_{1}}{S_{1}a_{1}}}+\beta \right)\left({\frac {Oa}{Sa}}\right)^{m-1}+\dots =0$

Возвращаемся къ нашимъ первымъ общимъ предложеніямъ.

Каждое изъ уравненій (1) и (2) можетъ быть различнымъ образомъ преобразовано въ другое, содержащее два, три, или четыре члена. Многія изъ этихъ преобразованій необходимы для изъясненія поризмъ первой книги Евклида. Къ этому мы должны прибавить, что каждое изъ получаемыхъ при этомъ уравненій представляетъ нѣсколько различныхъ поризмъ, потомучто мы можемъ за неизвѣстныя въ поризмѣ принимать не только постоянные коэффиціенты, какъ мы это дѣлали выше, но и различныя составныя части чертежа, напримѣръ точки $O$ и $O_{1}$ или направленія сѣкущихъ.

Такимъ образомъ изъ нашихъ двухъ общихъ предложеній можно получить множество поризмъ и мы, кажется, не преувеличимъ, если скажемъ, что число ихъ простирается отъ двухъ до трехъ сотенъ. Такое обиліе вполнѣ согласуется съ тѣмъ, что сказалъ Паппъ о богатствѣ поризмъ Евклида: «Per omnia Porismata non nisi prima principia, et semina tantum multarum et magnarum rerum sparsisse videtur» (Euclides).

Изъ всевозможныхъ тождественныхъ уравненій мы избрали для примѣра уравненія (1) и (2) потому, что они обнимаютъ собою наиболѣе важныя изъ безчисленныхъ предложеній, относящихся къ этому предмету, и въ особенности потому, что имъ существуютъ соотвѣтственныя въ пространствѣ, служащія для распространенія Евклидова ученія о поризмахъ на геометрію трехъ измѣреній.

Вотъ двѣ общія теоремы, которыя могутъ служить для этой цѣли и которыя мы выразимъ въ формѣ поризмъ.

Первая поризма. Въ пространствѣ даны: треугольникъ $ABC$, три какія нибудь сѣкущія, встрѣчающіяся съ плоскостью треугольника въ точкахъ $E,\,E_{1},\,E_{2}$, и на этихъ сѣкущихъ три неподвижныя точки $O,\,O_{1},\,O_{2}$. Если черезъ каждую точку какой нибудь данной плоскости будемъ проводить три плоскости, проходящія