Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Евклид/ДО

Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ — Первая эпоха, n° 6-8:
Евклидъ.
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: М. Шаль. Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ. — Москва: М. Катковъ, 1883. — Т. I.

Первая эпоха, n° 6-8

6. Евклидъ (285 г. до Р. X.). Въ лицѣ Евклида, знаменитаго творца элементовъ геометріи, соединяется Платонова школа, въ которой онъ получилъ свое образованіе, съ вновь возникшею Александрійскою школой.

Еще до Евклида многіе греческіе геометры писали объ элементахъ геометріи. Проклъ, который оставилъ намъ имена ихъ, особенно отличаетъ слѣдующихъ: Гиппократа Хіосскаго; Леона, сочиненіе котораго было полнѣе и полезнѣе предыдущаго; Ѳедія Магнезійскаго, замѣчательнаго по тому порядку, въ которомъ онъ расположилъ свое сочпненіе; Гермотима Колофонскаго, который усовершенствовалъ открытія Евдокса и Ѳетеса и присоединилъ къ элементамъ многія собcтвенныя изслѣдованія. Вскорѣ послѣ этого явился Евклидъ, который, по словамъ Прокла, «собралъ элементы, привелъ въ надлежащій порядокъ многое открытое Евдоксомъ, дополнилъ начатое Ѳетесомъ и доказалъ строго все, что до него было доказано еще неудовлетворительно»^[1].

Евклидъ ввелъ въ элементы геометріи методъ, извѣстный подъ названіемъ reductio ad absurdum и состоящій въ доказательствѣ, что всякое предположеніе, несогласное съ доказываемой теоремой, ведетъ къ противорѣчію; этотъ методъ особенно полезенъ въ такихъ изысканіяхъ, гдѣ входитъ понятіе о безконечности подъ видомъ несоизмѣримыхъ количествъ. Архимедъ въ большинствѣ своихъ сочиненій употреблялъ этотъ способъ доказательства; Аполлоній пользовался имъ съ успѣхомъ въ 4-й книгѣ о коническихъ сѣченіяхъ; новѣйшіе геометры извлекли изъ него также много пользы въ тѣхъ случаяхъ, гдѣ наука не въ состояніи дать прямаго доказательства, которое одно доводитъ истину до совершенной очевидности и вполнѣ удовлетворяетъ требованіямъ нашего ума.

Элементы Евклида состоятъ изъ 13 книгъ, къ которымъ обыкновенно присоединяютъ двѣ книги о пяти правильныхъ тѣлахъ, приписываемыя Гипсиклу Александрійскому, который жилъ 150 лѣтъ позднѣе Евклида.

«Можно получить ясное понятіе о всемъ сочиненіи, представивъ себѣ его составленнымъ изъ четырехъ частей. Первая часть состоитъ изъ 6 первыхъ книгъ; она въ свою очередь подраздѣляется на три отдѣла, именно: прямые выводы свойствъ данныхъ фигуръ, заключающіеся въ книгахъ 1, 2, 3 и 4; далѣе теорія отношеній между величинами вообще въ 5 книгѣ и наконецъ приложенія этой теоріи къ плоскимъ фигурамъ. Вторую часть составляютъ книги 7, 8 и 9, которымъ присвоивается названіе ариѳметическихъ, потомучто въ нихъ говорится объ общихъ свойствахъ чиселъ. Третья часть состоитъ изъ одной 10 книги, въ которой авторъ разсматриваетъ въ подробности величины несоизмѣримыя. Наконецъ въ четвертой части, состоящей изъ 5 послѣднихъ книгъ, изучаются поверхности и тѣла. Изъ этого обширнаго учебника въ наше преподаваніе введены только 6 первыхъ, 11-я и 12-я книги.»^[2]

7. Элементы сдѣлали имя Евклида знаменитымъ, хотя это — не единственный трудъ его, заслуживающій удивленія. Великій геометръ расширилъ предѣлы науки многими другими сочиненіями, которыя доставили бы ему не меньшую славу, еслибы дошли до насъ. Для насъ сохранилось только одно изъ нихъ, и именно наименѣе важное, извѣстное подъ названіемъ δεδομένα (данныя, data). Это есть продолженіе элементовъ, назначавшееся для того, чтобы облегчить употребленіе и приложеніе ихъ къ рѣшенію всѣхъ вопросовъ, входящихъ въ область геометріи. Евклидъ называетъ здѣсь даннымъ все то, что, на основаніи теоремъ, заключащихся въ элементахъ, непосредственно слѣдуетъ изъ условій задачи. Напримѣръ, «если проводимъ изъ данной точки прямую, касательную къ данному кругу, то эта прямая есть данная по величинѣ и положенію» (Теорема 91 въ Data Евклида).

Древніе и средневѣковые геометры во всѣхъ геометрическихъ изысканіяхъ ссылались на теоремы «данныхъ», также какъ и на теоремы «элементовъ»; самъ Ньютонъ пользовался въ «Principia» этою книгою Евклида, также какъ и «коническими сѣченіями» Аполлонія. Но съ того времени подобные слѣды древности исчезли изъ сочиненій геометровъ и теперь книга «данныя» знакома развѣ только тѣмъ, кто занимается исторіею науки. ^[3]

Изъ нѣкоторыхъ теоремъ книги «данныя» легко можно вывесть рѣшеніе уравненій второй степени, которое у древнихъ въ первый разъ встрѣчается только у Діофанта, жившаго 600 лѣтъ позднѣе Евклида. Примѣромъ этому можетъ служитъ слѣдующая теорема: «Если двѣ прямыя, наклоненныя подъ даннымъ угломъ, заключаютъ данную площадь и если дана ихъ сумма, то и каждая изъ нихъ будетъ дана (извѣстна)»^[4]. Въ 13-й книгѣ элементовъ, имѣющей предметомъ вписываніе правильныхъ многоугольниковъ и многогранниковъ въ кругъ и шаръ, находимъ послѣ 5-й теоремы слѣдующее объясненіе анализа и синтеза.

«Что такое анализъ и что синтезъ?

Въ анализѣ принимаемъ требуемое за доказанное и такимъ путемъ достигаемъ до истины, которую желаемъ обнаружить.

Въ синтезѣ начинаемъ съ того, что уже доказано, и переходимъ къ заключенію, или къ познанію того, что нужно доказать.»

Многія слѣдующія за этимъ предложенія изслѣдованы и по аналитическому и по синтетическому методу.

8. Изъ недошедшихъ до насъ трудовъ Евклида должно особенно сожалѣть объ утратѣ: четырехъ книгъ о коническихъ сѣченіяхъ, теорія которыхъ была имъ значительно развита, потомъ четырехъ книгъ о мѣстахъ на поверхности^[5] и наконецъ трехъ книгъ о поризмахъ. Изъ предисловія къ 7-й книгѣ «Математическаго Собранія» Паппа видно, что сочиненіе «поризмы» отличалось глубиною и проницательностію и употреблялось, какъ пособіе, для рѣшенія труднѣйшихъ задачъ. (Collectio artificiosissima multarum rerum, quae spectant ad analysin difficiliorum et generalium problematum.) 38 леммъ, предложенныхъ этимъ ученымъ комментаторомъ для поясненія «поризмъ», доказываютъ, что «поризмы» Евклида заключали въ себѣ такія свойства прямой линіи и круга, которыя въ новѣйшей геометріи доставляются теоріею трансверсалей.

Паппъ и Проклъ суть единственные геометры древности, упоминавшіе о поризмахъ; но уже во времена перваго изъ нихъ значеніе слова πόρισμα измѣнилось и объясненія какъ Паппа, такъ и Прокла, объ этомъ предметѣ такъ неясны, что для ученыхъ новаго времени было трудною задачею понять, въ чемъ заключалось различіе, которое древніе установили между теоремою и проблемою съ одной стороны и третьимъ видомъ предложеній, называвшихся поризмами, съ другой; и въ особенности трудно было узнать, что такое были именно поризмы Евклида.

Паппъ приводитъ тридцать предложеній, относящихся къ поризмамъ, но они изложены такъ кратко и отъ ветхости рукописи и утраты чертежа сдѣлались настолько неполными, что знаменитый Галлей, который безспорно имѣлъ достаточно опытности въ дѣлѣ древней геометріи, признается^[6], что въ этихъ предложеніяхъ онъ ничего не понимаетъ и что ни одно изъ нихъ не было еще возстановлено до средины послѣдняго столѣтія, хотя лучшіе геометры посвящали свои изслѣдованія этому предмету (см. Прим. III).

Р. Симсону принадлежитъ честь разъясненія какъ многихъ изъ этихъ загадочныхъ теоремъ, такъ и той особой формы, которая была свойственна только этому роду предложеній. Объясненіе поризмъ, предложенное этимъ геометромъ, слѣдующее:

«Поризма есть предложеніе, въ которомъ высказывается, что нѣкоторыя геометрическія величины могутъ быть опредѣлены и дѣйствительно опредѣляются, если даны ихъ соотношенія съ величинами постоянными и извѣстными, а также съ такими величинами, которыя могутъ быть измѣняемы до безконечности; эти послѣднія величины связываются сверхъ того однимъ или нѣсколькими условіями, опредѣляющими законъ ихъ измѣняемости».

Напримѣръ, если даны двѣ неподвижныя оси, на которыя изъ каждой точки нѣкоторой прямой опускаются перпендикуляры $p$ и $q$, то всегда можно найти такую величину (длину) $a$ и такое отношеніе $\alpha$, чтобы между двумя перпендикулярами существовало постоянное соотношеніе ${\tfrac {p-a}{q}}=\alpha$. (По способу древнихъ это предложеніе будетъ выражено такъ: первый перпендикуляръ будетъ болѣе втораго на величину данную относительно содержанія).

Здѣсь данныя постоянныя величины — двѣ оси; измѣняемыя величины — перпендикуляры $p$ и $q$; законъ, которому подчиняются перемѣнныя величины — условіе, что точка, изъ которой опускаются эти перпендикуляры, берется всегда на данной прямой; наконецъ искомыя суть длина $a$ и содержаніе $\alpha$, помощію которыхъ между постоянными и измѣняющимися величинами устанавливается предписанное соотношеніе.

Изъ этого примѣра видно, въ чемъ заключается сущность поризмъ, какъ понялъ ее Р. Симсомъ, воззрѣніе котораго вообще признается справедливымъ. Впрочемъ слѣдуетъ замѣтить, что не всѣ геометры считаютъ это воззрѣніе Симсона истиннымъ выраженіемъ идеи Евклида. Хотя мы, лично, и раздѣляемъ мнѣніе знаменитаго глазговскаго профессора, однако должны сказать, что въ его сочиненіи мы не нашли полнаго разрѣшенія великой загадки поризмъ. Это задача въ дѣйствительности весьма сложная и для всѣхъ частей ея желательно имѣть рѣшенія, которыхъ мы напрасно искали бы въ трудѣ Симсона. Остается еще разрѣшить слѣдующіе вопросы.

1) Какова была форма выраженія поризмъ?

2) Каковы были предложенія, заключавшіяся вообще въ этомъ сочиненіи Евклида и въ особенности тѣ изъ нихъ, относительно которыхъ Паппъ оставилъ намъ весьма неполныя указанія?

3) Какія намѣренія и философскія соображенія заставили Евклида изложить это сочиненіе въ такой необыкновенной формѣ?

4) Почему это сочиненіе заслуживало того особеннаго предпочтенія, которое даетъ ему Паппъ передъ всѣми другими трудами древнихъ? Въ одномъ только способѣ выраженія теоремы конечно не заключается еще ни заслуги, ни пользы.

5) Какіе въ наше время методы и операціи, хотя и въ иной формѣ, ближе всего подходятъ къ поризмамъ Евклида и что замѣнило ихъ въ рѣшеніи задачъ? Нельзя же предположить, чтобы такое прекрасное и плодотворное ученіе могло безъ слѣда исчезнуть въ наукѣ.

6) Наконецъ было бы необходимо дать удовлетворительное разъясненіе отдѣльныхъ мѣстъ у Паппа объ этихъ поризмахъ, — напримѣръ того мѣста, гдѣ онъ говоритъ, что новые геометры измѣнили значеніе слова поризма, потомучто сами собою не могли всего найти, или, такъ сказать, поризмировать. Еслибы поризмы отличались только способомъ выраженія, какъ это, кажется, должно заключить изъ воззрѣнія Р. Симсона, то во всякое время было бы легко поризмировать всѣ предложенія, способныя къ этому; и мы не видимъ, въ чемъ могли заключаться трудности, принудившія новыхъ геометровъ измѣнить значеніе слова.

Пока мы ограничимся сказаннымъ здѣсь о поризмахъ; но такъ какъ этотъ предметъ имѣетъ, кажется, особенное значеніе по отношенію ко важнѣйшимъ теоріямъ современной геометріи, то мы помѣщаемъ въ Примѣчаніи III продолженіе этого параграфа и предлагаемъ тамъ нѣсколько новымъ соображеній объ этомъ важномъ вопросѣ.

Примѣчанія.

1. Прокла 2-я книга, 4-я глава, въ комментаріяхъ къ первой книгѣ Евклида.
2. Заимствуемъ этотъ очеркъ элементовъ Евклида изъ превосходной замѣтки Лакруа въ Biographie universelle.
3. Въ книгѣ «данныя» Евклидъ употребляетъ одно выраженіе, которое дѣлаетъ непонятными его умозаключенія, и самый смыслъ котораго трудно уяснить себѣ изъ даннаго имъ опредѣленія. Такъ какъ это выраженіе встрѣчается также у Аполлонія и Паппа и употреблялось даже въ сочиненіяхъ прошлаго столѣтія, то считаемъ здѣсь умѣстнымъ упомянуть о немъ. Евклидъ говоритъ, что одна величина болѣе другой на данную относительно содержанія (по отношенію къ содержанію), когда одна величина безъ данной имѣетъ къ другой величинѣ данное отношеніе (содержаніе). Такъ, если $c$ будетъ данная величина, а $\mu$ содержаніе, то величина $A$ будетъ болѣе $B$ на $c$ данную относительно содержанія $\mu$, когда ${\tfrac {A-c}{B}}=\mu$.
   Евклидъ хотѣлъ, какъ видно, трехчленное уравненіе представить въ видѣ равенства двухъ членовъ.
4. Эта теорема содержитъ въ себѣ рѣшеніе двухъ уравненій $xy=a^{2}$ и $x+y=b$, изъ которыхъ прямо получается уравненіе второй степени $x^{2}-bx+a^{2}=0$. Рѣшеніе задачи у Евклида даетъ два корня этого квадратнаго уравненія.
   Другая теорема (87-я) рѣшаетъ два уравненія: $xy=a^{2}$ и $x^{2}-\mu y^{2}=b^{2}$, которыхъ корни получаются изъ уравненія четвертой степени, приводимаго къ квадратному.
5. Въ Примѣчаніи II предлагаемъ нѣсколько соображеній объ этомъ Евклидовомъ сочиненіи, возстановленіе котораго до сихъ поръ никѣмъ не было предпринято.
6. Замѣтка Галлея къ тексту Паппа о поризмахъ, повторенная вмѣстѣ съ предисловіемъ къ 7-й книгѣ Математическаго Собранія въ началѣ сочиненія «de sectione rationis» Аполлонія, in 4-to, 1706.