Оригинал: фр.Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: М. Шаль. Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ. — Москва: М. Катковъ, 1883. — Т. I.
[14]9. Вскорѣ послѣ Евклида являются два человѣка, одаренные необыкновенною умственною силою, — Архимедъ и Аполлоній; ими обозначается самая блистательная эпоха древней геометріи. Многочисленныя открытія ихъ во всѣхъ отдѣлахъ математическаго знанія положили основаніе многимъ изъ самыхъ важныхъ современныхъ теорій.
Архимедъ (287-212 до Р. Х.). Квадратура параболы, выведенная Архимедомъ двумя различными способами, была первымъ примѣромъ точнаго опредѣленія площади, заключающейся между прямою и кривою линіей.
Всѣмъ хорошо извѣстно, что Архимеду принадлежатъ слѣдующія открытія: изслѣдованіе спиралей, отношенія ихъ площади къ площади круга, способъ проводить къ нимъ касательныя; опредѣленіе центра тяжести параболическаго сектора; выраженіе объема отрѣзковъ сфероида, параболическаго и гиперболическаго коноидовъ[1]; соотношеніе между шаромъ и описаннымъ цилиндромъ; отношеніе окружности къ діаметру и многія другія. Эти открытія навсегда останутся удивительными по новизнѣ и трудности, которыя они представляли въ свое время, и потому, что въ нихъ лежатъ зачатки большей части дальнѣйшихъ открытій, преимущественно въ тѣхъ отдѣлахъ геометріи, которые касаются измѣренія
[15]кривыхъ линій и поверхностей и требуютъ разсмотрѣнія безконечныхъ величинъ.
Изысканіе отношенія окружности къ діаметру было первымъ примѣромъ рѣшенія задачи по приближенію; этотъ способъ рѣшенія съ успѣхомъ и пользою прилагается весьма часто какъ въ алгебраическихъ вычисленіяхъ, такъ и въ геометрическихъ построеніяхъ.
10. Способъ, который Архимедъ употреблялъ для доказательства всѣхъ этихъ новыхъ и трудныхъ истинъ, по сущности своей былъ способъ истощенія (méthode d'exhaustion). Онъ состоялъ въ томъ, что искомая величина, напр. кривая линія, разсматривалась какъ предѣлъ, къ которому приближаются вписанные и описанные многоугольники по мѣрѣ постепеннаго удвоенія сторонъ, такъ что разность становится менѣе всякой данной величины. При этомъ мы какъ бы истощаемъ разность, откуда взято и названіе способа истощенія. Такое постепенное приближеніе многоугольника къ кривой доставляетъ намъ о ней все болѣе и болѣе ясное представленіе и, при помощи закона непрерывности, мы открываемъ ея искомое свойство. Въ заключеніе, прилагая методъ
reductio ad absurdum, мы доказываемъ строго справедливость найденнаго результата.
Часто говорятъ, что древніе разсматривали кривыя линіи, какъ многоугольники съ безконечно большимъ числомъ сторонъ. Но такого положенія мы нигдѣ не встрѣчаемъ въ ихъ сочиненіяхъ и оно было бы въ совершенномъ противорѣчіи съ строгостію ихъ доказательствъ: оно введено новѣйшими математиками и, благодаря ему, значительно упростились доказательства древнихъ. Эта счастливая мысль составляетъ уже переходъ отъ метода истощенія къ исчисленію безконечныхъ.
Утверждаютъ также, что методы Архимеда запутаны и мало понятны, основываясь въ этомъ случаѣ на показаніи Бульо (Boulliaud) довольно искуснаго геометра XVII столѣтія, который говоритъ, что онъ не могъ хорошенько понять доказательствъ въ книгѣ Архимеда о спираляхъ. Но это мнѣніе противоположно мнѣнію самихъ древнихъ, которые, благодаря удивительному порядку и ясности, введеннымъ Евклидомъ въ геометрію, должны были
[16]быть самыми вѣрными судьями въ этомъ дѣлѣ; подобный приговоръ опровергается также и мнѣніями новыхъ геометровъ: достаточно указать на сужденія Галилея и Маклорена, которые достаточно изучали творенія Архимеда.
«Дѣйствительно думаютъ, говоритъ Маклоренъ, что для доказательства главныхъ предложеній нужно бываетъ много приготовительныхъ теоремъ, отчего методъ его (Архимеда) кажется тяжелымъ. Но число переходныхъ предложеній не составляетъ еще важнаго недостатка: лишь бы мы были убѣждены, что эти переходы необходимы для полнаго и связнаго доказательства».
(A treatise of fluxions. Введеніе.)
Пеираръ (F. Peyrard), который изъ всѣхъ ученыхъ нашего времени изучилъ наиболѣе основательнымъ образомъ и во всѣхъ подробностяхъ творенія четырехъ великихъ геометровъ древности: Евклида, Архимеда, Аполлонія и Паппа, который перевелъ и объяснилъ ихъ, говоритъ прямо:
«Архимедъ въ дѣйствительности труденъ только для тѣхъ, кто не освоился съ методами древнихъ; для тѣхъ же, кто изучалъ эти методы, онъ напротивъ ясенъ и легко понимается»[2].
11.Аполлоній (около 247 до Р. X.). Аполлоній написалъ сочиненіе въ 8 книгахъ о коническихъ сѣченіяхъ. Въ первыхъ четырехъ книгахъ содержалось, мѣстами въ болѣе развитой и обобщенной формѣ, все то, что было прежде написано объ этомъ предметѣ и что въ то время называлось элементами коническихъ сѣченій четыре послѣднія книги заключали въ себѣ собственныя открытія этого великаго геометра.
Аполлоній первый разсматривалъ коническія сѣченія на косомъ конусѣ съ круглымъ основаніемъ: до него для этой цѣли употребляли всегда прямой конусъ вращенія и притомъ всегда брали сѣкущую плоскость перпендикулярную къ образующей; вслѣдствіе этого было необходимо для полученія трехъ родовъ коническихъ сѣченій разсматривать три конуса съ различными углами при вершинѣ. Поэтому и самыя кривыя носили названія сѣченій остроугольнаго, тупоугольнаго и прямоугольного конуса; названія эллипсъ,
[17]гипербола и парабола даны имъ въ первый разъ въ сочиненіи Аполлонія[3].
Почти весь этотъ ученый трудъ основывается на одномъ свойствѣ коническихъ сѣченій, вытекающемъ непосредственно изъ свойствъ того конуса, на которомъ образуются эти кривыя. Въ новѣйшихъ сочиненіяхъ это свойство большею частію вовсе не указывается, но оно заслуживаетъ большаго вниманія, и мы здѣсь упомянемъ о немъ, такъ какъ оно есть ключъ ко всему ученію древнихъ и совершенно необходимо для пониманія ихъ сочиненій.
Рис. къ n° 11. — latus transversum (діаметръ), — осевой треугольникъ, — вершины, — latus rectum (параметр); характеристическое свойство коническихъ сѣченій дается какъ . См. также статью Из прошлого аналитической геометрии Д.Д. Мордухай-Болтовскаго. — Ред.
Вообразимъ себѣ косой конусъ съ круглымъ основаніемъ; проведемъ прямую линію отъ вершины въ центръ основанія; эта прямая называется осью конуса. Плоскость, проведенная черезъ ось перпендикулярно къ основанію, пересѣкаетъ конусъ по двумъ образующимъ, а кругъ основанія по діаметру; треугольникъ, имѣющій сторонами діаметръ основанія и двѣ вышесказанныя образующія, называется осевымъ треугольникомъ. Для образованія коническихъ сѣченій Аполлоній беретъ плоскости, перпендикулярныя къ плоскости осеваго треугольника. Точки, въ которыхъ сѣкущая плоскость встрѣчаетъ боковыя стороны треугольника, суть вершины кривой, а прямая, соединяющая эти точки, — діаметръ. Аполлоній называетъ этотъ діаметръ latus transversum. Возставимъ въ одной изъ вершинъ кривой перпендикуляръ къ плоскости осеваго треугольника; на этомъ перпендикулярѣ можно опредѣлить такую точку (найти такую длину перпендикуляра), что если соединимъ ее съ другою вершиною и возставимъ изъ какой-нибудь точки діаметра кривой перпендикулярную ординату, то квадратъ этой ординаты, считаемой отъ діаметра до кривой, будетъ равенъ прямоугольнику, составленному изъ отрѣзка ординаты между діаметромъ и упомянутой прямой и изъ той части діаметра, которая заключается между первою вершиною и основаніемъ ординаты.
[18]Въ этомъ и состоитъ первоначальное и характеристическое свойство коническихъ сѣченій, открытое Аполлоніемъ, изъ котораго онъ чрезвычайно искусными путями и преобразованіями вывелъ почти всѣ другія свойства. Оно имѣло, какъ мы видимъ, въ его рукахъ почти то же значеніе, какъ уравненіе второй степени съ двумя перемѣнными въ системѣ аналитической геометріи Декарта.
Изъ cказаннаго видно, что діаметръ и перпендикуляръ данной длины, возстановленный въ концѣ его, достаточны для построенія кривой. На этихъ двухъ элементахъ древніе и основывали свою теорію коническихъ сѣченій. Перпендикуляръ, о которомъ здѣсь идетъ рѣчь, назывался latus erectum; ученые новаго времени долгое время употребляли измѣненное названіе latus rectum, пока наконецъ оно не замѣнилось словомъ параметръ, которое удержалось до сихъ поръ. Для опредѣленія длины latus rectumАполлоній и послѣдующіе за нимъ геометры предлагали различныя построенія на самомъ конусѣ, но, кажется, ни одно изъ нихъ не можетъ сравниться съ простымъ и красивымъ построеніемъ Якова Бернулли. Онъ говоритъ:
«Проведемъ плоскость параллельную основанію конуса на такомъ же разстояніи отъ вершины, на какомъ находится отъ нея плоскость разсматриваемаго коническаго сѣченія; эта плоскость пересѣчетъ конусъ по кругу, діаметръ котораго и будетъ latus rectum коническаго сѣченія»[4].
Отсюда выводится безъ труда способъ помѣщать данное коническое сѣченіе на данномъ конусѣ.
12. Въ сочиненіи Аполлонія изслѣдованы самыя замѣчательныя свойства коническихъ сѣченій. Укажемъ здѣсь на слѣдующія: свойства асимптотъ, занимающія большую часть второй книги; постоянное отношеніе произведеній отрѣзковъ, получаемыхъ отъ пересѣченія коническаго сѣченія двумя прямыми, параллельными двумъ главнымъ осямъ и проходящими чрезъ одну и ту же точку (теоремы 16—23 въ 3-й книгѣ); главныя свойства фокусовъ эллипса и гиперболы, которые называются у Аполлоніяточками приложенія[19](въ той же книгѣ теоремы 45—52)[5]; двѣ прекрасныя теоремы о сопряженныхъ діаметрахъ (7-я книга, теоремы 12 и 22, 30 и 31).
Мы должны еще указать на слѣдующую теорему, которая получила особенную важность въ новой геометріи, потомучто она послужила основнымъ положеніемъ теоріи взаимныхъ поляръ и изъ нея же Де-Лагиръ извлекъ основаніе для своей теоріи коническихъ сѣченій.
«Если черезъ точку пересѣченія двухъ касательныхъ коническаго сѣченія проведемъ сѣкущую, встрѣчающуюся съ кривою въ двухъ точкахъ, и съ линіею, соединяющею точки прикосновенія, въ третьей точкѣ, то эта третья точка съ точкой пересѣченія касательныхъ будутъ соотвѣтственныя гармоническія относительно первыхъ двухъ точекъ» (кн. 3, теор. 37).
Первыя 23 предложенія 4-й книги относятся къ гармоническому дѣленію прямой, проведенной въ плоскости коническаго сѣченія, и по большей части суть частные случаи вышеприведенной теоремы. Въ слѣдующихъ за тѣмъ предложеніяхъ Аполлоній разсматриваетъ систему двухъ коническихъ сѣченій и доказываетъ, что они могутъ пересѣкаться не болѣе, какъ въ 4 точкахъ. Онъ изслѣдуетъ, что должно происходить, когда коническія сѣченія касаются другъ друга въ одной или двухъ точкахъ, и разсматриваетъ различныя другія относительныя положенія ихъ между собою.
Пятая книга есть самый драгоцѣнный памятникъ Аполлоніева генія. Здѣсь въ первый разъ встрѣчаемъ мы изслѣдованія о наибольшихъ и наименьшихъ. Здѣсь опять находимъ мы все, чему научаютъ насъ объ этомъ предметѣ современные аналитическіе способы, и вмѣстѣ съ тѣмъ усматриваемъ первые слѣды прекрасной теоріи развертокъ. Аполлоній доказываетъ именно, что по каждую сторону оси коническаго сѣченія находится послѣдовательность точекъ, изъ которыхъ можно къ противолежащей части кривой провести только одну нормаль; онъ даетъ построеніе этихъ точекъ и замѣчаетъ, что непрерывнымъ рядомъ ихъ отдѣляются другъ отъ друга два пространства, имѣющія то замѣчательное различіе, что
[20]изъ точекъ одного можно провести къ противолежащей дугѣ кривой двѣ нормали, а изъ точекъ другаго — ни одной. Въ этомъ мы узнаемъ полное опредѣленіе центровъ кривизны и развертки коническаго сѣченія. Точки коническаго сѣченія, чрезъ которыя проходятъ нормали, проводимыя изъ данной точки, Аполлоній строитъ при помощи гиперболы, опредѣляя при этомъ ея элементы. Всѣ эти изысканія отличаются удивительною проницательностію. Великій трудъ Аполлонія пріобрѣлъ ему, по свидѣтельству Гемина, прозваніе геометра по преимуществу (κατ' εξοχήν).
До насъ дошли только семь первыхъ книгъ этого сочиненія: первыя четыре на языкѣ подлинника, а остальныя три въ арабскомъ переводѣ. Галлей сдѣлалъ опытъ возстановленія восьмой книги въ превосходномъ и единственномъ полномъ изданіи коническихъ сѣченій Аполлонія[6].
13.Аполлоній оставилъ послѣ себя еще многія другія сочиненія, относящіяся по большей части къ геометрическому анализу; изъ нихъ мы имѣемъ только одно
de sectione rationis;
остальныя же подъ заглавіями
de sectione spatii, de sectione determinata, de tactionibus, de inclinationibus, и de locis planis
возстановлены по указаніямъ Паппа различными геометрами двухъ послѣднихъ столѣтій.
Аполлонію принадлежитъ наконецъ честь примѣненія геометріи къ астрономіи; ему приписываютъ теорію эпицикловъ, помощію которыхъ объясняются явленія стоянія и возвратнаго движенія планетъ. Птоломей приводитъ имя Аполлонія по поводу этого предмета въ своемъ Альмагестѣ.
14. Между современниками Архимеда и Аполлонія слѣдуетъ отличить Эратосѳена, родившагося въ 276 году до Р X. (11 лѣтъ послѣ
[21]Архимеда и 31 годъ прежде Аполлонія). Этотъ философъ, глубоко свѣдущій во всѣхъ отрасляхъ знанія, былъ директоромъ александрійской библіотеки при третьемъ Птоломеѣ и долженъ быть поставленъ на ряду съ тремя знаменитыми геометрами древности — Аристеемъ, Евклидомъ и Аполлоніемъ. Паппъ упоминаетъ объ его сочиненіи въ двухъ книгахъ, которое относилось къ геометрическому анализу, но которое для насъ утрачено. Оно носило названіе de locis ad medietates;
какія это были геометрическія мѣста — неизвѣстно. Эратосѳенъ изобрѣлъ снарядъ для построенія двухъ среднихъ пропорціональныхъ, который назывался Mesolabium и который онъ самъ описываетъ въ письмѣ къ царю Птоломею, причемъ онъ разсказываетъ также исторію задачи объ удвоеніи куба. Это письмо передано намъ Евтоціемъ въ его комментаріи на книгу Архимеда о шарѣ и цилиндрѣ. Паппъ въ «Математическомъ Собраніи» даетъ также построеніе Эратосѳенова мезолябія.
15. Труды Архимеда и Аполлонія обозначаютъ собою самую блистательную эпоху древней науки. Впослѣдствіи труды эти послужили началомъ и основаніемъ для двухъ общихъ вопросовъ, занимавшихъ собою геометровъ всѣхъ эпохъ, — вопросовъ, къ которымъ примыкаютъ почти всѣ ихъ сочиненія, распадающіяся такимъ образомъ на два класса и какъ бы раздѣляющія между собою всю область геометріи.
Первый изъ этихъ важныхъ вопросовъ есть квадратура криволинейныхъ фигуръ; онъ былъ поводомъ къ изобрѣтенію исчисленія безконечныхъ, открытаго и мало по малу разработаннаго Кеплеромъ, Кавальери, Ферматомъ, Лейбницемъ и Ньютономъ.
Второй вопросъ есть теорія коническихъ сѣченій, вызвавшая прежде всего геометрическій анализъ древнихъ, а затѣмъ способы перспективы и трансверсалей. Этотъ второй вопросъ самъ былъ предшественникомъ общей теоріи кривыхъ линій всѣхъ порядковъ и той обширной части геометріи, въ которой при изысканіи свойствъ протяженія принимается въ соображеніе только видъ и положеніе фигуръ и въ которой мы пользуемся только пересѣченіемъ линій и поверхностей и отношеніями между прямолинейными разстояніями (координатами).
[22]Эти два обширные отдѣла геометріи, изъ которыхъ каждый имѣетъ свой особый характеръ, можно обозначить названіями: геометрія мѣры и геометрія вида и положенія, или названіями геометріи Архимеда и геометріи Аполлонія.
Впрочемъ на такіе же два отдѣла распадаются и всѣ математическія науки, имѣющія, по выраженію Декарта, предметомъ изысканія о порядкѣ (расположеніи) и о мѣрѣ[7].
Еще Аристотель (383—322 до Р. X.) высказалъ ту же мысль въ слѣдующихъ словахъ: «чѣмъ же другимъ занимаются математики, если не порядкомъ и отношеніемъ?»[8][9].
Такое опредѣленіе математическихъ наукъ и выраженное въ немъ раздѣленіе ихъ на два обширные отдѣла примѣнимо въ особенности къ геометріи. Удивительно, что даже въ лучшихъ сочиненіяхъ по геометріи эта наука опредѣляется какъ имѣющая предметомъ измѣреніе пространства. Подобное опредѣленіе очевидно неполно и даетъ ложное понятіе о цѣли и предметѣ геометріи. Это замѣчаніе заслуживаетъ вниманія и мы возвратимся къ нему въ Примѣчаніи V.
Примѣчанія.
↑Архимедъ называетъ сфероидами тѣла, происходящія отъ обращенія эллипса около большой или малой оси, а коноидами — тѣла, образуемыя вращеніемъ около оси параболы и гиперболы.
↑Впрочемъ два слова, парабола и эллипсъ, извѣстны уже были Архимеду. Первое встрѣчается въ заглавіи одного изъ его сочиненій (о квадратурѣ параболы), но ни разу не употребляется въ самомъ текстѣ; второе употреблено въ первый разъ въ 9 предложеніи книги о коноидахъ и сфероидахъ.
↑Novum theorema pro doctrina sectionum conicarum (Acta Erud. ann. 1689, стр. 586).
↑Apollonii Pergaei conicorum libri octo; in folio, Oxoniae, 1710. Пеираръ, въ предисловіяхъ къ переводу Архимеда и къ переводу Евклида на три языка, обѣщалъ французскій переводъ коническихъ сѣченій Аполлонія. Но смерть застигла этого трудолюбиваго дѣятеля науки, когда первые листы уже были отпечатаны. Было бы очень жаль, еслибы плоды его труда были потеряны для Франціи. Средства, назначаемыя для поощренія наукъ, не могли бы найти лучшаго употребленія, какъ изданіе этого сочиненія.
↑«Всѣ соотношенія, которыя могутъ существовать между однородными предметами, приводятся къ двумъ: порядку и мѣрѣ.» (Règles pour la direction de l'esprit; ouvrage posthume de Descartes, 14-е правило). Еще прежде этого
Декартъ сказалъ: «Всѣ науки, имѣющія предметомъ изслѣдованія порядка и мѣры, относятся къ математикѣ» (ibid. 4-е правило).
