Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/21

гипербола и парабола даны имъ въ первый разъ въ сочиненіи Аполлонія^[1].

Почти весь этотъ ученый трудъ основывается на одномъ свойствѣ коническихъ сѣченій, вытекающемъ непосредственно изъ свойствъ того конуса, на которомъ образуются эти кривыя. Въ новѣйшихъ сочиненіяхъ это свойство большею частію вовсе не указывается, но оно заслуживаетъ большаго вниманія, и мы здѣсь упомянемъ о немъ, такъ какъ оно есть ключъ ко всему ученію древнихъ и совершенно необходимо для пониманія ихъ сочиненій.

Рис. къ n° 11. $BC$ — latus transversum (діаметръ), $ABC$ — осевой треугольникъ, $E,F$ — вершины, $DE$ — latus rectum (параметр); характеристическое свойство коническихъ сѣченій дается какъ $GK^{2}=EG.HG$. См. также статью Из прошлого аналитической геометрии Д.Д. Мордухай-Болтовскаго. — Ред.

Вообразимъ себѣ косой конусъ съ круглымъ основаніемъ; проведемъ прямую линію отъ вершины въ центръ основанія; эта прямая называется осью конуса. Плоскость, проведенная черезъ ось перпендикулярно къ основанію, пересѣкаетъ конусъ по двумъ образующимъ, а кругъ основанія по діаметру; треугольникъ, имѣющій сторонами діаметръ основанія и двѣ вышесказанныя образующія, называется осевымъ треугольникомъ. Для образованія коническихъ сѣченій Аполлоній беретъ плоскости, перпендикулярныя къ плоскости осеваго треугольника. Точки, въ которыхъ сѣкущая плоскость встрѣчаетъ боковыя стороны треугольника, суть вершины кривой, а прямая, соединяющая эти точки, — діаметръ. Аполлоній называетъ этотъ діаметръ latus transversum. Возставимъ въ одной изъ вершинъ кривой перпендикуляръ къ плоскости осеваго треугольника; на этомъ перпендикулярѣ можно опредѣлить такую точку (найти такую длину перпендикуляра), что если соединимъ ее съ другою вершиною и возставимъ изъ какой-нибудь точки діаметра кривой перпендикулярную ординату, то квадратъ этой ординаты, считаемой отъ діаметра до кривой, будетъ равенъ прямоугольнику, составленному изъ отрѣзка ординаты между діаметромъ и упомянутой прямой и изъ той части діаметра, которая заключается между первою вершиною и основаніемъ ординаты.

1. Впрочемъ два слова, парабола и эллипсъ, извѣстны уже были Архимеду. Первое встрѣчается въ заглавіи одного изъ его сочиненій (о квадратурѣ параболы), но ни разу не употребляется въ самомъ текстѣ; второе употреблено въ первый разъ въ 9 предложеніи книги о коноидахъ и сфероидахъ.

Тот же текст в современной орфографии

гипербола и парабола даны им в первый раз в сочинении Аполлония^[1].

Почти весь этот ученый труд основывается на одном свойстве конических сечений, вытекающем непосредственно из свойств того конуса, на котором образуются эти кривые. В новейших сочинениях это свойство большею частью вовсе не указывается, но оно заслуживает большего внимания, и мы здесь упомянем о нем, так как оно есть ключ ко всему учению древних и совершенно необходимо для понимания их сочинений.

Рис. к n° 11. $BC$ — latus transversum (диаметр), $ABC$ — осевой треугольник, $E,F$ — вершины, $DE$ — latus rectum (параметр); характеристическое свойство конических сечений дается как $GK^{2}=EG.HG$. См. также статью «Из прошлого аналитической геометрии» Д.Д. Мордухай-Болтовского. — Ред.

Вообразим себе косой конус с круглым основанием; проведем прямую линию от вершины в центр основания; эта прямая называется осью конуса. Плоскость, проведенная через ось перпендикулярно к основанию, пересекает конус по двум образующим, а круг основания по диаметру; треугольник, имеющий сторонами диаметр основания и две вышесказанные образующие, называется осевым треугольником. Для образования конических сечений Аполлоний берет плоскости, перпендикулярные к плоскости осевого треугольника. Точки, в которых секущая плоскость встречает боковые стороны треугольника, суть вершины кривой, а прямая, соединяющая эти точки, — диаметр. Аполлоний называет этот диаметр latus transversum. Восстановим в одной из вершин кривой перпендикуляр к плоскости осевого треугольника; на этом перпендикуляре можно определить такую точку (найти такую длину перпендикуляра), что если соединим ее с другою вершиною и восстановим из какой-нибудь точки диаметра кривой перпендикулярную ординату, то квадрат этой ординаты, считаемой от диаметра до кривой, будет равен прямоугольнику, составленному из отрезка ординаты между диаметром и упомянутой прямой и из той части диаметра, которая заключается между первою вершиною и основанием ординаты.

1. Впрочем два слова, парабола и эллипс, известны уже были Архимеду. Первое встречается в заглавии одного из его сочинений (о квадратуре параболы), но ни разу не употребляется в самом тексте; второе употреблено в первый раз в 9 предложении книги о коноидах и сфероидах.