Оригинал: фр.Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: М. Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — Москва: М. Катков, 1883. — Т. I.
[14]9. Вскоре после Евклида являются два человека, одаренные необыкновенною умственною силою, — Архимед и Аполлоний; ими обозначается самая блистательная эпоха древней геометрии. Многочисленные открытия их во всех отделах математического знания положили основание многим из самых важных современных теорий.
Архимед (287-212 до Р. Х.). Квадратура параболы, выведенная Архимедом двумя различными способами, была первым примером точного определения площади, заключающейся между прямою и кривою линией.
Всем хорошо известно, что Архимеду принадлежат следующие открытия: исследование спиралей, отношения их площади к площади круга, способ проводить к ним касательные; определение центра тяжести параболического сектора; выражение объема отрезков сфероида, параболического и гиперболического коноидов[1]; соотношение между шаром и описанным цилиндром; отношение окружности к диаметру и многие другие. Эти открытия навсегда останутся удивительными по новизне и трудности, которые они представляли в свое время, и потому, что в них лежат зачатки большей части дальнейших открытий, преимущественно в тех отделах геометрии, которые касаются измерения [15]кривых линий и поверхностей и требуют рассмотрения бесконечных величин.
Изыскание отношения окружности к диаметру было первым примером решения задачи по приближению; этот способ решения с успехом и пользою прилагается весьма часто как в алгебраических вычислениях, так и в геометрических построениях.
10. Способ, который Архимед употреблял для доказательства всех этих новых и трудных истин, по сущности своей был способ истощения (méthode d'exhaustion). Он состоял в том, что искомая величина, напр. кривая линия, рассматривалась как предел, к которому приближаются вписанные и описанные многоугольники по мере постепенного удвоения сторон, так что разность становится менее всякой данной величины. При этом мы как бы истощаем разность, откуда взято и название способа истощения. Такое постепенное приближение многоугольника к кривой доставляет нам о ней всё более и более ясное представление и, при помощи закона непрерывности, мы открываем её искомое свойство. В заключение, прилагая метод reductio ad absurdum, мы доказываем строго справедливость найденного результата.
Часто говорят, что древние рассматривали кривые линии, как многоугольники с бесконечно большим числом сторон. Но такого положения мы нигде не встречаем в их сочинениях и оно было бы в совершенном противоречии с строгостью их доказательств: оно введено новейшими математиками и, благодаря ему, значительно упростились доказательства древних. Эта счастливая мысль составляет уже переход от метода истощения к исчислению бесконечных.
Утверждают также, что методы Архимеда запутаны и мало понятны, основываясь в этом случае на показании Бульо (Boulliaud) довольно искусного геометра XVII столетия, который говорит, что он не мог хорошенько понять доказательств в книге Архимеда о спиралях. Но это мнение противоположно мнению самих древних, которые, благодаря удивительному порядку и ясности, введенным Евклидом в геометрию, должны были [16]быть самыми верными судьями в этом деле; подобный приговор опровергается также и мнениями новых геометров: достаточно указать на суждения Галилея и Маклорена, которые достаточно изучали творения Архимеда.
«Действительно думают, говорит Маклорен, что для доказательства главных предложений нужно бывает много приготовительных теорем, отчего метод его (Архимеда) кажется тяжелым. Но число переходных предложений не составляет еще важного недостатка: лишь бы мы были убеждены, что эти переходы необходимы для полного и связного доказательства».[2]
Пеирар (F. Peyrard), который из всех ученых нашего времени изучил наиболее основательным образом и во всех подробностях творения четырех великих геометров древности: Евклида, Архимеда, Аполлония и Паппа, который перевел и объяснил их, говорит прямо:
«Архимед в действительности труден только для тех, кто не освоился с методами древних; для тех же, кто изучал эти методы, он напротив ясен и легко понимается»[3].
11.Аполлоний (около 247 до Р. X.). Аполлоний написал сочинение в 8 книгах о конических сечениях. В первых четырех книгах содержалось, местами в более развитой и обобщенной форме, всё то, что было прежде написано об этом предмете и что в то время называлось элементами конических сечений четыре последние книги заключали в себе собственные открытия этого великого геометра.
Аполлоний первый рассматривал конические сечения на косом конусе с круглым основанием: до него для этой цели употребляли всегда прямой конус вращения и притом всегда брали секущую плоскость перпендикулярную к образующей; вследствие этого было необходимо для получения трех родов конических сечений рассматривать три конуса с различными углами при вершине. Поэтому и самые кривые носили названия сечений остроугольного, тупоугольного и прямоугольного конуса; названия эллипс, [17]гипербола и парабола даны им в первый раз в сочинении Аполлония[4].
Почти весь этот ученый труд основывается на одном свойстве конических сечений, вытекающем непосредственно из свойств того конуса, на котором образуются эти кривые. В новейших сочинениях это свойство большею частью вовсе не указывается, но оно заслуживает большего внимания, и мы здесь упомянем о нем, так как оно есть ключ ко всему учению древних и совершенно необходимо для понимания их сочинений.
Рис. к n° 11. — latus transversum (диаметр), — осевой треугольник, — вершины, — latus rectum (параметр); характеристическое свойство конических сечений дается как . См. также статью «Из прошлого аналитической геометрии» Д.Д. Мордухай-Болтовского. — Ред.
Вообразим себе косой конус с круглым основанием; проведем прямую линию от вершины в центр основания; эта прямая называется осью конуса. Плоскость, проведенная через ось перпендикулярно к основанию, пересекает конус по двум образующим, а круг основания по диаметру; треугольник, имеющий сторонами диаметр основания и две вышесказанные образующие, называется осевым треугольником. Для образования конических сечений Аполлоний берет плоскости, перпендикулярные к плоскости осевого треугольника. Точки, в которых секущая плоскость встречает боковые стороны треугольника, суть вершины кривой, а прямая, соединяющая эти точки, — диаметр. Аполлоний называет этот диаметр latus transversum. Восстановим в одной из вершин кривой перпендикуляр к плоскости осевого треугольника; на этом перпендикуляре можно определить такую точку (найти такую длину перпендикуляра), что если соединим ее с другою вершиною и восстановим из какой-нибудь точки диаметра кривой перпендикулярную ординату, то квадрат этой ординаты, считаемой от диаметра до кривой, будет равен прямоугольнику, составленному из отрезка ординаты между диаметром и упомянутой прямой и из той части диаметра, которая заключается между первою вершиною и основанием ординаты. [18]В этом и состоит первоначальное и характеристическое свойство конических сечений, открытое Аполлонием, из которого он чрезвычайно искусными путями и преобразованиями вывел почти все другие свойства. Оно имело, как мы видим, в его руках почти то же значение, как уравнение второй степени с двумя переменными в системе аналитической геометрии Декарта.
Из сказанного видно, что диаметр и перпендикуляр данной длины, восстановленный в конце его, достаточны для построения кривой. На этих двух элементах древние и основывали свою теорию конических сечений. Перпендикуляр, о котором здесь идет речь, назывался latus erectum; ученые нового времени долгое время употребляли измененное название latus rectum, пока наконец оно не заменилось словом параметр, которое удержалось до сих пор. Для определения длины latus rectumАполлоний и последующие за ним геометры предлагали различные построения на самом конусе, но, кажется, ни одно из них не может сравниться с простым и красивым построением Якова Бернулли. Он говорит:
«Проведем плоскость, параллельную основанию конуса, на таком же расстоянии от вершины, на каком находится от неё плоскость рассматриваемого конического сечения; эта плоскость пересечет конус по кругу, диаметр которого и будет latus rectum конического сечения»[5].
Отсюда выводится без труда способ помещать данное коническое сечение на данном конусе.
12. В сочинении Аполлония исследованы самые замечательные свойства конических сечений. Укажем здесь на следующие: свойства асимптот, занимающие большую часть второй книги; постоянное отношение произведений отрезков, получаемых от пересечения конического сечения двумя прямыми, параллельными двум главным осям и проходящими чрез одну и ту же точку (теоремы 16—23 в 3-й книге); главные свойства фокусов эллипса и гиперболы, которые называются у Аполлонияточками приложения[19](в той же книге теоремы 45—52)[6]; две прекрасные теоремы о сопряженных диаметрах (7-я книга, теоремы 12 и 22, 30 и 31).
Мы должны еще указать на следующую теорему, которая получила особенную важность в новой геометрии, потому что она послужила основным положением теории взаимных поляр и из неё же Де-Лагир извлек основание для своей теории конических сечений.
«Если через точку пересечения двух касательных конического сечения проведем секущую, встречающуюся с кривою в двух точках, и с линиею, соединяющею точки прикосновения, в третьей точке, то эта третья точка с точкой пересечения касательных будут соответственные гармонические относительно первых двух точек.» [7]
Первые 23 предложения 4-й книги относятся к гармоническому делению прямой, проведенной в плоскости конического сечения, и по большей части суть частные случаи вышеприведенной теоремы. В следующих за тем предложениях Аполлоний рассматривает систему двух конических сечений и доказывает, что они могут пересекаться не более, как в 4 точках. Он исследует, что должно происходить, когда конические сечения касаются друг друга в одной или двух точках, и рассматривает различные другие относительные положения их между собою.
Пятая книга есть самый драгоценный памятник Аполлониева гения. Здесь в первый раз встречаем мы исследования о наибольших и наименьших. Здесь опять находим мы всё, чему научают нас об этом предмете современные аналитические способы, и вместе с тем усматриваем первые следы прекрасной теории разверток. Аполлоний доказывает именно, что по каждую сторону оси конического сечения находится последовательность точек, из которых можно к противолежащей части кривой провести только одну нормаль; он дает построение этих точек и замечает, что непрерывным рядом их отделяются друг от друга два пространства, имеющия то замечательное различие, что [20]из точек одного можно провести к противолежащей дуге кривой две нормали, а из точек другого — ни одной. В этом мы узнаем полное определение центров кривизны и развертки конического сечения. Точки конического сечения, чрез которые проходят нормали, проводимые из данной точки, Аполлоний строит при помощи гиперболы, определяя при этом её элементы. Все эти изыскания отличаются удивительною проницательностью. Великий труд Аполлония приобрел ему, по свидетельству Гемина, прозвание геометра по преимуществу (κατ' εξοχήν).
До нас дошли только семь первых книг этого сочинения: первые четыре на языке подлинника, а остальные три в арабском переводе. Галлей сделал опыт восстановления восьмой книги в превосходном и единственном полном издании конических сечений Аполлония[8].
13.Аполлоний оставил после себя еще многие другие сочинения, относящиеся по большей части к геометрическому анализу; из них мы имеем только одно
De sectione rationis;
остальные же под заглавиями
De sectione spatii, De sectione determinata, De tactionibus, De inclinationibus, и De locis planis восстановлены по указаниям Паппа различными геометрами двух последних столетий.
Аполлонию принадлежит наконец честь применения геометрии к астрономии; ему приписывают теорию эпициклов, помощью которых объясняются явления стояния и возвратного движения планет. Птоломей приводит имя Аполлония по поводу этого предмета в своем Альмагесте.
14. Между современниками Архимеда и Аполлония следует отличить Эратосфена, родившегося в 276 году до Р X. (11 лет после [21]Архимеда и 31 год прежде Аполлония). Этот философ, глубоко сведущий во всех отраслях знания, был директором александрийской библиотеки при третьем Птоломее и должен быть поставлен на ряду с тремя знаменитыми геометрами древности — Аристеем, Евклидом и Аполлонием. Папп упоминает об его сочинении в двух книгах, которое относилось к геометрическому анализу, но которое для нас утрачено. Оно носило название De locis ad medietates;
какие это были геометрические места — неизвестно. Эратосфен изобрел снаряд для построения двух средних пропорциональных, который назывался Mesolabium и который он сам описывает в письме к царю Птоломею, причем он рассказывает также историю задачи об удвоении куба. Это письмо передано нам Евтоцием в его комментарии на книгу Архимеда о шаре и цилиндре. Папп в «Математическом Собрании» дает также построение Эратосфенова мезолябия.
15. Труды Архимеда и Аполлония обозначают собою самую блистательную эпоху древней науки. Впоследствии труды эти послужили началом и основанием для двух общих вопросов, занимавших собою геометров всех эпох, — вопросов, к которым примыкают почти все их сочинения, распадающиеся таким образом на два класса и как бы разделяющие между собою всю область геометрии.
Первый из этих важных вопросов есть квадратура криволинейных фигур; он был поводом к изобретению исчисления бесконечных, открытого и мало-помалу разработанного Кеплером, Кавальери, Ферматом, Лейбницем и Ньютоном.
Второй вопрос есть теория конических сечений, вызвавшая прежде всего геометрический анализ древних, а затем способы перспективы и трансверсалей. Этот второй вопрос сам был предшественником общей теории кривых линий всех порядков и той обширной части геометрии, в которой при изыскании свойств протяжения принимается в соображение только вид и положение фигур и в которой мы пользуемся только пересечением линий и поверхностей и отношениями между прямолинейными расстояниями (координатами). [22]Эти два обширные отдела геометрии, из которых каждый имеет свой особый характер, можно обозначить названиями: геометрия меры и геометрия вида и положения, или названиями геометрии Архимеда и геометрии Аполлония.
Впрочем на такие же два отдела распадаются и все математические науки, имеющие, по выражению Декарта, предметом изыскания о порядке (расположении) и о мере[9].
Еще Аристотель (383—322 до Р. X.) высказал ту же мысль в следующих словах: «чем же другим занимаются математики, если не порядком и отношением?»[10][11].
Такое определение математических наук и выраженное в нем разделение их на два обширные отдела применимо в особенности к геометрии. Удивительно, что даже в лучших сочинениях по геометрии эта наука определяется как имеющая предметом измерение пространства. Подобное определение очевидно неполно и дает ложное понятие о цели и предмете геометрии. Это замечание заслуживает внимания и мы возвратимся к нему в Примечании V.
Примечания
↑Архимед называет сфероидами тела, происходящие от обращения эллипса около большой или малой оси, а коноидами — тела, образуемые вращением около оси параболы и гиперболы.
↑Впрочем два слова, парабола и эллипс, известны уже были Архимеду. Первое встречается в заглавии одного из его сочинений (о квадратуре параболы), но ни разу не употребляется в самом тексте; второе употреблено в первый раз в 9 предложении книги о коноидах и сфероидах.
↑Novum theorema pro doctrina sectionum conicarum (Acta Erud. ann. 1689, стр. 586).
↑Apollonii Pergaei conicorum libri octo; in folio, Oxoniae, 1710. Пеирар, в предисловиях к переводу Архимеда и к переводу Евклида на три языка, обещал французский перевод конических сечений Аполлония. Но смерть застигла этого трудолюбивого деятеля науки, когда первые листы уже были отпечатаны. Было бы очень жаль, если бы плоды его труда были потеряны для Франции. Средства, назначаемые для поощрения наук, не могли бы найти лучшего употребления, как издание этого сочинения.
↑«Все соотношения, которые могут существовать между однородными предметами, приводятся к двум: порядку и мере.» (Règles pour la direction de l'esprit; ouvrage posthume de Descartes, 14-е правило). Еще прежде этого
Декарт сказал: «Все науки, имеющие предметом исследования порядка и меры, относятся к математике» (ibid. 4-е правило).
