Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/14

2. Если между отрѣзками, образуемыми двумя перемѣнными точками $a$ и $a_{1}$, на двухъ неподвижныхь прямыхъ $SO$ и $SO_{1}$, существуетъ соотношеніе (2), то прямая $aa_{1}$ проходитъ постоянно черезъ одну и ту же точку, положеніе которой вполнѣ опредѣляется постоянными $\lambda$ и $\mu$.

Изъ первой поризмы и ея обратной легко выводится слѣдующая весьма общая поризма, относящаяся ко всѣмъ геометрическимъ кривымъ.

Общая поризма. Если предположимъ тоже, что въ первой поризмѣ, и изъ каждой точки данной кривой лѵніи будемъ проводить къ точкамъ $P$ и $P_{1}$ прямыя, встрѣчающяся съ сѣкущими въ точкахъ $a$ и $a_{1}$, то существуютъ такіе коэффиціенты $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\delta$ и т. д., при которыхъ будетъ удовлетворено общее уравненіе $m$-ой степени между отношеніями ${\tfrac {Oa}{Ea}}$ и ${\tfrac {O_{1}a_{1}}{E_{1}a_{1}}}$:

$\left({\frac {Oa}{Ea}}\right)^{m}+\left(\alpha {\frac {O_{1}a_{1}}{E_{1}a_{1}}}+\beta \right)\left({\frac {Oa}{Ea}}\right)^{m-1}+\dots =0$

Отсюда проистекаетъ безчисленное множество системъ координатъ, которыя могутъ служить для выраженія всѣхъ точекъ кривой; систему Декарта получимъ, если возьмемъ точку $P$ на прямой $O_{1}E_{1}$ и на безконечномъ разстояніи, а точку $P_{1}$ на прямой $OE$ и также въ безконечности, и сверхъ того возьмемъ точки $O$ и $O_{1}$ въ точкѣ пересѣченія сѣкущихъ $OE$ и $O_{1}E_{1}$.

Вторая поризма и ея обратная ведутъ также къ одной весьма общей поризмѣ, относящейся ко всѣмъ геометрическимъ кривымъ.

Общая поризма. Проведемъ въ плоскости кривой двѣ сѣкущія, пересѣкающіяся въ точкѣ $S$, и возьмемъ на нихъ соотвѣтственно двѣ точки $O$ и $O_{1}$. Каждая касательная пересѣчетъ эти прямыя въ двухъ точкахъ $a$ и $a_{1}$. Если общій характеръ кривой состоитъ въ томъ, что къ ней изъ внѣшней точки можно провесть не болѣе $m$ касательныхъ, то существуютъ такіе коэффиціенты $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\dots$, при которыхъ будетъ удовлетворено общее уравненіе $m$-ой степени между отношеніями ${\tfrac {Oa}{Sa}}$ и ${\tfrac {O_{1}a_{1}}{S_{1}a_{1}}}$: