Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/16

черезъ стороны треугольника $AB,\,BC,\,CA$ и пересѣкающіяся съ сѣкущими соотвѣтственно въ точкахъ $a,\,a_{1},\,a_{2}$, то можно всегда опредѣлить три такія количества $\lambda ,\,\mu ,\nu$, чтобы постоянно существовало уравненіе:

${\frac {Oa}{Ea}}+\lambda {\frac {O_{1}a_{1}}{E_{1}a_{1}}}+\mu {\frac {O_{2}a_{2}}{E_{2}a_{2}}}=\nu$.

И обратно, если даны коэффиціенты $\lambda ,\,\mu ,\nu$, то имъ всегда соотвѣтствуетъ плоскость, положеніе которой можно опредѣлить.

Вторая поризма. Возьмемъ въ пространствѣ трегранный уголъ, вершина котораго находится въ точкѣ $S$, и на ребрахъ его три неподвижныя точки $O,\,O_{1},\,O_{2}$. Если около какой нибудь данной точки будемъ вращать плоскость, которая будетъ пересѣкать ребра треграннаго уіла въ точкахъ $a,\,a_{1},\,a_{2}$, то можно найти три такія количества $\lambda ,\,\mu ,\nu$, что постоянно будетъ имѣть мѣсто ураѳненіе:

${\frac {Oa}{Sa}}+\lambda {\frac {O_{1}a_{1}}{S_{1}a_{1}}}+\mu {\frac {O_{2}a_{2}}{S_{2}a_{2}}}=\nu$.

И обратно, если даны три коэффиціента $\lambda ,\,\mu ,\nu$ этого уравненія, то ими вполнѣ опредѣляется соотвѣтствующая точка пространства.

Эти двѣ общія теоремы ведутъ къ безчисленному множеству слѣдствій, въ которыхъ между прочимъ заключается начало преобразованія фигуръ и двойственности свойствъ протяженія. Впрочемъ мы не можемъ входить здѣсь въ подробности относительно этихъ предметовъ.

Прибавленіе. Двѣ поризмы плоской геомотріи, приложенныя нами къ геометріи трехъ измѣреній, имѣютъ также себѣ соотвѣтствующія на сферѣ. Вотъ онѣ:

1-я поризма. Возьмемъ на сферѣ: двѣ неподвижныя точки $P,\,P'$; двѣ дуги, пересѣкающіяся съ дугою $PP'$ въ $E,\,E'$, и на этихъ двухъ дугахъ соотвѣтственно двѣ неподвижныя точки $O,\,O'$. Если изъ каждой точки какой нибудь данной дуги будемъ