Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/21

Свойства вторых поляр. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 21.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

Сеть смешанных поляр, полюса которых лежат на заданной прямой

123. Поляра $oo'C_{n}=o'oC_{n}$ была названа выше в § 116 для краткости смешанной второй полярой для точек $o,\,o'$. В согласии с этой договоренностью, поляру $o^{2}C_{n}=ooC_{n}$ будем называть чистой второй полярой для точки $o$.

Если смешанная поляра $oo'C_{n}$ проходит через точку $a$, то прямая $oa^{n-2}C_{n}$ проходит через точку $o'$ (69d); поэтому в силу § 108 верно:

Смешанная вторая поляра для точек $o,o'$ — это место точек, служащих полюсами полярных коник, относительно которых точки $o,\,o'$ являются сопряженными полюсами.

Пусть теперь задана прямая $R$. Если на ней взять две точки $o,\,o'$, сопряженные относительно коники $a^{n-2}C_{n}$, то смешанная поляра $oo'C_{n}$ проходит через точку $a$. Пары точек, лежащие на $R$ и сопряженные относительно указанной коники, составляют инволюцию, двойные точки $e,\,f$ которой являются точками пересечениями коники с прямой (§ 108). Поэтому точки $e,\,f$ являются полюсами двух чистых вторых поляр, проходящих через точку $a$.

Отсюда получается след.: для того, чтобы вторая смешанная поляра, полюса которой $o,\,o'$ лежат на прямой $R$, проходила через точку $a$, необходимо и достаточно, чтобы точки $o,\,o'$ делили гармонически точками $e,\,f$, [в которых коника $a^{n-2}C_{n}$ пересекает эту прямую]. Иными словами: если $o,\,o',\,e,\,f$ — четыре гармонические точки, то вторая смешанная поляра $oo'C_{n}$ проходит через полюса всех всех полярных коник, которым принадлежат точки $e,\,f$. Когда полярная коника проходит через две точки $e,\,f$, ее полюс лежит на чистых полярах $e^{2}C_{n}$ и $f^{2}C_{n}$ (69, a), поэтому $(n-2)^{2}$ точек, общих этим двум вторым полярам, являются полюсами того же числа полярных коник, проходящих через точки $e,\,f$, а следовательно, и точками, общими для всех смешанных вторых поляр, проходящих через $a$, и имеющих полюса на $R$.

Итого: смешанные вторые поляры, которые проходят через одну заданную точку и оба полюса которой лежат на заданной прямой, образуют пучок порядка $n-2$.

Условие прохождения через две точки $a,\,b$ однозначно определяют смешанную вторую поляру, полюса которой лежат на [заданной] прямой $R$. Именно, точки прямой $R$, сопряженные друг к другу относительно полярной коники $a^{n-2}C_{n}$, образуют одну инволюцию, вторую же инволюцию порождает точка $b$; пара сопряженных точек, общая обеим инволюциям (§ 25b) как раз и образована полюсами искомой смешанной второй поляры.

Таким образом, смешанные и чистые поляры, полюса которых лежат на заданной прямой, составляют геометрическую сеть порядка $n-2$. Кроме того, чистые вторые поляры для точек прямой образуют семейство кривых индекса 2, то есть через произвольную точку $a$ проходят две чистые поляры, полюса которых лежат на заданной прямой (и на конике $a^{n-2}C_{n}$). Место двойных точек чистых и смешанных поляр, полюса которых лежат на заданной прямой, то есть гессиана названной сети, является кривой порядка $3(n-3)$ (§ 92).

Сеть смешанных вторых поляр для пары прямых, пересекающихся в заданной точке

124. Как мы только что заметили, через две точки $e,\,f$ заданной прямой $R$ проходят $(n-2)^{2}$ полярных коник, полюса которых — суть пересечения чистых вторых поляр для $e,\,f$. Если эти две точки сливаются в одну единственную точку $f$, то мы имеем $(n-2)^{2}$ полярных коник, касающихся в точке $f$ прямой $R$, и их полюса — это пересечения чистой второй поляры для $f$ с полярой для точки, бесконечно близкой к $f$ на $R$, то есть точки касания чистой второй поляры для $f$ со второй полярой для заданной прямой (кривой, которую огибают чистые вторые поляры для точек $R$, иными словами, места полюсов полярных коник, касающихся прямой $R$ (104)).

Кроме того, выше было отмечено, что если $o,\,o',\,e,\,f$ — четыре гармонические точки (на прямой $R$), то поляра $oo'C_{n}$ проходит через $(n-2)^{2}$ пересечений поляр $e^{2}C_{n},\,f^{2}C_{n}$. Предположим теперь, что $e,\,f$ сливаются в одну единственную точку $f$, а значит одна из двух других точек (пусть, для определенности, $o'$) тоже попадает в $f$ (§ 4). Поэтому смешанная вторая поляра для двух точек $o,\,f$ прямой $R$ проходит через $(n-2)^{2}$ точек, в которых чистая вторая поляра для $f$ касается второй поляры для $R$. Итого:

Кривая порядка $2(n-2)$, а именно вторая поляра для прямой $R$, касается в $(n-2)^{2}$ точках чистой второй поляры для произвольной точки $o$ прямой $R$. При этом все $2(n-2)^{2}$ точек, в которых вторая поляра для $R$ касается двух чистых вторых поляр для точек $o,\,o'$ прямой $R$, лежат на одной и той же кривой порядка $n-2$, именно, на смешанной второй поляре для точек $o,\,o'$.

124a. Из всего доказанного получается, что вторая поляра для прямой и сеть чистых и смешанных вторых поляр для точек этой прямой состоят в том же отношении, в каком состоят коника и сеть прямых, касающихся ее или секущих.^[1]

124b. Этот важный вывод не является чем-то присущим исключительно вторым полярам, но вообще распространяется на произвольные сети. Пусть задана геометрическая сеть кривых порядка $m$, среди которых имеется бесконечное число кривых, составляющих ряд индекса 2. Оболочка кривых этого ряда — это линия, которая касается каждой огибающей ее кривой в $m^{2}$ точках, в которых огибающая кривая пересекает следующую за ней кривую ряда. Но через произвольную точку проходят только две кривые ряда и они неизбежно совпадают, если точка лежит на этой кривой-оболочке. Поэтому оболочка не может пересекать огибающие ее кривые без касания; отсюда, поскольку две кривые ряда касаются в $m^{2}$ точках, оболочка кривых рассматриваемого ряда является кривой порядка $2m$.

Все кривые сети, проходящие через одну единственную точку, образуют пучок. Точки касания оболочки и одной из огибающих ее кривых являются точками пересечения соседних кривых, поэтому они составляют базу одного из пучков сети. Все кривые сети, проходящие через точку, в которой оболочка касается заданной кривой, огибающей эту оболочку, проходят также через остальные $m^{2}-1$ точек касания оболочки и огибающей ее кривой.

Через две точки, в которых оболочка касается двух различных огибающих ее кривых, проходит одна единственная кривая сети. Поэтому произвольная кривая, принадлежащая сети, но не ряду, пересекает оболочку в $2m^{2}$ точках, в которых эта оболочка касается двух кривых ряда.

124c. Вернемся ко второй поляре для прямой $R$; $(n-2)^{2}$ точек, в которых эта кривая касается чистой второй поляры для точки $o$ прямой $R$, составляют базу пучка смешанных вторых поляр, одним из полюсов которых является точка $o$, а другим — подвижная точка прямой $R$. Если две из этих точек касания сливаются в одну точку, то кривые пучка имеют в ней общую касательную, а для одной из них эта точка является двойной (§ 47). Эта точка, следовательно, принадлежит гессиане сети, образованной чистыми и смешанными вторыми полярами для точек прямой $R$ (§ 123). Поэтому в каждом из $6(n-2)(n-3)$ пересечений гессианы со второй полярой для $R$, последняя кривая имеет касание кратности 4 с чистой второй полярой (полюс которой лежит на прямой $R$), касающейся ее еще в $(n-2)^{2}-2$ других различных точках.

125. Вторую поляру для прямой $R$ можно также рассматривать как место пересечений соответствующих кривых двух проективных пучков. Пусть $o,\,o'$ — две фиксированные точки, а $i$ — подвижная точка прямой $R$. Поляры $oiC_{n}$ и $o'iC_{n}$ пересекаются в $(n-2)^{2}$ точках, принадлежащих второй поляре для $R$, поскольку в них происходит касание между этой кривой и $i^{2}C_{n}$ (§ 124). Когда точка $i$ пробегает прямую $R$, а точки $o,\,o'$ остаются постоянными, эти две смешанные поляры образуют два проективных пучка порядка $n-2$, а место точек, общих двум соответствующим кривым описывает вторую поляру для $R$.

В качестве точек $o,\,o'$ можно, очевидно, брать любые две точки, лежащие на прямой $R$, поскольку $(n-2)^{2}$ пересечений поляр $oiC_{n}$ и $o'iC_{n}$ есть ни что иное как полюса прямой $R$ относительно $iC_{n}$ (§ 77). Отсюда получается нижеследующее новое определение (ср. § 86):

Вторая поляра для прямой — это место полюсов этой прямой относительно первой поляры для точки, пробегающей эту же прямую.^[2]

125a. Это определение естественным образом приводит к важному обобщению.

Пусть заданы две прямые $R,\,R'$, каково место полюсов одной из них относительно первой поляры для подвижной точки на второй прямой? Зафиксируем произвольным образом две точки $o,\,o'$ на прямой $R'$ и возьмем произвольную точку $i$ на прямой $R$, тогда смешанные поляры $oiC_{n}$ и $o'iC_{n}$ пересекаются в $(n-2)^{2}$ точках, которые являются полюсами $R'$ относительно $iC_{n}$. Когда точка $i$ пробегает прямую $R$, эти смешанные поляры образуют два проективных пучка порядка $n-2$; место точек, в которых пересекаются соответствующие кривые, является линией порядка $2(n-2)$, которая, очевидным образом, и есть искомая кривая. Эту кривую можно назвать второй смешанной полярой для прямых $R,\,R'$, с тем, чтобы отличать ее от определенной выше чистой второй поляры для $R$.

125b. Как чистая вторая поляра для $R$ — это место таких точек, в которых полярная коника касается прямой $R$, так и вторая смешанная поляра для двух прямых $R,\,R'$ — это место таких точек, относительно полярных коник для которых прямые $R,\,R'$ являются сопряженными.

В самом деле, если [$a$ — точка второй смешанной полярой для рассматриваемых прямых, то согласно пред.] поляры $oiC_{n}$ и $o'iC_{n}$ проходят через точку $a$, поэтому прямая $ia^{n-2}C_{n}$ проходит через точки $o$ и $o'$ [и, следовательно, совпадает с $R'$], то есть точка $i$ является полюсом прямой $R'$ относительно коники $a^{n-2}C_{n}$, что и тр. д.

[Такого описания смешанной поляры для пары прямых двойственно описанию поляры для пары точек, данному в § 123; его симметрия дает право обозначить поляру для пары прямых как $RR'C_{n}=R'RC_{n}$, а чистую поляру обозначить как $R^{2}C_{n}$.]

125c. Взяв в § 125a в качестве точки $i$ пересечение прямых $R,\,R'$, найдем, что вторая смешанная поляра для этих прямых проходит через $(n-2)^{2}$ точек, общих полярам $oiC_{n}$ и $o'iC_{n}$, то есть (§ 124) через $(n-2)^{2}$ точек, в которых $i^{2}C_{n}$ касается ${R'}^{2}C_{n}$. Итого:

Чистая вторая поляра для точки пересечения двух прямых касается чистых вторых поляр для этих прямых, каждую в $(n-2)^{2}$ точках. Вмести $2(n-2)^{2}$ точки касания лежат на второй смешанной поляре для этих прямых.

126. Для того, чтобы вторая смешанная поляра для прямых $R,\,R'$, пересекающихся в заданной точке $i$, проходила через другую заданную точку $o$, необходимо и достаточно (§ 125b), чтобы эти две прямые были сопряжены относительно коники $o^{n-2}C_{n}$, то есть чтобы эти эти прямые составляли гармоническую систему с касательными $E,\,F$, которые можно провести к конике через точку $i$. Поэтому, если прямые $R,\,R',\,E,\,F$ образуют гармонический пучок, то $RR'C_{n}$ проходит через полюса всех полярых коник, касающихся прямых $E,\,F$. Но если полярная коника касается этих двух прямых, то ее полюс лежит на обеих полярах $E^{2}C_{n}$ и $F^{2}C_{n}$ (§ 104b, 124); поэтому $4(n-2)^{2}$ пересечений этих двух кривых являются полюсами того же числа полярных коник, вписанных в угол $EF$, а следовательно, и точками, общими всем смешанным вторым полярам для прямых, пересекающихся в заданной точке $i$, проходящих через заданную точку $o$. Поэтому такие смешанные поляры составляют пучок.

Отсюда следует, что через заданные две точки $oo'$ проходит одна единственная смешанная поляра для двух прямых, о которых известно лишь, что они проходят через заданную точку $i$. Иными словами, вторые поляры, смешанные и чистые, для прямых, проходящих через заданную точку, составляют геометрическую сеть кривых порядка $2(n-2)$.

Какой индекс имеет ряд чистых вторых поляр для всех прямых, проходящих через заданную точку $i$? Подсчитаем, сколько таких вторых порляр проходит через произвольную точку $o$. Огибающая прямых, чистые вторые поляры для которых проходят через точку $o$, — это полярная коника $o^{n-2}C_{n}$ (§ 104g); из точки $i$ к этой конике можно провести две касательные, поэтому через $i$ проходят только две прямые чистые вторые поляры, которым принадлежит точка $o$. Итого: чистые вторые поляры для прямых, проходящих через одну заданную точку, составляют ряд индекса 2.

Свойства гессианы

127. Пусть $p$ — точка, общая поляре $R^{2}C_{n}$ и гессиане фундаментальной кривой $C_{n}$. Поскольку $p$ — точка $R^{2}C_{n}$, коника $p^{n-2}C_{n}$ касается $R$; поскольку же $p$ — точка гессианы, коника $p^{n-2}C_{n}$ вырождается в пару прямых, пересекающихся в соответствующей точке $o$ штейнерианы. Поэтому точек, общих гессиане и $R^{2}C_{n}$, имеется столько же, сколько пересечений $R$ со штейнерианой, то есть $3(n-2)^{2}$. Отсюда:

Чистая вторая поляра для произвольной прямой касается гессианы всюду, где ее пересекает, то есть в $3(n-2)^{2}$ точках.

Поскольку коника $p^{n-2}C_{n}$ составлена из двух прямых, пересекающихся в точке $o$, прямая $R$, проходящая через $o$, имеет, относительно этой коники, бесконечное число полюсов, лежащих на другой прямой, проходящей через $o$ (§ 110a). Поэтому прямая $R'$, произвольным образом (не через точку $o$), содержит один полюс прямой $R$ относительно коники $p^{n-2}C_{n}$; и, в силу § 125b, $p$ — точка поляры $RR'C_{n}$. Итого:

Точки, в которых гессиана касается чистых вторых поляр для двух заданных прямых, а таковых имеется $6(n-2)^{2}$, лежат на смешанной второй поляре для этих прямых. ^[3]

Чистые вторые поляры для прямых, проходящих через заданную точку $i$, составляют, согласно § 126, ряд порядка $2(n-2)$ и индекса 2, и, следовательно, огибают кривую порядка $4(n-2)$ (§ 124b). Эта линия составлена из гессианы и поляры $i^{2}C_{n}$ (§ 125c); все $8(n-2)^{2}$ точек, в которых чистые вторые поляры для любых двух из прямых [проходящих через точку $i$] касаются гессианы и $i^{2}C_{n}$, лежат на смешанной второй поляре для этих двух прямых.

127a. Этим доказано, что поляра $R^{2}C_{n}$ касается гессианы в точке $p$; кроме того поляра $o^{2}C_{n}$ проходит через $p$, поскольку эта точка является двойной для $oC_{n}$. С другой стороны $o^{2}C_{n}$ и $R^{2}C_{n}$ ($R$ проходит через $o$) касаются друг друга всюду, где они пересекаются (§ 124); поэтому:

Гессиана, в произвольной своей точке, касается чистой второй поляры для соответствующей точки штейнерианы.

127b. Отсюда следует, что касательная, проведенная в точке $p$ к гессиане, является гармонически сопряженной к прямой $po$ относительно двух прямых, касающихся $oC_{n}$ в ее двойной точке $p$ (§ 74c); если же $oC_{n}$ имеет точку возврата в $p$, то касательная возврата касается в этой точке и гессианы.

Аналогично, касательная в точке $o$ к штейнериане является гармонически сопряженной к прямой $op$ относительно двух прямых, из которых составлена $p^{n-2}C_{n}$.

127c. Если мы рассмотрим прямую $R'$, проходящую через точку $o$, то ${R'}^{2}C_{n}$ касается гессианы в $p$. И наоборот, прямые, чистые вторые поляры для которых проходят через точку $p$, касаются $p^{n-2}C_{n}$ (§ 104g); но эта коника вырождается в две прямые, пересекающиеся в точке $o$; поэтому прямые, все чистые вторые поляры для которых содержат точку $p$, проходят через точку $o$.

Иными словами, гессиана касается в точке $p$ не только чистой второй поляры для $o$, но и чистых и смешанных поляр для всех прямых, проходящих через точку $o$.

127d. Поскольку точки касания гессианы с полярой $R^{2}C_{n}$ соответствуют точкам пересечения прямой $R$ со штейнерианой [§ 127], то, когда прямая $R$ касается этой кривой в точке $o$, поляра $R^{2}C_{n}$ имеет 4-точеное касание с гессианой в соответствующей точке $p$ и простое касание в остальных $3(n-2)^{2}-2$ точка.

Согласно § 104g касательные прямые к конике $i^{n-2}C_{n}$ — это такие прямые, чистые вторые поляры для которых проходят через точку $i$. Эта коника имеет $6(n-1)(n-2)$ касательных, общих со штейнерианой, поэтому ряд, составленный из чистых вторых поляр $R^{2}C_{n}$, имеющих 4-точечное касание с гессианой, имеет индекс $6(n-1)(n-2)$.

Если $R$ — двойная касательная для шейнерианы, то $R^{2}C_{n}$ имеет два 4-точечных касания с гессианой и еще $3(n-2)^{2}-4$ 2-точечных касаний.

Если же $R$ — стационарная касательная штейнерианы, то $R^{2}C_{n}$ имеет 6-точечное касание с гессианой и еще $3(n-2)^{2}-3$ 2-точечных касаний.

128. Каковы прямые, чистые вторые поляры для которых имеют двойную точку? Поскольку $R^{2}C_{n}$ — это место полюсов полярных коник, касающихся прямой $R$, то для того, чтобы вторая поляра имела двойную точку, необходимо, чтобы существовала полярная коника, имеющая более двух общих точек с прямой $R$, то есть полярная коника, вырождающаяся в пару прямых, одна из которых совпадает с прямой $R$. ^[4] Откуда:

Прямые, чистые вторые поляры для которых имеют двойную точку, — это прямые, которые составляют полярные коники для точек гессианы. При этом двойные точки чистой второй поляры для такой прямой являются так же точками гессианы.

Чистая вторая поляра для произвольной точки $i$ пересекает гессиану в $3(n-2)^{2}$ точках, именно, полюсах того же числа вырожденных полярных коник, проходящих через точку $i$. Поэтому:

Прямые, составляющие полярные коники для точек гессианы, огибают кривую класса $3(n-2)^{2}$.

129. Поляра $RR'C_{n}$ — это место точки, касательные к полярной конике для которой, проведенные через точку $RR'$, составляют гармонический пучок с заданными прямыми. Такие коники составляют ряд индекса $2(n-2)^{2}$, поскольку имеется именно такое число точек, в которых $RR'C_{n}$ пересекает чистую вторую поляру для произвольной точки; поэтому среди таких коник имеется $4(n-2)^{2}$, касающихся произвольной заданной прямой (85).

Пусть теперь задана произвольная коника $C$, и разыскивается место точки, полярная коника для которой [относительно кривой $C_{n}$] вписана в [подвижный] треугольник сопряженный к $C$. Пусть $a$ — произвольная точка и $A=aC$. Имеется $4(n-2)^{2}$ полярных коник, касающихся прямой $A$ и еще двух прямых, пересекающихся в точке $a$ и сопряженных относительно коники $C$, то есть $4(n-2)^{2}$ полярных коник, вписанных в треугольник, сопряженный к конике $C$, одна из сторон которого совпадает с прямой $A$. Но полярные коники, касающиеся прямой $A$, имеют своими полюсами точки $A^{2}C_{n}$; поэтому искомое место имеет $4(n-2)^{2}$ точек, общих с чистой второй полярой для произвольной прямой, то есть является кривой порядка $2(n-2)$.

Когда треугольник, сопряженный к конике $C$, имеет вершину $o$ на этой кривой, две его стороны совпадают с касательной, а в качестве третьей можно взять произвольную прямую, проходящую через $o$. Поэтому, когда точка $o$ принадлежит еще и шетйнериане, то есть если $o$ — двойная точка полярной коники соответствующей точки $p$ гессианы, такая коника может рассматриваться как вписанная в этот треугольник. Как следствие имеем:

Место точки, полярная коника для которой вписана в треугольник, сопряженный к заданной произвольным образом конике, является линией порядка $2(n-2)$, пересекающей точки гессианы в точка, соответствующих пересечениям штейнерианы с заданной коникой.

Когда коника вырождается в пару прямых, эта линия порядка $2(n-2)$ оказывается ничем иным как смешанной второй полярой для этих прямых.

Таким образом, произвольной конике соответствует одна вполне определенная кривая порядка $2(n-2)$. Согласно теореме § 111f, коникам, описанных вокруг одного и того же четырехугольника, соответствуют кривые порядка $2(n-2)$, составляющие пучок.

Примечания

1. Сеть прямых на плоскости содержит ряд прямых, касающихся коники, имеющий индекс 2. Любые две прямые этого ряда касаются коники в двух точках точках, через которые проходит единственная прямая сети. — Перев.
2. Salmon, Higher piane curves, p. 152.
3. В авторском экземпляре отмечено, что поэтому смешанные вторые поляры для постоянной прямой $R$ и подвижной прямой $R'$ проходят через $3(n-2)^{2}$ постоянных точек гессианы. Также отмечено, что эти поляры составляют сеть. В самом деле, если поляра $RR'C_{n}$ должна пройти через две точки $o,\,o'$, то прямая $R'$ соединяет полюса прямой $R$ относительно коник $o^{n-2}C_{n},\,{o'}^{n-2}C_{n}$. — Перев.
4. В тексте имеется опять соединение принципа двойственности и понятия соседних точек и прямых: раз место полюсов коник имеет двойную точку, то сами коники имеют двойную касательную, что возможно лишь в случае вырождения коники. Сегре, в примечании к этому месту, рассматривает $R^{2}C_{n}$ как огибающую вторых поляр для точек прямой $R$ и замечает, что оболочка кривых ряда индекса 2 имеет двойные точки в двух типах точек: 1.° в точках, общих всем кривым этого ряда, 2.° в двойных точках для некоторой кривой ряда. В тексте учтены только двойные точки первого типа, когда $p$ — общая точка всех вторых поляр для точек $R$, а прямая $R$ является частью коники $p^{n-2}C_{n}$, что, по мнению Сегре, требует исправления. — Перев.