Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/20

Другие свойства гессианы и штейнерианы. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 20.

автор Луиджи Кремона
См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.


ШтейнерианаПравить

118. Пусть   — точка гессианы, а   — соответствующая ей точка штейнерианы. Прямая   проходит через  , а ее точки являются полюсами первых поляр, касающихся в точке   прямой  112a); среди них имеется одна, имеющая в   двойную точку, и ее полюсом является точка   (88d; 90a).[1]

118a. Пусть   — две точки штейнеринаны; полюса прямой   — это   пересечений поляр   и  , имеющих по двойной точке в соответствующих точках   гессианы. Если взять точку   бесконечно близко к  , то прямая   — касательная к штейнериане в точке   — имеет полюс в  ; поэтому касательные к штейнериане являются полярными прямыми для точек гессианы. Поэтому (§ 90b):

Штейнериана является оболочкой прямых, имеющих два совпадающих полюса.

118b. Эта теорема помогает вычислить класс штейнерианы. Полюса касательных, проведенных к этой кривой из произвольной точки  , лежат на поляре  , которая пересекает гессиану в   точках. Поэтому штейнеринана имеет класс  .

118c. Поскольку точки перегиба фундаментальной кривой   принадлежат гессиане (§ 100), полярные прямые для этих точек, то есть стационарные касательные кривой  , касаются и штейнерианы.

Точки штейнерианы, соответствующие точкам перегиба кривой  , рассматриваемым как точки гессианы, лежат на стационарных касательных фундаментальной кривой; эти касательные к тому же касаются кривой класса  , которую огибают индиктриссы для точек гессианы (§ 114b).

118d. В силу общей теоремы § 103-103a,  -ая поляра для гессианы, то есть оболочка полярных прямых, полюса которых лежат на гессиане, является кривой   класса   и порядка  , составной частью которой является штейнерианы. [2]

Если   — пересечение двух касательных к штейнериане, каждая из которых имеет полюс на гессиане, то через эти два полюса проходит первая поляра  . Если эти касательные сливаются, то два полюса сливаются в одну единственную точку, в которой гессиана касается  , и поэтому точка   лежит на кривой  , которую [согласно § 103a] можно рассматривать и как место полюсов поляр, касающихся гессианы. Но точки  , которые можно определить как такие точки, в которых пересекаются две соседние касательные штейнерианы, — это, помимо точек самой кривой, точки, лежащие на любой из стационарных касательных к самой кривой. Следовательно, линия   —  -ая поляра для гессианы — составлена из штейнерианы и ее стационарных касательных. Отсюда: штейнерианы имеет   стационарных касательных.

Таким образом, о штейнериане мы знаем ее порядок  , класс   и число   точек перегиба. Поэтому, по формулами Плюкера (§ 99, 100), можно найти остальные характеризующие ее числа:

Штейнериана кривой порядка  .
порядок:   класс:  
число двойных точек:   число двойных касательных:  
число точек возврата:   число стационарных касательных (точек перегиба):  

Числа  ,   и  , к которому добавлено число точек, в которых стационарные касательные пересекают штейнериану и пересекаются между собой, являются соответственно числом точек возврата, двойных касательных и двойных точек составной кривой   порядка  ,  -ой полярой для гессианы, что согласуется с общими результатами § 103. [3]

Особые пучки сетиПравить

119. Пусть   — некоторая касательная к штейнериане, проведенная в точке  ; пусть, далее,   — соответствующая ей точка гессианы. Первые поляры для точек прямой   образуют пучок кривых, касающихся в точке   прямой  . Среди кривых этого пучка имеется одна, именно  , для которой точка   является двойной, а еще   других кривых, именно первых поляр для точек, в которых   пересекает штейнериану, имеют где-то по двойной точке.

119a. Если   — двойная касательная к штейнериане,   и   — точки касания, а   и   — соответствующие им точки гессианы, то первый поляры для точек прямой   касаются друг друга и в точке  , и в точке  . Поэтому (§ 118d):

В геометрической сети кривых порядка  , имеется   пучков, в каждом из которых кривые касаются друг друга в двух различных точках.

119b. Если на двойной касательной   обе точки касания сливаются в точку  , то есть эта прямая теперь является стационарной касательной штейнерианы, то точки   и   тоже сливаются в одну единственную точку, а первые поляры для точек прямой   касаются друг друга с кратностью три в точке  , являющейся двойной точкой поляры  .

Кроме того, первые поляры касаются в точке   гессианы, поскольку стационарные касательные штейнерианы являются составной частью места полюсов первых поляр, касающихся гессианы (§ 118d). Отсюда следует, что, если   — точка перегиба штейнерианы, а   — двойная точка первой поляры  , то прямая   касается гессианы в  . [4]

Аналогично доказывается, что в геометрической сети кривых порядка   имеется   пучков, в каждом из которых кривые касаются друг друга с кратностью три, то есть оскулирующие друг с другом в одной точке.

Первая поляра, имеющая две двойные точкиПравить

120. Рассмотрим первую поляру  , имеющую две двойные точки —   и  . Проведем через точку   произвольную прямую  , первые поляры для точек прямой   образуют пучок, кривые которого имеют   двойных точек (§ 88), именно,   точек, общих кривой   и штейнериане, являются полюсами того же числа первых поляр, имеющих двойную точку. Но, поскольку две двойные точки лежат на одной и той же поляре  , то этот пучок содержит только   других кривых, обладающих двойными точками; отсюда получается, что   пересекает штейнерину не более чем в   точках, отличных от  , то есть   — двойная точка штейнерианы.

Когда в качестве прямой   взята полярная прямая  , все первые поляры для ее точек касаются[5] друг друга в точке  , а, следовательно, эта точка считается за две среди   двойных точек пучка (§ 88a). Тогда точки   и   эквивалентны трем двойным точкам, пучок содержит только   кривых, имеющих двойные точки [и отличных от  ]; а это означает, что прямая   имеет только   точек, общих со штейнерианой и отличных от  . Поэтому эта точка эквивалентна трем пересечениям этой кривой с прямой  ; то же можно сказать и о прямой  .

Итого: если первая поляра имеет две двойные точки   и  , то ее полюс   является двойной точкой штейнерианы, касающейся здесь прямых   и  .

Вспомнив число двойных точек штейнерианы, подсчитанное в § 118, d), получаем:

В геометрической сети порядка  , имеется   кривых, каждая из которых имеет две двойные точки.[6]

Первая поляра, имеющая точку возвратаПравить

121. Представим себе теперь первую поляру  , имеющую точку возврата  . Произвольная прямая  , проведенная через точку  , задает пучок первых поляр, одна из которых имеет точку возврата в точке  ; поэтому число других первых поляр, имеющих двойные точки, равно  88b). Это означает, что прямая   пересекает штейнериану в двух точках, сливающихся в точку  .

Но если взять в качестве прямой   поляру  , то первые поляры для это прямой касаются друг друга в точке  , и поэтому среди них имеется только  , кривых, имеющих двойные точки [и отличных от  ]; а это означает, что прямая   имеет только   точек (§88c), общих со штейнерианой и отличных от  . Поэтому эта точка эквивалентна трем пересечениям прямой   со штейнерианой, и это, очевидно, есть специфическое свойство прямой  .

Итого: если первая поляра имеет точку возврата  , то ее полюс   является точкой возврата штейнерианы, касающейся здесь прямой  .[7]

Воспользовавшись числом точек возврата штейнерианы, подсчитанным в § 118d, имеем:

В геометрической сети порядка  , имеется   кривых, каждая из которых имеет точку возврата.

Штейнериана и -ая поляра для заданной кривойПравить

122. Кривая   порядка   пересекает гессиану в   точках; полярные прямые для этих точек касаются  -ой поляры для  103e) и штейнерианы (§ 118a). Пусть   — одна из этих точек, а   — точка касания штейнерианы и полярной прямой  . Поляра   имеет двойную точку в  , поэтому она имеет здесь две совпадающие точки, общие с кривой  . Это означает, что точка   принадлежит  -ая поляра для  , поскольку последнюю можно описать как место полюсов первых поляр, касающихся  103).

Иными словами:  -ая поляра для заданной кривой порядка   касается штейнерианы в   точках, являющихся полюсами того же числа первых поляр, имеющих двойные точки там, где заданная кривая пересекает гессиану.

При   имеем:

Произвольная прямая   пересекает гессиану в   точках, являющихся двойными для того же число первых поляр, полюса которых — это точки касания штейнерианы и  -ой поляры для прямой  .

Очевидно, что:

Если   — обычная касательная к гессиане, то  -ая поляра для   имеет со штейнерианой имеет одно четырехточечное касание и   двухточечных.

Если   — стационарная касательная к гессиане, то  -ая поляра для   имеет со штейнерианой имеет одно шеститочечное касание и   двухточечных.

Если   — двойная касательная к гессиане, то  -ая поляра для   имеет со штейнерианой имеет два четырехточечных касания и   двухточечных.

ПримечанияПравить

  1. Удобнее воспользоваться общей теоремой § 78. — Перев.
  2. Штейнериана имеет тот же класс, но меньший при   порядок  88d). — Перев.
  3. В тексте это — первый случай применения формул Плюкера к составным кривым. При этом каждая особая точка трактуется как некоторое число совпадающих двойных точек и точек возврата. Эта «интуитивно ясная» интерпретация была указана раньше, в §74d. — Перев.
  4. О случае, когда поляра имеет несколько двойных точек, будет сказано в след. параграфе. — Перев.
  5. В оригинале и переводе Курце здесь и в след. параграфе сказано «проходит», хотя в § 112a было доказано именно касание и именно это необходимо для применения теоремы из § 88a. По тем же непонятным причинам и в § 88с пропущено требование касания. — Перев.
  6. Steiner, Ук. соч. p. 4-5.
  7. Штейнер доказал, что штейнериана (которую он называл Kerncurve) имеет   точек возврата (Журнал Крелля, Bd. 47, p. 4). Потом Клебш, обнаружив, что это число совпадает с числом поляр, имеющих точки возврата, предположил, что полюса этих поляр являются точками возврата штейнерианы, и доказал это свойство для случая   (Ueber Curven vierter Ordnung, Журнал Крелля, Bd. 59, Berlin 1861, p. 131).