Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/20

Другие свойства гессианы и штейнерианы. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 20.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

Штейнериана

118. Пусть $p$ — точка гессианы, а $o$ — соответствующая ей точка штейнерианы. Прямая $p^{n-1}C_{n}$ проходит через $o$, а ее точки являются полюсами первых поляр, касающихся в точке $p$ прямой $po$ (§ 112a); среди них имеется одна, имеющая в $p$ двойную точку, и ее полюсом является точка $o$ (88d; 90a).^[1]

118a. Пусть $o,\,o'$ — две точки штейнеринаны; полюса прямой $oo'$ — это $(n-1)^{2}$ пересечений поляр $oC_{n}$ и $o'C_{n}$, имеющих по двойной точке в соответствующих точках $p,\,p'$ гессианы. Если взять точку $o'$ бесконечно близко к $o$, то прямая $oo'$ — касательная к штейнериане в точке $o$ — имеет полюс в $p$; поэтому касательные к штейнериане являются полярными прямыми для точек гессианы. Поэтому (§ 90b):

Штейнериана является оболочкой прямых, имеющих два совпадающих полюса.

118b. Эта теорема помогает вычислить класс штейнерианы. Полюса касательных, проведенных к этой кривой из произвольной точки $i$, лежат на поляре $iC_{n}$, которая пересекает гессиану в $3(n-1)(n-2)$ точках. Поэтому штейнеринана имеет класс $3(n-1)(n-2)$.

118c. Поскольку точки перегиба фундаментальной кривой $C_{n}$ принадлежат гессиане (§ 100), полярные прямые для этих точек, то есть стационарные касательные кривой $C_{n}$, касаются и штейнерианы.

Точки штейнерианы, соответствующие точкам перегиба кривой $C_{n}$, рассматриваемым как точки гессианы, лежат на стационарных касательных фундаментальной кривой; эти касательные к тому же касаются кривой класса $3(n-1)(n-2)$, которую огибают индиктриссы для точек гессианы (§ 114b).

118d. В силу общей теоремы § 103-103a, $(n-1)$-ая поляра для гессианы, то есть оболочка полярных прямых, полюса которых лежат на гессиане, является кривой $K$ класса $3(n-1)(n-2)$ и порядка $3(n-2)(5n-11)$, составной частью которой является штейнерианы. ^[2]

Если $i$ — пересечение двух касательных к штейнериане, каждая из которых имеет полюс на гессиане, то через эти два полюса проходит первая поляра $iC_{n}$. Если эти касательные сливаются, то два полюса сливаются в одну единственную точку, в которой гессиана касается $iC_{n}$, и поэтому точка $i$ лежит на кривой $K$, которую [согласно § 103a] можно рассматривать и как место полюсов поляр, касающихся гессианы. Но точки $i$, которые можно определить как такие точки, в которых пересекаются две соседние касательные штейнерианы, — это, помимо точек самой кривой, точки, лежащие на любой из стационарных касательных к самой кривой. Следовательно, линия $K$ — $(n-1)$-ая поляра для гессианы — составлена из штейнерианы и ее стационарных касательных. Отсюда: штейнерианы имеет $3(n-2)(5n-11)-3(n-2)^{2}=3(n-2)(4n-9)$ стационарных касательных.

Таким образом, о штейнериане мы знаем ее порядок $3(n-2)^{2}$, класс $3(n-1)(n-2)$ и число $3(n-2)(4n-9)$ точек перегиба. Поэтому, по формулами Плюкера (§ 99, 100), можно найти остальные характеризующие ее числа:

Штейнериана кривой порядка $n$.

порядок:	$3(n-2)^{2}$	класс:	$3(n-1)(n-2)$
число двойных точек:	$\delta ={\tfrac {3}{2}}(n-2)(n-3)(3n^{2}-9n-5)$	число двойных касательных:	$\tau ={\tfrac {3}{2}}(n-2)(n-3)(3n^{2}-3n-8)$
число точек возврата:	$\chi =12(n-2)(n-3)$	число стационарных касательных (точек перегиба):	$\iota =3(n-2)(4n-9)$

Числа $\chi +2\iota$, $\tau +\iota$ и $\delta$, к которому добавлено число точек, в которых стационарные касательные пересекают штейнериану и пересекаются между собой, являются соответственно числом точек возврата, двойных касательных и двойных точек составной кривой $K$ порядка $3(n-2)(5n-11)$, $(n-1)$-ой полярой для гессианы, что согласуется с общими результатами § 103. ^[3]

Особые пучки сети

119. Пусть $oo'$ — некоторая касательная к штейнериане, проведенная в точке $o$; пусть, далее, $p$ — соответствующая ей точка гессианы. Первые поляры для точек прямой $oo'$ образуют пучок кривых, касающихся в точке $p$ прямой $po$. Среди кривых этого пучка имеется одна, именно $oC_{n}$, для которой точка $p$ является двойной, а еще $3(n-2)^{2}-2$ других кривых, именно первых поляр для точек, в которых $oo'$ пересекает штейнериану, имеют где-то по двойной точке.

119a. Если $oo'$ — двойная касательная к штейнериане, $o$ и $o'$ — точки касания, а $p$ и $p'$ — соответствующие им точки гессианы, то первый поляры для точек прямой $oo'$ касаются друг друга и в точке $p$, и в точке $p'$. Поэтому (§ 118d):

В геометрической сети кривых порядка $n-1$, имеется ${\tfrac {3}{2}}(n-2)(n-3)(3n^{2}-3n-8)$ пучков, в каждом из которых кривые касаются друг друга в двух различных точках.

119b. Если на двойной касательной $oo'$ обе точки касания сливаются в точку $o$, то есть эта прямая теперь является стационарной касательной штейнерианы, то точки $p$ и $p'$ тоже сливаются в одну единственную точку, а первые поляры для точек прямой $oo'$ касаются друг друга с кратностью три в точке $p$, являющейся двойной точкой поляры $oC_{n}$.

Кроме того, первые поляры касаются в точке $p$ гессианы, поскольку стационарные касательные штейнерианы являются составной частью места полюсов первых поляр, касающихся гессианы (§ 118d). Отсюда следует, что, если $o$ — точка перегиба штейнерианы, а $p$ — двойная точка первой поляры $oC_{n}$, то прямая $po$ касается гессианы в $p$. ^[4]

Аналогично доказывается, что в геометрической сети кривых порядка $n-1$ имеется $3(n-2)(4n-9)$ пучков, в каждом из которых кривые касаются друг друга с кратностью три, то есть оскулирующие друг с другом в одной точке.

Первая поляра, имеющая две двойные точки

120. Рассмотрим первую поляру $oC_{n}$, имеющую две двойные точки — $p$ и $p'$. Проведем через точку $o$ произвольную прямую $R$, первые поляры для точек прямой $R$ образуют пучок, кривые которого имеют $3(n-2)^{2}$ двойных точек (§ 88), именно, $3(n-2)^{2}$ точек, общих кривой $R$ и штейнериане, являются полюсами того же числа первых поляр, имеющих двойную точку. Но, поскольку две двойные точки лежат на одной и той же поляре $oC_{n}$, то этот пучок содержит только $3(n-2)^{2}-2$ других кривых, обладающих двойными точками; отсюда получается, что $R$ пересекает штейнерину не более чем в $3(n-2)^{2}-2$ точках, отличных от $o$, то есть $o$ — двойная точка штейнерианы.

Когда в качестве прямой $R$ взята полярная прямая $P=p^{n-1}C_{n}$, все первые поляры для ее точек касаются^[5] друг друга в точке $p$, а, следовательно, эта точка считается за две среди $3(n-2)^{2}$ двойных точек пучка (§ 88a). Тогда точки $p$ и $p'$ эквивалентны трем двойным точкам, пучок содержит только $3(n-2)^{2}-3$ кривых, имеющих двойные точки [и отличных от $oC_{n}$]; а это означает, что прямая $P$ имеет только $3(n-2)^{2}-3$ точек, общих со штейнерианой и отличных от $o$. Поэтому эта точка эквивалентна трем пересечениям этой кривой с прямой $P$; то же можно сказать и о прямой $P'={p'}^{n-1}C_{n}$.

Итого: если первая поляра имеет две двойные точки $p$ и $p'$, то ее полюс $o$ является двойной точкой штейнерианы, касающейся здесь прямых $p^{n-1}C_{n}$ и ${p'}^{n-1}C_{n}$.

Вспомнив число двойных точек штейнерианы, подсчитанное в § 118, d), получаем:

В геометрической сети порядка $n-1$, имеется ${\tfrac {3}{2}}(n-2)(n-3)(3n^{2}-9n-5)$ кривых, каждая из которых имеет две двойные точки.^[6]

Первая поляра, имеющая точку возврата

121. Представим себе теперь первую поляру $oC_{n}$, имеющую точку возврата $p$. Произвольная прямая $R$, проведенная через точку $o$, задает пучок первых поляр, одна из которых имеет точку возврата в точке $p$; поэтому число других первых поляр, имеющих двойные точки, равно $3(n-2)^{2}-2$ (§ 88b). Это означает, что прямая $R$ пересекает штейнериану в двух точках, сливающихся в точку $o$.

Но если взять в качестве прямой $P$ поляру $p^{n-1}C_{n}$, то первые поляры для это прямой касаются друг друга в точке $p$, и поэтому среди них имеется только $3(n-2)^{2}-3$, кривых, имеющих двойные точки [и отличных от $oC_{n}$]; а это означает, что прямая $P$ имеет только $3(n-2)^{2}-3$ точек (§88c), общих со штейнерианой и отличных от $o$. Поэтому эта точка эквивалентна трем пересечениям прямой $P$ со штейнерианой, и это, очевидно, есть специфическое свойство прямой $P$.

Итого: если первая поляра имеет точку возврата $p$, то ее полюс $o$ является точкой возврата штейнерианы, касающейся здесь прямой $p^{n-1}C_{n}$.^[7]

Воспользовавшись числом точек возврата штейнерианы, подсчитанным в § 118d, имеем:

В геометрической сети порядка $n-1$, имеется $12(n-2)(n-3)$ кривых, каждая из которых имеет точку возврата.

Штейнериана и $(n-1)$-ая поляра для заданной кривой

122. Кривая $C_{m}$ порядка $m$ пересекает гессиану в $3m(n-2)$ точках; полярные прямые для этих точек касаются $(n-1)$-ой поляры для $C_{m}$ (§ 103e) и штейнерианы (§ 118a). Пусть $p$ — одна из этих точек, а $o$ — точка касания штейнерианы и полярной прямой $p^{n-1}C_{n}$. Поляра $oC_{n}$ имеет двойную точку в $p$, поэтому она имеет здесь две совпадающие точки, общие с кривой $C_{m}$. Это означает, что точка $o$ принадлежит $(n-1)$-ая поляра для $C_{m}$, поскольку последнюю можно описать как место полюсов первых поляр, касающихся $C_{m}$ (§ 103).

Иными словами: $(n-1)$-ая поляра для заданной кривой порядка $m$ касается штейнерианы в $3m(n-2)$ точках, являющихся полюсами того же числа первых поляр, имеющих двойные точки там, где заданная кривая пересекает гессиану.

При $m=1$ имеем:

Произвольная прямая $R$ пересекает гессиану в $3(n-2)$ точках, являющихся двойными для того же число первых поляр, полюса которых — это точки касания штейнерианы и $(n-1)$-ой поляры для прямой $R$.

Очевидно, что:

Если $R$ — обычная касательная к гессиане, то $(n-1)$-ая поляра для $R$ имеет со штейнерианой имеет одно четырехточечное касание и $3n-8$ двухточечных.

Если $R$ — стационарная касательная к гессиане, то $(n-1)$-ая поляра для $R$ имеет со штейнерианой имеет одно шеститочечное касание и $3n-9$ двухточечных.

Если $R$ — двойная касательная к гессиане, то $(n-1)$-ая поляра для $R$ имеет со штейнерианой имеет два четырехточечных касания и $3n-10$ двухточечных.

Примечания

1. Удобнее воспользоваться общей теоремой § 78. — Перев.
2. Штейнериана имеет тот же класс, но меньший при $n>2$ порядок $3(n-2)^{2}$ (§ 88d). — Перев.
3. В тексте это — первый случай применения формул Плюкера к составным кривым. При этом каждая особая точка трактуется как некоторое число совпадающих двойных точек и точек возврата. Эта «интуитивно ясная» интерпретация была указана раньше, в §74d. — Перев.
4. О случае, когда поляра имеет несколько двойных точек, будет сказано в след. параграфе. — Перев.
5. В оригинале и переводе Курце здесь и в след. параграфе сказано «проходит», хотя в § 112a было доказано именно касание и именно это необходимо для применения теоремы из § 88a. По тем же непонятным причинам и в § 88с пропущено требование касания. — Перев.
6. Steiner, Ук. соч. p. 4-5.
7. Штейнер доказал, что штейнериана (которую он называл Kerncurve) имеет $12(n-2)(n-3)$ точек возврата (Журнал Крелля, Bd. 47, p. 4). Потом Клебш, обнаружив, что это число совпадает с числом поляр, имеющих точки возврата, предположил, что полюса этих поляр являются точками возврата штейнерианы, и доказал это свойство для случая $n=4$ (Ueber Curven vierter Ordnung, Журнал Крелля, Bd. 59, Berlin 1861, p. 131).