Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/19

Кривые, описываемые точкой, индикатриссы для которых меняются по заданному закону. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 19.

автор Луиджи Кремона
См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.


112. Вернемся к общему случаю фундаментальной кривой произвольного порядка , и попытаемся провести через заданную точку прямую, касающуюся здесь первой поляры для точки этой же прямой[1]. Полюса первых поляр, проходящих через точку , лежат на полярной прямой . Если, кроме того, точка должна быть точкой касания поляры с прямой, проведенной через полюс , то поляра должна проходить через точку 70); поэтому точка  — это точка пересечения полярной прямой с полярной коникой , то есть должна быть касательной к полярной конике . Следовательно, искомые прямые — это две касательные, которые из точки можно провести к полярной конике для этой точки, то есть две индикатриссы точки 90c).

Рис. к § 112a.

112a. Если  — точка гессианы, то ее полярная коника — это пара прямых, пересекающихся в соответствующей точке штейнерианы, через которую проходит еще полярная прямая . Точки этой прямой — это полюса первых поляр , проходящих через точку и имеющих здесь общую касательную (§ 90a); [полюс одной из них лежит на этой касательной], отсюда следует, что эта прямая является индекатриссой для точки 112]. Но обе индикатриссы для совпадают с прямой 90c); откуда в силу § 98b имеем:

Прямая, соединяющая точку гессианы с соответствующей ей точкой штейнерианы, касается в первой из этих точек всех первых поляр, через нее проходящих.

Отсюда следует, что линия класса , которую огибают общие касательные в точках касания первых поляр (§ 91b), можно также определить как оболочку прямых, соединяющих пары соответствующих точек гессианы и штейнерианы98b).

112b. Пусть задана прямая , на ней существуют точек, каждая из которых, скажем , является полюсом первой поляры, касающейся прямой в некоторой точке 103c); следовательно на произвольной прямой имеется точек, для каждой из которых эта прямая является индикатриссой.

Если является касательной к фундаментальной кривой, то в точке касания совпадают две точки и две соответствующие им точки . [2]

Кривая Править

113. Каково место точки  , если одна из ее индикатрисс проходит через фиксированную точку  ? Каждая прямая, проходящая через  , содержит   подходящих положений точки  112b); а точка   представляет еще две другие точки  , соответствующие двум индикатриссам для той же точки  . Следовательно, искомое место — это кривая   порядка  , которая проходит два раза через точку  .

Для касательной к фундаментальной кривой в точке касания совпадают две точки  ; следовательно, линия   касается   в   точках касания с прямыми, проведенными из этой точки  . [Таким образом, кривые   и   касаются во всех своих общих точках, а сами эти точки лежат на  .]

[Подсчитаем теперь число точек пересечения   с полярой  .] Заменяя в § 112 полюс   на точку  , имеем:

 ,

то есть точки пересечения поляр   и  , а таковых имеется  , лежат на кривой  . Наоборот, если   лежит на пересечении   и  , то точка   должна лежать на полярной конике   и на касательной, проведенной из точки   к полярной конике  , а, следовательно, также и полярной прямой  . Но тогда точка   лежит на первой поляре  . Таким образом, только эти   точек являются общими для кривой   с полярой  ; а значит, в каждой из этих точек кривые касаются. [3] Итого: кривая   касается фундаментальной кривой и второй поляры   всюду, где она их пересекается, и все   точек касания лежат на первой поляре  .

Поскольку поляру  , считаемую два раза, можно рассматривать как линию порядка  , и поскольку фундаментальная кривая и поляра   составляют вмести другую кривую того же порядка, то через   точек, в которых поляра   пересекает   и поляру  , можно провести пучок кривых порядка  , каждая из которых касалась бы фундаментальной кривой и поляры   во всех точках [пересечения с ними] (§ 41). Среди бесконечного числа кривых этого пучка та, которая проходит через точку  , и есть кривая  .

Оболочка индикатрисс для точек, лежащих на заданной кривойПравить

114. Какого класса оболочка индикатрисс для точек, лежащих на заданной кривой   порядка  ? Иными словами, сколько точек этой кривой имеют индикатриссы, проходящие через точку  , зафиксированную произвольным образом? Согласно § 113, место точки  , индикатриссы для которой проходят через  , является кривой порядка  , которая пересекает   в   точках; следовательно в   пересекается   касательных к искомой оболочке.

Следует заметить, что эта оболочка касается фундаментальной кривой   всюду, где   пересекается с  , и, следовательно, пара индикатрисс для каждой из этих пересечений сливается с соответствующей касательной к  . Итого:

Индикатриссы для точек, лежащих на линии порядка  , огибают линию класса  , касающуюся фундаментальной кривой в тех точках, в которых фундаментальная кривая пересекается с заданной линией порядка  .

114a. Отсюда при   следует, что индикатриссы для точек заданной прямой огибают кривую класса  , касающуюся в   точках самой этой прямой, поскольку она является индикатриссой для   своих точек (§ 112b) [4].

114b. В доказанной в § 114 общей теоремы, если точка   лежит на гессиане, являющейся кривой порядка  , то индикатриссы для   огибают кривую класса  ; но поскольку в это случае для каждого положения точки   пара индикатрисс сливается в одну единственную прямую (§ 90c), то оболочки редуцируется до  : этот результат уже был получен другим способом в § 91b, 112a).

Эта оболочка содержит   касательных, проходящих через заданную точку  , поэтому каждая из   точек   гессианы, индикатриссами для которых служат названные касательные, представляет два пересечения гессианы с определенной в § 113 кривой  .

Объединив это свойство с доказанным в § 113, имеем:

Пусть задана точка  , то место точки  , такой, что прямая   является касательной к полярной конике  , является линией   порядка  , которая проходит два раза через точку   и касается фундаментальной кривой, ее гессианы и второй поляры   всюду, где она пересекает эти кривые.

Место точки, индикатрисса для которой является касательной к заданной кривойПравить

115. Попытаемся теперь определить порядок места точки  , индикатрисса для которой является касательной к заданной кривой   класса  , то есть выяснить сколько точек, лежащих на прямой  , имеют индикатриссы, касающиеся кривой  . Если точка   движется вдоль прямой  , то, в силу § 114a, ее индикатриссы огибают линию класса  , которая имеет   общих касательных с заданной кривой  . Поэтому искомое место имеет порядок  .

Если мы рассмотрим общую касательную к кривым   и  , то в точке касания с   совпадают две точки  , для которых касательная дает положение индикатриссы, отсюда получается, что искомое место касается фундаментальной кривой в   точках, в которых фундаментальная кривая касается общих с кривой   касательных, или же (что то же) в точках, в которых фундаментальная кривая пересекает первую поляру для  104d).

Кривая   имеет   общих касательных с оболочкой индикатрисс для точек гессианы, поэтому   — это и число точек, общих гессиане [имеющей согласно § 90a порядок  ] и обсуждаемому сейчас месту порядка  , итого:

Место точки, из которой можно провести касательные к ее полярной конике, одна из которых касается заданной кривой класса  , является линией порядка  , которая касается фундаментальной кривой и ее гессианы всюду, где их пересекает.

Кривая Править

116. Пусть заданы две фиксированные точки   и  . Разыщем место точки  , такой, что прямые   и   являются сопряженными полярами (§ 108) относительно полярной коники  . Очевидно, что это место проходит через   и  .[5]

Пусть   — прямая, проведенная произвольным образом через  , а   — точка на  . Пусть полярные прямые   и   пересекают   в точках   и   соответственно. Когда эти две точки сливаются в одну единственную точку, эта последняя оказывается полюсом прямой   относительно коники  , а, следовательно, и   оказывается точкой искомого места.

Выберем на   произвольным образом точку  , ей отвечают   положений полюса   проходящей через нее полярной прямой  , именно точки пересечения прямой   и первой поляры  , а, следовательно, столько же положений точки  . Если, наоборот, взять произвольным образом точку  , то есть задать точку пересечения прямых   и  , то полюс   лежит на поляре  ,   пересечения которой с   дают положения точки  , соответствующие заданной точке  ; таким образом, этой точке соответствуют   точек  .

Следовательно, число точек   на прямой  , в которых   и   совпадают, равно  ; поскольку же сама точка   принадлежит искомой кривой, то ее порядок равен  .

Обозначим ее как  , поскольку, когда   совпадает с  , эта кривая совпадает с кривой  , уже рассмотренной в § 113 [6].

Пусть   — точка касания фундаментальной кривой с касательной, проведенной из точки точки  ; прямая   касается в точке   полярной коники  , поэтому, какова бы ни была  , прямая   проходит через полюс  . Следовательно,   принадлежит кривой  , то есть эта линия проходит через   точек касания фундаментальной кривой с касательными, проведенными из точки  ; и по той же причини — еще через   точек, в которой   касается прямых, проведенных через  .[7]

Выясним, в скольких точках кривая   пересекает поляру  , которую для краткости будем называть смешанной второй полярой для точек   и  . Если   проходит через  , то и полярная прямая   проходит через  , иными словами, точки  ,   являются сопряженными полюсами относительно коники  108). В таком случае, для того, чтобы прямые   и   были сопряженными относительно той же коники, достаточно, чтобы поляра   проходила через   или  , то есть чтобы точка   лежала или на поляре  , или на  . Поэтому кривая   проходит через точки, в которых вторая смешанная поляра для   пересекает первые поляры для этих точек.

Пусть теперь   и   — две соответствующие точки гессианы и штейнерианы, такие, что прямая   проходит через точку  . Для того, чтобы выразить условие — прямые   и   являются сопряженными относительно коники   — достаточно сказать, что прямые  ,   и   пересекаются в одной точке. Но в рассматриваемом случае коника   является парой прямых, пересекающихся в точке  90a), поэтому через эту точку проходят прямые   и  . Но по предположению и прямая   проходит через точку  , а значит, точка   принадлежит  , то есть эта кривая проходит через   точек гессианы, индикатриссы которой пересекаются в точке  112a). Аналогично, кривая   проходит и через   точек гессианы, индикатриссы которой проходят через точку  . Итого:

Пусть заданы две точки   и  , тогда место точки  , такой, что прямые   и   являются сопряженными относительно коники  , является кривой   порядка  , проходящей через:

  1. точки   и  ;
  2. точки, в которых фундаментальная кривая касается прямых, проходящих через   или  ;
  3. точки, в которых   касается прямой, проходящей через  , или   касается прямой, проходящей через  ;
  4. точки гессианы, индикатриссы для которых проходят через   или  .

116a. Другими словами, кривая   пересекает фундаментальную кривую и ее гессиану в тех точках, где она касается кривых   и  , зависящих только от точек   и   соответственно (§ 113).

116b. Если задана точка  , а   движется, описывая прямую  , то линия   порождает пучок. В самом деле, какова бы ни была точка  , эта линия проходит через   постоянных точек, именно:

  1. точку  ;
  2.   точек  , в которых она касается прямых, проведенных из точки  ;
  3.   точек гессианы, индикатриссы которой пересекаются в точке  ;
  4.   точек, в которых (помимо подвижной точки  ) прямая   пересекает  ; эти точки неподвижны, поскольку являются общими точками двух проективных инволюций, независящих от  .[8]

Это свойство может быть доказано путем подсчета кривых  , проходящих через заданную точку  , когда   фиксировано, а   должна лежать на прямой  . Поскольку прямые   и   должны быть сопряженными относительно коники  , то точка   должна быть пересечением прямой   с прямой, соединяющей точку   с полюсом   относительно коники  . [Поэтому через   проходит одна единственная кривая   с указанными свойствами, а значит, все эти кривые образуют пучок.]

Тем же путем доказывается след.: если точка   фиксирована, кривые  , проходящие через одну и ту же точку   образуют пучок; то есть что через две заданные точки, скажем   и  , проходит одна единственная кривая   при фиксированном   и т. д.

ОбобщенияПравить

117. Предыдущее исследование (§ 116) может быть обобщено, если вместо точки   взять кривую-оболочку или также вместо   — другую кривую-оболочку, или же одну единственную кривую вместо систему двух точек.

Пусть задана кривая кривая   класса   и точка  , попытаемся определить место точки  , такой, что прямая   является сопряженной относительно коники   к какой-либо касательной, которую можно провести через точку   к кривой  : иными словами, прямая   проходит через точку пересечения прямой   и взаимной поляры для   относительно коники  110).

Искомая кривая проходит   раз через  , поскольку, если точка   попадает в  , то имеется   прямых  , удовлетворяющих указанному выше условию: именно, прямые, соединяющие точку   с   точками, в которых полярная прямая   пересекает взаимную поляру для   (относительно коники  ).

Пусть   — точка на кривой  , тогда прямая   является касательной к фундаментальной кривой в этой точке. Если эта прямая касается еще и  , то   принадлежит взаимной поляре для   (относительно  ) и, следовательно, какова бы ни была точка  , прямая   проходит через точку  , общую взаимной поляре и прямой  , а значит, точка точка принадлежит искомому месту. Стало быть, это место содержит   точек касания фундаментальной кривой с общими с кривой   касательными.

Если же   принадлежит   и   является касательной к этой кривой в точке  , то  . Эта прямая пересекает в   точках взаимную поляру для  , поэтому   является точкой кратности   искомой кривой. Последняя имеет, таким образом,   точек кратности   там, где   касается прямых, проведенных из точки  .

Пусть теперь   — точка гессианы, а   — соответствующая ей точка штейнерианы. Если прямая   является касательной к заданной кривой  , то она сопряжена к прямой   относительно коники  , поскольку эта прямая, как и поляры  ,  , проходит через точку  . [9] Отсюда получается, что точка   принадлежит рассматриваемому месту, а это означает, что это место проходит через   точек гессианы, индикатриссы в которых касаются  112a].

Пусть опять   и   — соответствующие точки гессианы и штейнерианы, но пусть теперь прямая   проходит через точку  . Тогда, поскольку коника   является парой прямых, парой прямых, пересекающихся в точке  , поляра, взаимная к   относительно этой коники, является пучком   прямых, пересекающихся в точке  110a). Поэтому точка   представляет   пересечений как прямой  , так и поляры   с взаимной полярой для  , и следовательно,   является местом   соседних точек, общих искомой кривой и гессиане. Поэтому обсуждаемое геометрическое место имеет касание порядка   с гессианой в каждой из   точек, индикатриссы которых проходят через  . [10]

Используем последнее обстоятельство для вычисления порядка обсуждаемой кривой. Пусть   — произвольная прямая, проведенная через точку  , и пусть   — некоторая точка прямой  . Пусть, далее, прямая   пересекает   в точке  , а взаимная полярая для   (относительно коники  ) пересекает прямую   в   точках  . Если взять произвольным образом точку  , то ей ответят   положений точки   (пересечения прямой   с полярой  ) и, следовательно,   положений для точки  . Если же наоборот, взять произвольным образом  , как пересечение прямой   с взаимной полярой для   относительно полярной коники с неопределенным полюсом, то этот полюс лежит на первой поляре для   относительно  104, k), то есть на кривой порядка  104, d), которая пересекает   в том же числе точек  , и каждой из них соответствует одна точка  . Поэтому каждой точке   отвечает   точек  , а каждой точке   —   точек  ; поэтому совпадение точки   с одной из соответствующих ей точек   происходит   раз. Как только такое совпадение подтверждается, точка   принадлежит искомой кривой. Значит, эта кривая имеет   точек на  , помимо точки  , которая считается  ; иными словами, порядок равен  .

117a. Аналогично доказывается след.:

Пусть заданы две кривые   и   классов   и   соответственно, тогда место точки  , такой, что проведенные через нее две прямые, одна касающаяся кривой  , а другая — кривой  , являются сопряженными относительно коники  , является линией порядка  , которая

  1. проходит   раз через каждую из   точек, в которых фундаментальная кривая   касается прямых, касающихся кривой  ;
  2. проходит   раз через каждую из   точек, в которых   касается прямых, касающихся кривой  ;
  3. имеет касание кратности   с гессианой в каждой из   точек, в которых касаются  ;
  4. имеет касание кратности   с гессианой в каждой из   точек, в которых касаются  .

117b. Если же задана одна единственная оболочка   класса  , и ищется место точки  , такой, что две касательные, проведенные из нее к  , являются сопряженными относительно коники  , то получается линия порядка  , проходящая   раз через каждую из   точек, где фундаментальная кривая касается касательных к  , касающаяся с порядком   гессианы в каждой из   ее точек, индикатриссы для которых касаются  .

ПримечанияПравить

  1. Clebsch, Ук. соч. p. 280—285.
  2. Точки пересечения пучка поляр с прямой   задают инволюцию степени  , откуда и получается указанное число кратных точек. Если же прямая   касается фундаментальной кривой в точке  , то эта точка принадлежит всем полярам пучка и поэтому число двойных точек, отличных от  , есть  , и число всех касаний совпадет с общим случаем, если   посчитать два раза. Такой способ подсчета вполне оправдывается для задачи след. параграфа. — Перев.
  3. Видимо, этот вывод делается только на основе того, что кривые     имеют с учетом кратностей в   точках. — Перев.
  4. В авторском экз. отмечено, что эта кривая имеет порядок   и содержит, помимо названных   точек, еще   пересечений заданной прямой с гессианой и фундаментальной кривой. — Перев.
  5. При   условие понимается так: прямая, соединяющая точку   с полюсом прямой  , удовлетворяет двум совпадающием условиям — требованиям прохождения через точку   и точку  . — Перев.
  6. В авторском экземпляре отмечено, что   пересекает прямую   в   точках, полярные коники для которых касаются этой прямой, то в точках, принадлежащих кривым   и  . — Перев.
  7. В соответствии с договоренностью (§ 102) молчаливо подразумевается, что   — неособая кривая порядка  . — Перев.
  8. Эти инволюции уже были введены при подсчете порядка кривой  . — Перев.
  9. Когда полюс   пробегает прямую  , поляра   вращается вокруг точки  . — Перев.
  10. Сегре считает, что рассматриваемое место имеет точку кратности   и предлагает заменить «касание порядка  » на «пересечение порядка  ». Это, однако, едва ли соответствует точке зрения автора. Своеобразие его подхода к использованию бесконечно близких точек здесь пополняется важной деталью: двумя абзацами выше на   имелось   различных точек взаимной поляры и из этого выводилось, что   — точка кратности  , теперь же эти точки — бесконечно близкие и из этого выводится, что в точке   будет касание с кратностью  . — Перев.