Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/19

← Art. 18

Кривые, описываемые точкой, индикатриссы для которых меняются по заданному закону. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 19.
автор Луиджи Кремона

Art. 20 →

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

112. Вернемся к общему случаю фундаментальной кривой $C_{n}$ произвольного порядка $n$ , и попытаемся провести через заданную точку $p$ прямую, касающуюся здесь первой поляры $oC_{n}$ для точки $o$ этой же прямой^[1]. Полюса первых поляр, проходящих через точку $p$ , лежат на полярной прямой $p^{n-1}C_{n}$ . Если, кроме того, точка $p$ должна быть точкой касания поляры $oC_{n}$ с прямой, проведенной через полюс $o$ , то поляра $o(oC_{n})=o^{2}C_{n}$ должна проходить через точку $p$ (§ 70); поэтому точка $o$ — это точка пересечения полярной прямой $p^{n-1}C_{n}=pp^{n-2}C_{n}$ с полярной коникой $p^{n-2}C_{n}$ , то есть $po$ должна быть касательной к полярной конике $p^{n-2}C_{n}$ . Следовательно, искомые прямые — это две касательные, которые из точки $p$ можно провести к полярной конике для этой точки, то есть две индикатриссы точки $p$ (§ 90c).

112a. Если $p$ — точка гессианы, то ее полярная коника — это пара прямых, пересекающихся в соответствующей точке $o$ штейнерианы, через которую проходит еще полярная прямая $p^{n-1}C_{n}$ . Точки этой прямой — это полюса первых поляр , проходящих через точку $p$ и имеющих здесь общую касательную (§ 90a); [полюс одной из них лежит на этой касательной], отсюда следует, что эта прямая является индекатриссой для точки $p$ [§ 112]. Но обе индикатриссы для $p$ совпадают с прямой $po$ (§ 90c); откуда в силу § 98b имеем:

Прямая, соединяющая точку гессианы с соответствующей ей точкой штейнерианы, касается в первой из этих точек всех первых поляр, через нее проходящих.

Отсюда следует, что линия класса $3(n-1)(n-2)$ , которую огибают общие касательные в точках касания первых поляр (§ 91b), можно также определить как оболочку прямых, соединяющих пары соответствующих точек гессианы и штейнерианы (§ 98b).

112b. Пусть задана прямая $R$ , на ней существуют $2(n-2)$ точек, каждая из которых, скажем $o$ , является полюсом первой поляры, касающейся прямой $R$ в некоторой точке $p$ (§ 103c); следовательно на произвольной прямой имеется $2(n-2)$ точек, для каждой из которых эта прямая является индикатриссой.

Если $R$ является касательной к фундаментальной кривой, то в точке касания совпадают две точки $o$ и две соответствующие им точки $p$ . ^[2]

Кривая $L^{ii}$

113. Каково место точки $p$ , если одна из ее индикатрисс проходит через фиксированную точку $i$ ? Каждая прямая, проходящая через $i$ , содержит $2(n-2)$ подходящих положений точки $p$ (§ 112b); а точка $i$ представляет еще две другие точки $p$ , соответствующие двум индикатриссам для той же точки $i$ . Следовательно, искомое место — это кривая $L^{ii}$ порядка $2(n-2)+2=2(n-1)$ , которая проходит два раза через точку $i$ .

Для касательной к фундаментальной кривой в точке касания совпадают две точки $p$ ; следовательно, линия $L^{ii}$ касается $C_{n}$ в $n(n-1)$ точках касания с прямыми, проведенными из этой точки $i$ . [Таким образом, кривые $L^{ii}$ и $C_{n}$ касаются во всех своих общих точках, а сами эти точки лежат на $iC_{n}$ .]

[Подсчитаем теперь число точек пересечения $L^{ii}$ с полярой $i^{2}C_{n}$ .] Заменяя в § 112 полюс $o$ на точку $i$ , имеем:

iC_{n}\cap i^{2}C_{n}\subset L^{ii}

,

то есть точки пересечения поляр $iC_{n}$ и $i^{2}C_{n}$ , а таковых имеется $(n-1)(n-2)$ , лежат на кривой $L^{ii}$ . Наоборот, если $p$ лежит на пересечении $i^{2}C_{n}$ и $L^{ii}$ , то точка $i$ должна лежать на полярной конике $p^{n-2}C_{n}$ и на касательной, проведенной из точки $p$ к полярной конике $p^{n-2}C_{n}$ , а, следовательно, также и полярной прямой $p^{n-1}C_{n}$ . Но тогда точка $p$ лежит на первой поляре $iC_{n}$ . Таким образом, только эти $(n-1)(n-2)$ точек являются общими для кривой $L^{ii}$ с полярой $i^{2}C_{n}$ ; а значит, в каждой из этих точек кривые касаются. ^[3] Итого: кривая $L^{ii}$ касается фундаментальной кривой и второй поляры $i^{2}C_{n}$ всюду, где она их пересекается, и все $n(n-1)+(n-1)(n-2)$ точек касания лежат на первой поляре $iC_{n}$ .

Поскольку поляру $iC_{n}$ , считаемую два раза, можно рассматривать как линию порядка $2(n-1)$ , и поскольку фундаментальная кривая и поляра $i^{2}C_{n}$ составляют вмести другую кривую того же порядка, то через $2(n-1)^{2}$ точек, в которых поляра $iC_{n}$ пересекает $C_{n}$ и поляру $i^{2}C_{n}$ , можно провести пучок кривых порядка $2(n-1)$ , каждая из которых касалась бы фундаментальной кривой и поляры $i^{2}C_{n}$ во всех точках [пересечения с ними] (§ 41). Среди бесконечного числа кривых этого пучка та, которая проходит через точку $i$ , и есть кривая $L^{ii}$ .

Оболочка индикатрисс для точек, лежащих на заданной кривой

114. Какого класса оболочка индикатрисс для точек, лежащих на заданной кривой $C_{m}$ порядка $m$ ? Иными словами, сколько точек этой кривой имеют индикатриссы, проходящие через точку $i$ , зафиксированную произвольным образом? Согласно § 113, место точки $p$ , индикатриссы для которой проходят через $i$ , является кривой порядка $2(n-1)$ , которая пересекает $C_{m}$ в $2m(n-1)$ точках; следовательно в $i$ пересекается $2m(n-1)$ касательных к искомой оболочке.

Следует заметить, что эта оболочка касается фундаментальной кривой $C_{n}$ всюду, где $C_{n}$ пересекается с $C_{m}$ , и, следовательно, пара индикатрисс для каждой из этих пересечений сливается с соответствующей касательной к $C_{n}$ . Итого:

Индикатриссы для точек, лежащих на линии порядка $m$ , огибают линию класса $2m(n-1)$ , касающуюся фундаментальной кривой в тех точках, в которых фундаментальная кривая пересекается с заданной линией порядка $m$ .

114a. Отсюда при $m=1$ следует, что индикатриссы для точек заданной прямой огибают кривую класса $2(n-1)$ , касающуюся в $2(n-2)$ точках самой этой прямой, поскольку она является индикатриссой для $2(n-2)$ своих точек (§ 112b) ^[4].

114b. В доказанной в § 114 общей теоремы, если точка $p$ лежит на гессиане, являющейся кривой порядка $3(n-2)$ , то индикатриссы для $p$ огибают кривую класса $6(n-1)(n-2)$ ; но поскольку в это случае для каждого положения точки $p$ пара индикатрисс сливается в одну единственную прямую (§ 90c), то оболочки редуцируется до $3(n-1)(n-2)$ : этот результат уже был получен другим способом в § 91b, 112a).

Эта оболочка содержит $3(n-1)(n-2)$ касательных, проходящих через заданную точку $i$ , поэтому каждая из $3(n-1)(n-2)$ точек $p$ гессианы, индикатриссами для которых служат названные касательные, представляет два пересечения гессианы с определенной в § 113 кривой $L^{ii}$ .

Объединив это свойство с доказанным в § 113, имеем:

Пусть задана точка $i$ , то место точки $p$ , такой, что прямая $pi$ является касательной к полярной конике $p^{n-2}C_{n}$ , является линией $L^{ii}$ порядка $2(n-1)$ , которая проходит два раза через точку $i$ и касается фундаментальной кривой, ее гессианы и второй поляры $i^{2}C_{n}$ всюду, где она пересекает эти кривые.

Место точки, индикатрисса для которой является касательной к заданной кривой

115. Попытаемся теперь определить порядок места точки $p$ , индикатрисса для которой является касательной к заданной кривой $K_{r}$ класса $r$ , то есть выяснить сколько точек, лежащих на прямой $R$ , имеют индикатриссы, касающиеся кривой $K_{r}$ . Если точка $p$ движется вдоль прямой $R$ , то, в силу § 114a, ее индикатриссы огибают линию класса $2(n-1)$ , которая имеет $2r(n-1)$ общих касательных с заданной кривой $K_{r}$ . Поэтому искомое место имеет порядок $2r(n-1)$ .

Если мы рассмотрим общую касательную к кривым $K_{r}$ и $C_{n}$ , то в точке касания с $C_{n}$ совпадают две точки $p$ , для которых касательная дает положение индикатриссы, отсюда получается, что искомое место касается фундаментальной кривой в $rn(n-1)$ точках, в которых фундаментальная кривая касается общих с кривой $K_{r}$ касательных, или же (что то же) в точках, в которых фундаментальная кривая пересекает первую поляру для $K_{r}$ (§ 104d).

Кривая $K_{r}$ имеет $3r(n-1)(n-2)$ общих касательных с оболочкой индикатрисс для точек гессианы, поэтому $3r(n-1)(n-2)$ — это и число точек, общих гессиане [имеющей согласно § 90a порядок $3(n-2)$ ] и обсуждаемому сейчас месту порядка $2r(n-1)$ , итого:

Место точки, из которой можно провести касательные к ее полярной конике, одна из которых касается заданной кривой класса $r$ , является линией порядка $2r(n-1)$ , которая касается фундаментальной кривой и ее гессианы всюду, где их пересекает.

Кривая $L^{ij}$

116. Пусть заданы две фиксированные точки $i$ и $j$ . Разыщем место точки $p$ , такой, что прямые $pi$ и $pj$ являются сопряженными полярами (§ 108) относительно полярной коники $p^{n-2}C_{n}$ . Очевидно, что это место проходит через $i$ и $j$ .^[5]

Пусть $R$ — прямая, проведенная произвольным образом через $j$ , а $p$ — точка на $R$ . Пусть полярные прямые $pp^{n-2}C_{n}$ и $ip^{n-2}C_{n}$ пересекают $R$ в точках $a$ и $b$ соответственно. Когда эти две точки сливаются в одну единственную точку, эта последняя оказывается полюсом прямой $pi$ относительно коники $p^{n-2}C_{n}$ , а, следовательно, и $p$ оказывается точкой искомого места.

Выберем на $R$ произвольным образом точку $a$ , ей отвечают $n-1$ положений полюса $p$ проходящей через нее полярной прямой $pp^{n-2}C_{n}=p^{n-1}C_{n}$ , именно точки пересечения прямой $R$ и первой поляры $aC_{n}$ , а, следовательно, столько же положений точки $b$ . Если, наоборот, взять произвольным образом точку $b$ , то есть задать точку пересечения прямых $R$ и $ip^{n-2}C_{n}$ , то полюс $p$ лежит на поляре $ibC_{n}$ , $n-2$ пересечения которой с $R$ дают положения точки $p$ , соответствующие заданной точке $b$ ; таким образом, этой точке соответствуют $n-2$ точек $a$ .

Следовательно, число точек $p$ на прямой $R$ , в которых $a$ и $b$ совпадают, равно $(n-1)+(n-2)$ ; поскольку же сама точка $j$ принадлежит искомой кривой, то ее порядок равен $(n-1)+(n-2)+1=2(n-1)$ .

Обозначим ее как $L^{ij}$ , поскольку, когда $j$ совпадает с $i$ , эта кривая совпадает с кривой $L^{ii}$ , уже рассмотренной в § 113 ^[6].

Пусть $p$ — точка касания фундаментальной кривой с касательной, проведенной из точки точки $i$ ; прямая $p^{n-1}C_{n}=pi$ касается в точке $p$ полярной коники $p^{n-2}C_{n}$ , поэтому, какова бы ни была $j$ , прямая $pj$ проходит через полюс $pi$ . Следовательно, $p$ принадлежит кривой $L^{ij}$ , то есть эта линия проходит через $n(n-1)$ точек касания фундаментальной кривой с касательными, проведенными из точки $i$ ; и по той же причини — еще через $n(n-1)$ точек, в которой $C_{n}$ касается прямых, проведенных через $j$ .^[7]

Выясним, в скольких точках кривая $L^{ij}$ пересекает поляру $ijC_{n}$ , которую для краткости будем называть смешанной второй полярой для точек $i$ и $j$ . Если $ijC_{n}$ проходит через $p$ , то и полярная прямая $ip^{n-2}C_{n}$ проходит через $j$ , иными словами, точки $i$ , $j$ являются сопряженными полюсами относительно коники $p^{n-2}C_{n}$ (§ 108). В таком случае, для того, чтобы прямые $pi$ и $pj$ были сопряженными относительно той же коники, достаточно, чтобы поляра $p^{n-1}C_{n}$ проходила через $i$ или $j$ , то есть чтобы точка $p$ лежала или на поляре $iC_{n}$ , или на $jC_{n}$ . Поэтому кривая $L^{ij}$ проходит через точки, в которых вторая смешанная поляра для $i,j$ пересекает первые поляры для этих точек.

Пусть теперь $p$ и $o$ — две соответствующие точки гессианы и штейнерианы, такие, что прямая $po$ проходит через точку $i$ . Для того, чтобы выразить условие — прямые $pi$ и $pj$ являются сопряженными относительно коники $p^{n-2}C_{n}$ — достаточно сказать, что прямые $p^{n-1}C_{n}$ , $jp^{n-2}C_{n}$ и $pi$ пересекаются в одной точке. Но в рассматриваемом случае коника $p^{2}C_{n}$ является парой прямых, пересекающихся в точке $o$ (§ 90a), поэтому через эту точку проходят прямые $p^{n-1}C_{n}$ и $jp^{n-2}C_{n}$ . Но по предположению и прямая $pi$ проходит через точку $o$ , а значит, точка $p$ принадлежит $L^{ij}$ , то есть эта кривая проходит через $3(n-1)(n-2)$ точек гессианы, индикатриссы которой пересекаются в точке $i$ (§ 112a). Аналогично, кривая $L^{ij}$ проходит и через $3(n-1)(n-2)$ точек гессианы, индикатриссы которой проходят через точку $j$ . Итого:

Пусть заданы две точки $i$ и $j$ , тогда место точки $p$ , такой, что прямые $pi$ и $pj$ являются сопряженными относительно коники $p^{n-2}C_{n}$ , является кривой $L^{ij}$ порядка $2(n-1)$ , проходящей через:

точки $i$ и $j$ ;
точки, в которых фундаментальная кривая касается прямых, проходящих через $i$ или $j$ ;
точки, в которых $iC_{n}$ касается прямой, проходящей через $j$ , или $jC_{n}$ касается прямой, проходящей через $i$ ;
точки гессианы, индикатриссы для которых проходят через $i$ или $j$ .

116a. Другими словами, кривая $L^{ij}$ пересекает фундаментальную кривую и ее гессиану в тех точках, где она касается кривых $L^{ii}$ и $L^{jj}$ , зависящих только от точек $i$ и $j$ соответственно (§ 113).

116b. Если задана точка $i$ , а $j$ движется, описывая прямую $R$ , то линия $L^{ij}$ порождает пучок. В самом деле, какова бы ни была точка $j$ , эта линия проходит через $4(n-1)^{2}$ постоянных точек, именно:

точку $i$ ;
$n(n-1)$ точек $C_{n}$ , в которых она касается прямых, проведенных из точки $i$ ;
$3(n-1)(n-2)$ точек гессианы, индикатриссы которой пересекаются в точке $i$ ;
$2n-3$ точек, в которых (помимо подвижной точки $j$ ) прямая $R$ пересекает $L^{ji}$ ; эти точки неподвижны, поскольку являются общими точками двух проективных инволюций, независящих от $j$ .^[8]

Это свойство может быть доказано путем подсчета кривых $L^{ij}$ , проходящих через заданную точку $q$ , когда $i$ фиксировано, а $j$ должна лежать на прямой $R$ . Поскольку прямые $qi$ и $qj$ должны быть сопряженными относительно коники $q^{n-2}C_{n}$ , то точка $j$ должна быть пересечением прямой $R$ с прямой, соединяющей точку $q$ с полюсом $qi$ относительно коники $q^{n-2}C_{n}$ . [Поэтому через $q$ проходит одна единственная кривая $L^{ij}$ с указанными свойствами, а значит, все эти кривые образуют пучок.]

Тем же путем доказывается след.: если точка $i$ фиксирована, кривые $L^{ij}$ , проходящие через одну и ту же точку $q$ образуют пучок; то есть что через две заданные точки, скажем $q$ и $q'$ , проходит одна единственная кривая $L^{ij}$ при фиксированном $i$ и т. д.

Обобщения

117. Предыдущее исследование (§ 116) может быть обобщено, если вместо точки $j$ взять кривую-оболочку или также вместо $i$ — другую кривую-оболочку, или же одну единственную кривую вместо систему двух точек.

Пусть задана кривая кривая $K_{r}$ класса $r$ и точка $i$ , попытаемся определить место точки $p$ , такой, что прямая $pi$ является сопряженной относительно коники $p^{n-2}C_{n}$ к какой-либо касательной, которую можно провести через точку $p$ к кривой $K_{r}$ : иными словами, прямая $pi$ проходит через точку пересечения прямой $p^{n-1}C_{n}$ и взаимной поляры для $K_{r}$ относительно коники $p^{n-2}C_{n}$ (§ 110).

Искомая кривая проходит $r$ раз через $i$ , поскольку, если точка $p$ попадает в $i$ , то имеется $r$ прямых $pi$ , удовлетворяющих указанному выше условию: именно, прямые, соединяющие точку $i$ с $r$ точками, в которых полярная прямая $p^{n-1}C_{n}$ пересекает взаимную поляру для $K_{r}$ (относительно коники $i^{n-2}C_{n}$ ).

Пусть $p$ — точка на кривой $C_{n}$ , тогда прямая $p^{n-1}C_{n}$ является касательной к фундаментальной кривой в этой точке. Если эта прямая касается еще и $K_{r}$ , то $p$ принадлежит взаимной поляре для $K_{r}$ (относительно $p^{n-2}C_{n}$ ) и, следовательно, какова бы ни была точка $i$ , прямая $pi$ проходит через точку $p$ , общую взаимной поляре и прямой $p^{n-1}C_{n}$ , а значит, точка точка принадлежит искомому месту. Стало быть, это место содержит $rn(n-1)$ точек касания фундаментальной кривой с общими с кривой $K_{r}$ касательными.

Если же $p$ принадлежит $C_{n}$ и $pi$ является касательной к этой кривой в точке $p$ , то $pi=p^{n-1}C_{n}$ . Эта прямая пересекает в $r$ точках взаимную поляру для $K_{r}$ , поэтому $p$ является точкой кратности $r$ искомой кривой. Последняя имеет, таким образом, $n(n-1)$ точек кратности $r$ там, где $C_{n}$ касается прямых, проведенных из точки $i$ .

Пусть теперь $p$ — точка гессианы, а $o$ — соответствующая ей точка штейнерианы. Если прямая $po$ является касательной к заданной кривой $K_{r}$ , то она сопряжена к прямой $pi$ относительно коники $p^{n-2}C_{n}$ , поскольку эта прямая, как и поляры $pp^{n-2}C_{n}$ , $ip^{n-2}C_{n}$ , проходит через точку $o$ . ^[9] Отсюда получается, что точка $p$ принадлежит рассматриваемому месту, а это означает, что это место проходит через $3r(n-1)(n-2)$ точек гессианы, индикатриссы в которых касаются $K_{r}$ [§ 112a].

Пусть опять $p$ и $o$ — соответствующие точки гессианы и штейнерианы, но пусть теперь прямая $po$ проходит через точку $i$ . Тогда, поскольку коника $p^{n-2}C_{n}$ является парой прямых, парой прямых, пересекающихся в точке $o$ , поляра, взаимная к $K_{r}$ относительно этой коники, является пучком $r$ прямых, пересекающихся в точке $o$ (§ 110a). Поэтому точка $o$ представляет $r$ пересечений как прямой $pi$ , так и поляры $p^{n-1}C_{n}$ с взаимной полярой для $K_{r}$ , и следовательно, $p$ является местом $r$ соседних точек, общих искомой кривой и гессиане. Поэтому обсуждаемое геометрическое место имеет касание порядка $r$ с гессианой в каждой из $3(n-1)(n-2)$ точек, индикатриссы которых проходят через $i$ . ^[10]

Используем последнее обстоятельство для вычисления порядка обсуждаемой кривой. Пусть $R$ — произвольная прямая, проведенная через точку $i$ , и пусть $p$ — некоторая точка прямой $R$ . Пусть, далее, прямая $p^{n-1}C_{n}$ пересекает $R$ в точке $a$ , а взаимная полярая для $K_{r}$ (относительно коники $p^{n-2}C_{n}$ ) пересекает прямую $R$ в $r$ точках $b$ . Если взять произвольным образом точку $a$ , то ей ответят $n-1$ положений точки $p$ (пересечения прямой $R$ с полярой $aC_{n}$ ) и, следовательно, $r(n-1)$ положений для точки $b$ . Если же наоборот, взять произвольным образом $b$ , как пересечение прямой $R$ с взаимной полярой для $K_{r}$ относительно полярной коники с неопределенным полюсом, то этот полюс лежит на первой поляре для $K_{r}$ относительно $bC_{n}$ (§104, k), то есть на кривой порядка $r(n-2)$ (§104, d), которая пересекает $R$ в том же числе точек $p$ , и каждой из них соответствует одна точка $a$ . Поэтому каждой точке $a$ отвечает $r(n-1)$ точек $b$ , а каждой точке $b$ — $r(n-2)$ точек $a$ ; поэтому совпадение точки $a$ с одной из соответствующих ей точек $b$ происходит $r(n-1)+r(n-2)$ раз. Как только такое совпадение подтверждается, точка $p$ принадлежит искомой кривой. Значит, эта кривая имеет $r(2n-3)$ точек на $R$ , помимо точки $i$ , которая считается $r$ ; иными словами, порядок равен $2r(n-1)$ .

117a. Аналогично доказывается след.:

Пусть заданы две кривые $K_{r}$ и $K_{s}$ классов $r$ и $s$ соответственно, тогда место точки $p$ , такой, что проведенные через нее две прямые, одна касающаяся кривой $K_{r}$ , а другая — кривой $K_{s}$ , являются сопряженными относительно коники $p^{n-2}C_{n}$ , является линией порядка $2rs(n-1)$ , которая

проходит $s$ раз через каждую из $rn(n-1)$ точек, в которых фундаментальная кривая $C_{n}$ касается прямых, касающихся кривой $K_{r}$ ;
проходит $r$ раз через каждую из $sn(n-1)$ точек, в которых $C_{n}$ касается прямых, касающихся кривой $K_{s}$ ;
имеет касание кратности $s$ с гессианой в каждой из $3r(n-1)(n-2)$ точек, в которых касаются $K_{r}$ ;
имеет касание кратности $r$ с гессианой в каждой из $3s(n-1)(n-2)$ точек, в которых касаются $K_{s}$ .

117b. Если же задана одна единственная оболочка $K_{r}$ класса $r$ , и ищется место точки $p$ , такой, что две касательные, проведенные из нее к $K_{r}$ , являются сопряженными относительно коники $p^{n-2}C_{n}$ , то получается линия порядка $rn(r-1)(n-1)$ , проходящая $r-1$ раз через каждую из $rn(n-1)$ точек, где фундаментальная кривая касается касательных к $K_{r}$ , касающаяся с порядком $(r-1)$ гессианы в каждой из $3r(n-1)(n-2)$ ее точек, индикатриссы для которых касаются $K_{r}$ .

Примечания

↑ Clebsch, Ук. соч. p. 280—285.
↑ Точки пересечения пучка поляр с прямой $R$ задают инволюцию степени $n-1$ , откуда и получается указанное число кратных точек. Если же прямая $R$ касается фундаментальной кривой в точке $p$ , то эта точка принадлежит всем полярам пучка и поэтому число двойных точек, отличных от $p$ , есть $2(n-2)-2$ , и число всех касаний совпадет с общим случаем, если $p$ посчитать два раза. Такой способ подсчета вполне оправдывается для задачи след. параграфа. — Перев.
↑ Видимо, этот вывод делается только на основе того, что кривые $L^{ii}$ $i^{2}C_{n}$ имеют с учетом кратностей в $2(n-1)(n-2)$ точках. — Перев.
↑ В авторском экз. отмечено, что эта кривая имеет порядок $8n-14$ и содержит, помимо названных $2(n-2)$ точек, еще $3(n-2)+n$ пересечений заданной прямой с гессианой и фундаментальной кривой. — Перев.
↑ При $p=i$ условие понимается так: прямая, соединяющая точку $p=i$ с полюсом прямой $pj=ij$ , удовлетворяет двум совпадающием условиям — требованиям прохождения через точку $i$ и точку $p$ . — Перев.
↑ В авторском экземпляре отмечено, что $L^{ij}$ пересекает прямую $ij$ в $2(n-2)$ точках, полярные коники для которых касаются этой прямой, то в точках, принадлежащих кривым $L^{ii}$ и $L^{ij}$ . — Перев.
↑ В соответствии с договоренностью (§ 102) молчаливо подразумевается, что $C_{n}$ — неособая кривая порядка $n$ . — Перев.
↑ Эти инволюции уже были введены при подсчете порядка кривой $L^{ij}$ . — Перев.
↑ Когда полюс $q$ пробегает прямую $ip$ , поляра $qp^{n-2}C_{n}$ вращается вокруг точки $o$ . — Перев.
↑ Сегре считает, что рассматриваемое место имеет точку кратности $r$ и предлагает заменить «касание порядка $r$ » на «пересечение порядка $r$ ». Это, однако, едва ли соответствует точке зрения автора. Своеобразие его подхода к использованию бесконечно близких точек здесь пополняется важной деталью: двумя абзацами выше на $pi$ имелось $r$ различных точек взаимной поляры и из этого выводилось, что $p$ — точка кратности $r$ , теперь же эти точки — бесконечно близкие и из этого выводится, что в точке $p$ будет касание с кратностью $r$ . — Перев.

[1] Clebsch, Ук. соч. p. 280—285.

[2] Точки пересечения пучка поляр с прямой $R$ задают инволюцию степени $n-1$ , откуда и получается указанное число кратных точек. Если же прямая $R$ касается фундаментальной кривой в точке $p$ , то эта точка принадлежит всем полярам пучка и поэтому число двойных точек, отличных от $p$ , есть $2(n-2)-2$ , и число всех касаний совпадет с общим случаем, если $p$ посчитать два раза. Такой способ подсчета вполне оправдывается для задачи след. параграфа. — Перев.

[3] Видимо, этот вывод делается только на основе того, что кривые $L^{ii}$ $i^{2}C_{n}$ имеют с учетом кратностей в $2(n-1)(n-2)$ точках. — Перев.

[4] В авторском экз. отмечено, что эта кривая имеет порядок $8n-14$ и содержит, помимо названных $2(n-2)$ точек, еще $3(n-2)+n$ пересечений заданной прямой с гессианой и фундаментальной кривой. — Перев.

[5] При $p=i$ условие понимается так: прямая, соединяющая точку $p=i$ с полюсом прямой $pj=ij$ , удовлетворяет двум совпадающием условиям — требованиям прохождения через точку $i$ и точку $p$ . — Перев.

[6] В авторском экземпляре отмечено, что $L^{ij}$ пересекает прямую $ij$ в $2(n-2)$ точках, полярные коники для которых касаются этой прямой, то в точках, принадлежащих кривым $L^{ii}$ и $L^{ij}$ . — Перев.

[7] В соответствии с договоренностью (§ 102) молчаливо подразумевается, что $C_{n}$ — неособая кривая порядка $n$ . — Перев.

[8] Эти инволюции уже были введены при подсчете порядка кривой $L^{ij}$ . — Перев.

[9] Когда полюс $q$ пробегает прямую $ip$ , поляра $qp^{n-2}C_{n}$ вращается вокруг точки $o$ . — Перев.

[10] Сегре считает, что рассматриваемое место имеет точку кратности $r$ и предлагает заменить «касание порядка $r$ » на «пересечение порядка $r$ ». Это, однако, едва ли соответствует точке зрения автора. Своеобразие его подхода к использованию бесконечно близких точек здесь пополняется важной деталью: двумя абзацами выше на $pi$ имелось $r$ различных точек взаимной поляры и из этого выводилось, что $p$ — точка кратности $r$ , теперь же эти точки — бесконечно близкие и из этого выводится, что в точке $p$ будет касание с кратностью $r$ . — Перев.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]