Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/8

Поризмы Шаля и теорема Л. Карно. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 8.

автор Луиджи Кремона
См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.


Поризмы ШаляПравить

 
Фиг. 6.

36. Пусть дан треугольник   (фиг. 6.). Произвольная точка   на   однозначно определяется заданием отношения  ; и аналогично, произвольная точка   на   — заданием отношения  . Проведем прямые  , и пусть они пересекаются в точке  , которая, следовательно, однозначно определяется заданием двух отношений  , которые называются координатами точки  . Прямая   пересекает   в  , от чего происходит третье отношение  . Эти три отношения связаны простым соотношением, поскольку, в силу известной теоремы Чевы[1], верно:

 .

Когда точка   лежит на одной из двух прямых  , одна из двух координат равна нулю. Если же   лежит на  , обе координаты становятся бесконечно велики, но их отношение остается конечным, и именно равным  .

Предположим, что точка   движется по некоторой заданной прямой, при этом точки   и   пробегают на   и   два проективных пунктуала, то есть одному положение точки   отвечает одно единственное положение точки   и наоборот. Поэтому отношения  , полностью определяющие положения двух точек  , связаны уравнением первой степени относительно каждого из них. Поскольку в точке, в которой данная прямая пересекает  , оба отношения   обращаются в бесконечность, то это уравнение неизбежно должно иметь следующий вид:

 .[2]
(1.)

Это соотношение между координатами произвольной точки   на данной прямой называют уравнением прямой.

Выясним теперь, какую форму имеет соотношение между координатами точки  , если последняя движется, описывая некоторую кривую порядка  . Произвольная прямая, уравнение которой дается соотношением (1), пересекает эту кривую в   точках; следовательно, искомое соотношение и уравнение (1) должны оба удовлетворяться в   парах значений координат  ; по этой причине необходимо требуется, чтобы искомое уравнение было степени   относительно координат рассматриваемой подвижной точки.

Таким образом, если точка   описывает кривую порядка  , подвижные координаты точки   связаны постоянным соотношением вида :

 ,
(2.)

которое может быть названо уравнением кривой-места подвижной точки.

Наоборот: если точка   движется таким образом, что ее координаты связаны постоянным соотношением вида (2), место точек   представляет собой кривую порядка  .

37. Рассмотрим опять треугольник   (фиг. 7); точка   на  , однозначно определенная заданием отношения  , и точка   на  , однозначно определенная заданием отношения  , задают прямую  , которая, следовательно, однозначно определенная заданием двух отношений   ,  .

 
Фиг. 7.

Эти два отношения называются координатами прямой. Пусть эта прямая пересекает   в третьей точке  , что дает повод к составлению третьего отношения  . В силу известной теоремы Менелая[3], эти три отношения связаны простым соотношением:

 .

Если прямая   проходит через одну из точек   или  , одна из двух ее координат обращается в нуль. Если же прямая проходит через точку  , обе эти координаты становятся бесконечно велики, но отношение   остается конечным.

Предположим, что прямая   движется, вращаясь вокруг заданной точки. Тогда точки   описывают два проективных пункутала, и поэтому координаты прямой   связаны уравнением первой степени относительно обеих координат. Поскольку, когда подвижная прямая проходит через  , обе координаты обращаются в бесконечность, это уравнение имеет вид:

 .
(1'.)

Это соотношение между координатами прямой, вращающейся вокруг заданной точки, можно назвать уравнением точки (рассматриваемой как оболочку подвижных прямых).

Предположим теперь, что прямая   движется, огибая кривую класса  ; опишем вид соотношения, связывающее координаты подвижной прямой. Через произвольную точку, уравнением которой пусть будет (1'), проходит   касательных к кривой, то есть   положений подвижной прямой. Следовательно, искомое соотношение и уравнение 1') должны вмести удовлетворяться при   парах значений координат. Это возможно только тогда, когда искомое соотношение имеет степень   относительно обеих рассматриваемых координат.

Таким образом, если прямая движется, огибая кривую класса  , ее подвижные координаты связаны постоянным соотношением вида:

 ,
(2'.)

которое можно назвать уравнением оболочки подвижных прямых, огибающих кривую.

Наоборот: если прямая движется таким образом, что ее координаты все время удовлетворяют соотношению вида (2'), оболочка этих прямых образует кривую класса  .

Два поризма, доказанные в этом и предыдущем параграфе, были установлены г-ном Шалем[4].

Теоремы КарноПравить

38. Вернемся к уравнению 2). Для точек  , в которых кривая, описываемая этим уравнением, пересекает прямую  , координата   равна нулю, вторая же координата удовлетворяет тому же уравнению при  . Откуда:

 

Аналогично, для точек  , в которых кривая пересекает  , получается уравнение:

 

Разделим теперь уравнение (2) на   и применим теорему Чевы, тогда получим:

 ,

полагая здесь  , получим точки  , общие для кривой и прямой  ; отсюда:

 .

Перемножая три только что полученные соотношения, получим:

 ,
(3.)

это соотношение выражает знаменитую теорему Л. Карно [5]:

Если кривая порядка   пересекает стороны треугольника   в точках   на  ,   на  ,   на  , верно соотношение (3).

Эта теорема может быть применена также и к любому многоугольнику.

39. При   теорема Л. Карно сводится к теореме Менелая. При   она дает свойство шести точек кривой второго порядка. Поскольку кривая второго порядка полностью определяется заданием пяти точек (34), верна и обратная теорема теорема:

Если на сторонах   треугольника задано шесть точек  , удовлетворяющих условию:

 ,
(4.)

то эти шесть точек   лежат на некоторой кривой второго порядка.

Если точки   совпадают соответственно с точками  , то есть кривая касается сторон треугольника в точках  , то последнее соотношение дает:

 .

Неоднозначность со знаком, появившаяся после извлечения корня, может быть устранена: если бы в этом соотношении действительно мог стоять знак плюс, то в силу теоремы Менелая три точки   лежали бы на одной прямой, что невозможно, поскольку <простая> кривая второго порядка не может пересекать прямую более чем в двух точках. Таким образом, верно

 ,

это, в силу теоремы Чевы, означает, что прямые   пересекаются в одной и той же точке. Следовательно, если кривая второго порядка вписана в треугольник, то прямые, соединяющие вершины треугольника и точки касания на противоположных сторонах пересекаются в одной точке.

39a. При   теорема Л. Карно утверждает, что стороны треугольника   пересекают кривую третьего порядка (коротко называемую кубикой, итал. cubica) в девяти точках  , делящих эти стороны в отношениях, удовлетворяющих соотношению:

 .
(5.)

Если шесть точек   лежат на кривой второго порядка, то они удовлетворяют соотношению (4), разделив на него уравнение (5), получим:

 ,

это означает, что точки   лежат прямой. И наоборот, если точки   лежат на прямой, то оставшиеся шесть точек лежат на кривой второго порядка.

39b. [Обратившись к случаю,] когда место второго порядка   сводится к системе, образованной двумя совпадающими прямыми, имеем:

Если в точках, в которых кубика пересекает заданную прямую восстановить касательные, то они они будут пересекать кривую еще в других трех точках, лежащих на одной прямой. [6]

Если прямая касается кубики в точке  , а затем еще пересекает ее в точке  , эта вторая точка называется касательной относительно первой точки. Тогда предыдущую теорему можно выразить так: если три точки кубики лежат на прямой  , их касательные точки лежат на другой прямой  .

Эта прямая   называется прямой-спутником (итал. retta sattelite) исходной прямой   (итал. retta primaria), а точка пересечения прямых   и  точкой-спутником (итал. punto satellite) прямой  .

Если прямая   касается кубики, ее точка-спутник совпадает с касательной точкой относительно точки касания, а прямая-спутник — с касательной к кубике в точке-спутнике.

39c. Предположим, что прямая   является стационарной касательной к кубике (§ 29), тогда:

Если в точке перегиба кубики провести три произвольные секущие, то эти последние пересекаю кубику в шести новых точках, лежащих на кривой второго порядка.

Следовательно, если три из этих шести точек лежат на одной прямой, то три другие лежат на другой прямой, откуда:

Если через точку перегиба провести три касательные к кубике, то точки касания окажутся на одной прямой.[7]

39d. Выше мы предполагали, что точки   лежат на одной прямой, а другие шесть точек   — на кривой второго порядка; пусть теперь к тому же три из них, скажем  , совпадают, тогда верно:

Если три секущие, проведенные из одной точки  , лежащей на кубике, пересекают ее в трех точках  , лежащих на одной прямой, и еще в других трех точках  , то кубика пересекается в точке   с кратностью 3 с некоторой кривой второго порядка, проходящей через точки  . [8]

Допустив, что точки   совпадают в точке перегиба, из предыдущей теоремы получаем:

Любая секущая, проведенная из точки перегиба кубики, пересекает ее в двух точках, в которых эта кривая имеет пересечение кратности 3 с одной и той же кривой 2-го порядка.[9]

Отсюда в частности имеем:

Если через точку перегиба кубики провести прямую, касающуюся ее в другой точке, то в этой точке кубика имеет пересечение кратности 6 с некоторой кривой 2-го порядка.[10]

40. Рассмотрим теперь кривую-оболочку класса  , представленную уравнением (2'). Можно найти все касательные к этой кривой, проходящие через  , положив здесь  ; получившееся таким образом уравнение укажет координаты точек  , в которых сторона   пересекает касательные, проходящие через  . Поэтому:

 .

Аналогично, для точек  , в которых сторона   пересекает касательные, проходящие через  , имеем:

 .

Разделив теперь уравнение (2') на  , и использовав соотношение

 ,

получим:

 .

Положив в этом уравнении  , получим координаты точек  , в которых   пересекает касательные, проходящие через  . Следовательно,

 .

Перемножая три полученные соотношения, имеем:

 .
(3'.)

Таким образом, доказана теорема:

Если провести через вершины треугольника   касательные к кривой класса  , то они пересекают противоположные стороны в точках  , делящих стороны таким образом, что верно соотношение (3').[11]

При   это утверждение сводится к теореме Чевы. При   получается некоторое свойство шести касательных кривой 2-го класса, из которого можно вывести следующее утверждение: если такая кривая описана около треугольника, то касательные к ней, проведенные в вершинах треугольника, пересекают противоположные стороны в трех точках, лежащих на одной прямой.[12] И т.д.

41. Пусть  ,   - два уравнения, подобные (2) и описывающие две кривые порядка  . Обозначим как   произвольную величину, тогда уравнение   описывает, очевидно, некоторую другую кривую порядка  . При тех значениях координат  , в которых обращаются в нуль и  , и  , обращается в нуль и  ; поэтому все   пересечений двух кривых   и   принадлежат кривой  .[13] Поскольку же это последнее уравнение представляет кривую порядка   для каждого из бесконечного числа значений   и это значение может быть выбрано произвольным образом, верна теореме:

Через   пересечений двух кривых порядка   проходит бесконечное число кривых того же порядка.

В § 34 было доказано, что кривая порядка   полностью определяется заданием   условий. Из предыдущей теоремы следует, что через   точек проходит, в общем, одна единственная кривая порядка  . В самом деле, если бы через эти точки проходило две кривые одного порядка, то в силу последней теоремы, проходило бы и бесконечно много таких кривых.

Через   заданных точек (§ 34) проходит бесконечное число кривых порядка  , две из них пересекаются еще в

 

других точках, которые, следовательно, принадлежат также всем другим кривым, проходящим через заданные точки. Иными словами:

Через   заданных точек в общем случае проходит бесконечное число кривых порядка  , которые, кроме заданных точек, пересекаются еще в   других точках, положение которых полностью определено. [14]

Произвольная из этих кривых полностью определяется заданием одной точки, добавляемой к   данным, то есть среди бесконечного числа кривых, проходящих через   данных точек, имеется одна единственная, проходящая еще и через одну точку, выбранную произвольным образом. В следствии этого, индекс ряда, образованного этим бесконечным числом кривых (§ 34), равен 1. Будем называть такой ряд пучком (итал. fascio); под пучком порядка   условимся понимать бесконечную систему кривых этого порядка, проходящих через   точек, заданных произвольным образом[15], и еще через   других точек, положение которых полностью определено заданием первых. Множество   пересечений кривых пучка называется базой (итал. base) пучка.

Аналогичные свойства обнаруживают и кривые заданного класса.   общих касательных двух кривых класса   касаются бесконечного числа кривых того же класса. Но имеется лишь одна единственная кривая класса  , касающаяся   прямых, взятых произвольным образом. Все кривые класса  , имеющие   общих касательных, имеют еще   общих касательных, положение которых полностью определено заданием первых.

ПримечанияПравить

  1. Шаль М., О сочинении Чевы... , прим. VII к «Историческому обзору». М., 1883. — Перев.
  2. Ср. (1) § 8 - Перев.
  3. Шаль М., О теореме Птоломея..., прим. VI к «Историческому обзору». М., 1883. — Перев.
  4. Шаль М., О поризмах Евклида, прим. III к «Историческому обзору» (Брюссель, 1837 г.). См. также его Lettre à M. Quetelet. Correspondance mathématique et physique, t. VI, pag. 81, Bruxelles 1830.
  5. Carnot, Géométrie de position, Paris 1803, p. 291, n. 235, а также p. 436, n. 378.
  6. См. трактат Маклорена о кривых 3-го порядка в переводе Жонкьера: Jonquières, Melanges de geometrie pure, Paris 1856, p. 223.
  7. Маклорен, ук. соч. p. 226.
  8. Определение трехточечного касания, данное в § 32, получает здесь важно дополнение. Приняв интерпретацию, предложенную выше в прим. 3 к Art. 5, следует считать, что   — различные, следующие друг за другом на кубике. Проведем произвольную прямую, и обозначим точки ее пересечения с кубикой как  , соединим эти точки попарно с  . В результате получим треугольник, применив к которому теорему Л. Карно, видим, что существует кривая 2-го порядка, проходящая через   и еще три точки  , в которых стороны треугольника пересекают кубику. Эта кривая 2-го порядка и кубика пересекаются в 6 точках, причем точки кубики   следуют друг за другом на кубике и поэтому считаются как одна точка пересечения кратности 3. При этом считается очевидным, что эти точки следуют друг за другом и на кривой 2-го порядка, и что три прямые треугольника проходят через точку пересечения (хотя первая проходит только через  , вторая — через  , третья — через  ). Замечательно, что каждая прямая треугольника пересекает кривую 2-го порядка в двух различных точка, напр., первая в   и  , но не в  , и поэтому «совпадение» точек   не приводит к тому, что прямая пересекает кривую 2-го порядка в 4-х точках. — Перев.
  9. Poncelet, Analyse des transversales (Журнал Крелля, Bd. 8, Berlin, 1832, p. 129-135).
  10. Plücker, Ueber Curven dritter Ordnung und analytische Beweisführung (Журнал Крелля, Bd. 34, Berlin, 1847, p. 330).
  11. Chasles, Géométrie supérieure, Paris 1852, p. 361.
  12. Это утверждение — двойственное к приведенному в конце § 39. — Перев.
  13. Lamé, Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de géométrie, Paris 1818, p. 28.
  14. Plücker, Analytisch-geometrische Entwicklungen, 1. Bd., Essen 1828, p. 229.
  15. Здесь возможно вырождение, см. след параграф. – Перев.