Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/9

Другие важные теоремы о плоских кривых. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 9.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

Теорема Якоби

42. Среди ${\tfrac {n(n+3)}{2}}$ точек, которые полностью определяют простую кривую порядка $n$, может быть не более чем $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ точек, лежащих на кривой порядка $p<n$.

В самом деле, если $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}+1$ точек лежат на некоторой кривой порядка $p$, то остающиеся

${\frac {n(n+3)}{2}}-np+{\frac {(p-1)(p-2)}{2}}-1={\frac {(n-p)(n-p+3)}{2}}$

точки полностью определяют некоторую кривую порядка $n-p$ (§ 34), которая вмести с заданной кривой порядка $p$ составляет место порядка $n$, проходящее через все заданные точки. Следовательно, максимальное число точек, которые можно взять произвольным образом на кривой порядка $p$, намереваясь использовать их для задания простой кривой порядка $n>p$, равно $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$.^{[1] [2]}

Теорема Плюкера

43. Пусть теперь даны две кривые, первая — порядка $p$, а вторая — порядка $q$, и пусть $p+q=n$. Если взять на кривой порядка $n$, составленной из этих кривых, произвольным образом ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ точек, то через них проходит бесконечное число кривых порядка $n$, имеющих еще ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ общих пересечений (§ 41), распределенных некоторым образом по этим двум кривым. Выбирая произвольным образом эти ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ точек, можно взять $np-g$ на кривой порядка $p$ и $nq-h$ — на кривой порядка $q$, где $g,\,h$ — натуральные числа, подчиненные условию

$g+h={\frac {(n-1)(n-2)}{2}}$.

(1.)

Для того же, чтобы две кривые вполне определялись заданием этих точек ^[3], должно быть:

$np-g\geq {\frac {p(p+3)}{2}}$, $nq-h\geq {\frac {q(q+3)}{2}}$,

откуда

$g\leq {\frac {p(p-3)}{2}}+pq$, $h\leq {\frac {q(q-3)}{2}}+pq$.

Вспоминая, что величины $g$ и $h$ удовлетворяют условию 1), получаем:

$h\geq {\frac {(q-1)(q-2)}{2}}$, $g\geq {\frac {(p-1)(p-2)}{2}}$.

Тем самым зафиксированы границы, в которых могут меняться числа $g,\,h$. Допуская, что число $g$ лежит между нижней границей ${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ и верхней границей ${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}+p(n-p)-1$, а число $h$ выражается через $g$ соотношением (1), получаем следующее:

Все кривые порядка $n=p+q$, проходящие через $np-g$ точек, заданных на некоторой кривой $p$ и через $nq-h$ точек, заданных на кривой порядка $q$, пересекают первую кривую еще в других $g$ неподвижных точках, а вторую — в других $h$ неподвижных точках.^{[4] [5]}

43a. Из доказанной теоремы сразу следует:

Для того, чтобы через $n^{2}$ пересечений двух кривых порядка $n$ можно было провести кривую, составленную их двух кривых порядков $p,\,n-p$, необходимо и достаточно, чтобы среди этих пересечений $np-g$ принадлежало кривой порядка $p$, $n(n-p)-h$ — кривой порядка $n-p$.

43b. Когда число $g$ достигает своей нижней грани, доказанная выше теорема может быть выражена так:

Каждая кривая порядка $n$, проходящая через $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ точек, заданных на кривой порядка $p<n$, пересекает ее еще в ${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ других неподвижных точках.

Иными словами:

Если среди $n^{2}$ пересечений двух кривых порядка $n$ $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ точек лежат на кривой порядка $p<n$, то эта кривая содержит и другие ${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ пересечения, а оставшиеся $n(n-p)$ пересечения лежат на некоторой кривой порядка $n-p$. ^[6]

Впрочем, эта теорема может быть обобщена следующим образом.

Теорема Кели

44. Пусть даны две кривые, первая — $C_{n}$ порядка $n$, вторая — $C_{m}$ порядка $m<n$. Если среди их пересечений имеется $mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ точек, лежащих на кривой $C_{p}$ порядка $p<n$, эта кривая содержит еще ${\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ других пересечений; а оставшиеся $m(n-p)$ пересечений лежат на некоторой кривой порядка $n-p$.

В самом деле, из $(n-m)p$ пересечений кривых $C_{p},\,C_{n}$, не общих с $C_{m}$, возьмем ${\tfrac {(n-m)(n-m+3)}{2}}$ ^[7] и проведем через них некоторую кривую $C_{n-m}$ порядка $n-m$. Тогда получим два места порядка $n$: одно - простую кривую $C_{n}$, другое - составную кривую $C_{m}+C_{n-m}$. Кривая $C_{p}$ содержит

$mp-{\frac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}+{\frac {(n-m)(n-m+3)}{2}}=$$np-{\frac {(p-1)(p-2)}{2}}$

(2.)

пересечений этих двух мест, поэтому (§ 43b) содержит также и еще ${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ таких точек, а именно, ${\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ точек, в которых пересекаются $C_{n}$ и $C_{m}$, и $(n-m)p-{\tfrac {(n-m)(n-m+3)}{2}}$ точек, в которых пересекаются $C_{n}$ и $C_{n-m}$; остальные же точки пересечения $C_{n}$ и $C_{m}+C_{n-m}$ лежат на некоторой кривой порядка $n-p$.

Из этой теоремы следует, что $mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ заданных точек, общих для трех кривых $C_{n},\,C_{m},\,C_{p}$, определяют другие ${\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ точки, общие этим кривым. Все эти точки полностью определены заданием кривых $C_{m}$, $C_{p}$, и не зависят от от $C_{n}$; поэтому:

Произвольная кривая порядка $n$, проведенная через $mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ пересечений двух кривых порядков $m,\,p$ ($m,\,p$ не больше $n$), проходит также через все другие точки пересечения этих кривых.^[8]

Приложения

45. Только что доказанные теоремы весьма важны по причине частого использования в теории кривых. Мы, однако, ограничимся рассмотрением нескольких интересных примеров.

45a. Пусть кривая порядка $n$ пересекает одну секущую в точках $a,\,b,\,\dots$, а другую — в точках $a',\,b',\dots$. Рассмотрим систему $n$ прямых $aa',\,bb',\dots$ как место порядка $n$, оставшиеся пересечения этого места с заданной кривой (43, b) лежат на некоторой кривой порядка $n-2$. Допустим теперь, что $a',\,b',\dots$ совпадают соответственно с $a,\,b,\dots$; тогда получается теорема:

Пусть в точках, в которых кривая порядка $n$ пересекает прямую, проведены касательные к кривой, тогда эти последние пересекают кривую в других $n(n-2)$ точках, лежащих на некоторой кривой порядка $n-2$.^[9][10]

45b. Аналогично доказывается общая теорема:

Пусть точки, в которых кривую порядка $n$ пересекает другая кривая порядка $n'$, проведены касательные к первой кривой, тогда эти последние пересекают ее в других $nn'(n-2)$ точках, лежащих на некоторой кривой порядка $n'(n-2)$.

Эта теорема есть прямое следствие свойства, доказанного в § 44, нужно лишь рассмотреть совокупность $nn'$ касательных как место порядка $nn'$, а кривую порядка $n'$, повторенную дважды, как место порядка $2n'$.

45c. Пусть кривая третьего порядка проходит через вершины шестиугольника и через две из трех точек пересечения трех пар противоположных сторон, тогда и точка пересечение третьей пары противоположных сторон лежит на кривой. В самом деле, первая, третья и пятая стороны шестиугольника образуют место третьего порядка, в то же время другое место того же порядка составляют три противоположные им стороны. Новые пересечения этих двух мест — это шесть вершин шестиугольника и три точки пересечения противоположных сторон. Но восемь из этих точек по предположению лежат на заданной кривой, поэтому (41) и девятая точка лежит на этой кривой, что и тр. д.^[11]

Если шесть вершин лежат кривой второго порядка, то другие три пересечения должны лежать на прямой (43b), что приводит к знаменитой теорема Паскаля:

Противоположные стороны шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой. ^[12]

Отсюда, по принципу двойственности, следует теорема Брианшона^[13]:

Прямые, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, описанного около кривой второго класса, пересекаются в одной и той же точке.

45d. Возвращаясь к шестиугольнику, вписанному в кривую третьего порядка, обозначим как 1, 2, 3, 4, 5, 6 вершины и как $a,\,b,\,c$ точки, где пересекаются пары противоположных сторон [12, 45], [23,56], [34, 61]. Если точки 1 и 2 бесконечно близки на кривой, как и точки 4 и 5, то точки 1, 3, 4, 6, $b,\,c$ являются вершинами полного четырехсторонника, а $a$ - точкой пересечения касательных к кривой в точках 1 и 4; поэтому:

Если полный четырехсторонник вписан в кривую третьего порядка, касательные к кривой, проведенные в двух противоположных вершинах, пересекаются на кривой. ^[14]

Пусть теперь $a,\,b,\,c,\,a',\,b',\,c'$ — вершины полного четырехсторонника, вписанного в кривую третьего порядка, вершины $a,\,b,\,c$ лежат на одной прямой, а $a'b'c'$ — вершины им противоположные. Касательные, проведенные в вершинах $a$ и $a'$, пересекаются в точке $\alpha$, лежащей по доказанному на кривой. Аналогично, касательные, проведенные в вершинах $b$, $b'$ и $c$, $c'$, пересекаются в трех точках $\beta$ и $\gamma$, лежащих на кривой. Поскольку три точки $a$, $b$ и $c$ лежат на одной прямой третьего порядка, то и точки $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, касательные относительно этих точек, лежат на одной прямой (39b). Таким образом, верно:

Если полный четырехсторонник вписан в кривую третьего порядка, пары касательных, проведенных в противоположных вершинах, пересекаются в трех точках кривой, лежащих на одной прямой.

Примечания

1. Jacobi, De relationibus, quoe locum habere debent inter puncta intersectionis duarum curvarum etc. (Журнал Крелля, Bd. 15, Berlin, 1836, S. 292)
2. Утверждение сформулировано таким образом, что остается не ясным, считает ли Кремона доказанным и то, что при указанном выборе точек всегда найдется подходящая простая кривая порядка $n$, или нет. Однако далее часто подразумевается след.: если задано несколько кривых порядков $p_{1},\dots$ и на них произвольным образом взято ${\tfrac {n(n+3)}{2}}$ точек, причем на каждой не более $np_{i}-{\tfrac {(p_{i}-1)(p_{i}-2)}{2}}$ точек, то через них проходит единственная неприводимая кривая порядка $n$. — Перев.
3. В противном случае весь рассматриваемый пучок образован приводимыми кривыми, причем одна из кривых порядка $p$ или $q$ является их неподвижной компонентой. — Перев.
4. Plücker, Theorie der algeb. Curven, p. 11.
5. Представленное доказательство сводится к тому, что это множество всех кривых в действительности пучок, а не семейство большей размерности. Соотношение (1) показывает, что всего заданных точек

   $(np-g)+(nq-h)=n^{2}-(g+h)=n^{2}-{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}={\frac {n(n+3)}{2}}-1$,

   а ограничения, наложенные на изменение $g$, считаются необходимыми и достаточными условиями линейной независимости условий, накладываемых произвольными точками взятыми в таком числе на семейство кривых порядка $n$. Достаточность можно увязать с теоремой Якоби: на кривой порядка $p$ лежит не более $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ точек, на кривой порядка $q$ — $nq-{\tfrac {(q-1)(q-2)}{2}}$ точек, поэтому через эти точки и еще одну произвольную точку плоскости проходит одна неприводимая кривая. — Перев.
6. Когда из ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ на кривой порядка $p$ выбрано $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ точек, то через остальные точки, которых имеется

   ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1-np+{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}={\tfrac {q(q+3)}{2}}$,

   всегда можно провести кривую порядка $q$. — Перев.
7. Очевидно, предполагается, что $n-m+3\leq 2p$; теорема не верна, напр., при $n=3$, $m=2$, $p=1$. Далее это утверждение «продолжается» на любые натруальные числа, при которых оно имеет смысл, то есть $m+p\geq n+2$. — Перев.
8. Cayley, On the Intersection of Curves (Cambridge Mathematical Journal, vol. III, 1843, p. 211).
9. Maclaurin, Ук. соч. p. 237.
10. Эта теорема обобщает утверждение § 39b – Перев.
11. Poncelet, Analyse des transversales, p. 132.
12. Pascal, Essai pour les coniques in Oeuvres de Blaise Pascal, A La Haye. Chez Detune 1779, t. 4, p. 1-7. — См. также: Давидов, Геометрия, § 114.
13. Brianchon, Journal de l'Ecole Polytechnique, cah. 13, pag. 301, Paris 1806.
14. Maclaurin, Ук. соч. p. 237.