Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/8

Поризмы Шаля и теорема Л. Карно. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 8.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

Поризмы Шаля

Фиг. 6.

36. Пусть дан треугольник $ABC$ (фиг. 6.). Произвольная точка $a$ на $BC$ однозначно определяется заданием отношения ${\tfrac {aC}{aB}}$; и аналогично, произвольная точка $b$ на $CA$ — заданием отношения ${\tfrac {bC}{bA}}$. Проведем прямые $Aa,\,Bb$, и пусть они пересекаются в точке $m$, которая, следовательно, однозначно определяется заданием двух отношений ${\tfrac {aC}{aB}},\,{\tfrac {bC}{bA}}$, которые называются координатами точки $m$. Прямая $Cm$ пересекает $AB$ в $c$, от чего происходит третье отношение ${\tfrac {cB}{cA}}$. Эти три отношения связаны простым соотношением, поскольку, в силу известной теоремы Чевы^[1], верно:

${\frac {bC}{bA}}:{\frac {aC}{aB}}=-{\frac {cB}{cA}}$.

Когда точка $m$ лежит на одной из двух прямых $CA,\,CB$, одна из двух координат равна нулю. Если же $m$ лежит на $AB$, обе координаты становятся бесконечно велики, но их отношение остается конечным, и именно равным $-{\tfrac {cB}{cA}}$.

Предположим, что точка $m$ движется по некоторой заданной прямой, при этом точки $a$ и $b$ пробегают на $CB$ и $CA$ два проективных пунктуала, то есть одному положение точки $a$ отвечает одно единственное положение точки $b$ и наоборот. Поэтому отношения ${\tfrac {aC}{aB}},\,{\tfrac {bC}{bA}}$, полностью определяющие положения двух точек $a,\,b$, связаны уравнением первой степени относительно каждого из них. Поскольку в точке, в которой данная прямая пересекает $AB$, оба отношения ${\tfrac {aC}{aB}},\,{\tfrac {bC}{bA}}$ обращаются в бесконечность, то это уравнение неизбежно должно иметь следующий вид:

$\lambda {\frac {aC}{aB}}+\mu {\frac {bC}{bA}}+\nu =0$.[2]

(1.)

Это соотношение между координатами произвольной точки $m$ на данной прямой называют уравнением прямой.

Выясним теперь, какую форму имеет соотношение между координатами точки $m$, если последняя движется, описывая некоторую кривую порядка $n$. Произвольная прямая, уравнение которой дается соотношением (1), пересекает эту кривую в $n$ точках; следовательно, искомое соотношение и уравнение (1) должны оба удовлетворяться в $n$ парах значений координат ${\tfrac {aC}{aB}},\,{\tfrac {bC}{bA}}$; по этой причине необходимо требуется, чтобы искомое уравнение было степени $n$ относительно координат рассматриваемой подвижной точки.

Таким образом, если точка $m$ описывает кривую порядка $n$, подвижные координаты точки $m$ связаны постоянным соотношением вида :

$\alpha \left({\frac {aC}{aB}}\right)^{n}+\left[\beta +\gamma {\frac {bC}{bA}}\right]\left({\frac {aC}{aB}}\right)^{n-1}+\dots +\pi \left({\frac {bC}{bA}}\right)^{n}+\rho =0$,

(2.)

которое может быть названо уравнением кривой-места подвижной точки.

Наоборот: если точка $m$ движется таким образом, что ее координаты связаны постоянным соотношением вида (2), место точек $m$ представляет собой кривую порядка $n$.

37. Рассмотрим опять треугольник $ABC$ (фиг. 7); точка $a$ на $BC$, однозначно определенная заданием отношения ${\tfrac {aB}{aC}}$, и точка $b$ на $CA$, однозначно определенная заданием отношения ${\tfrac {bA}{bC}}$, задают прямую $ab$, которая, следовательно, однозначно определенная заданием двух отношений ${\tfrac {aB}{aC}}$ , ${\tfrac {bA}{bC}}$.

Фиг. 7.

Эти два отношения называются координатами прямой. Пусть эта прямая пересекает $AB$ в третьей точке $c$, что дает повод к составлению третьего отношения ${\tfrac {cB}{cA}}$. В силу известной теоремы Менелая^[3], эти три отношения связаны простым соотношением:

${\frac {aB}{aC}}:{\frac {bA}{bC}}={\frac {cB}{cA}}$.

Если прямая $ab$ проходит через одну из точек $A$ или $B$, одна из двух ее координат обращается в нуль. Если же прямая проходит через точку $C$, обе эти координаты становятся бесконечно велики, но отношение ${\tfrac {cB}{cA}}$ остается конечным.

Предположим, что прямая $ab$ движется, вращаясь вокруг заданной точки. Тогда точки $a,\,b$ описывают два проективных пункутала, и поэтому координаты прямой $ab$ связаны уравнением первой степени относительно обеих координат. Поскольку, когда подвижная прямая проходит через $C$, обе координаты обращаются в бесконечность, это уравнение имеет вид:

$\lambda {\frac {aB}{aC}}+\mu {\frac {bA}{bC}}+\nu =0$.

(1'.)

Это соотношение между координатами прямой, вращающейся вокруг заданной точки, можно назвать уравнением точки (рассматриваемой как оболочку подвижных прямых).

Предположим теперь, что прямая $ab$ движется, огибая кривую класса $m$; опишем вид соотношения, связывающее координаты подвижной прямой. Через произвольную точку, уравнением которой пусть будет (1'), проходит $m$ касательных к кривой, то есть $m$ положений подвижной прямой. Следовательно, искомое соотношение и уравнение 1') должны вмести удовлетворяться при $m$ парах значений координат. Это возможно только тогда, когда искомое соотношение имеет степень $m$ относительно обеих рассматриваемых координат.

Таким образом, если прямая движется, огибая кривую класса $m$, ее подвижные координаты связаны постоянным соотношением вида:

$\alpha \left({\frac {aB}{aC}}\right)^{n}+\left[\beta +\gamma {\frac {bA}{bC}}\right]\left({\frac {aB}{aC}}\right)^{n-1}+\dots +\pi \left({\frac {bA}{bC}}\right)^{n}+\rho =0$,

(2'.)

которое можно назвать уравнением оболочки подвижных прямых, огибающих кривую.

Наоборот: если прямая движется таким образом, что ее координаты все время удовлетворяют соотношению вида (2'), оболочка этих прямых образует кривую класса $m$.

Два поризма, доказанные в этом и предыдущем параграфе, были установлены г-ном Шалем^[4].

Теоремы Карно

38. Вернемся к уравнению 2). Для точек $a,\,a',\dots$, в которых кривая, описываемая этим уравнением, пересекает прямую $CB$, координата ${\tfrac {bC}{bA}}$ равна нулю, вторая же координата удовлетворяет тому же уравнению при ${\tfrac {bC}{bA}}=0$. Откуда:

${\frac {aC}{aB}}.{\frac {a'C}{a'B}}\dots =(-1)^{n}{\frac {\rho }{\alpha }}.$

Аналогично, для точек $b,\,b',\dots$, в которых кривая пересекает $CA$, получается уравнение:

${\frac {bC}{bB}}.{\frac {b'C}{b'B}}\dots =(-1)^{n}{\frac {\rho }{\pi }}.$

Разделим теперь уравнение (2) на $\left({\tfrac {aC}{aB}}\right)^{n}$ и применим теорему Чевы, тогда получим:

$\alpha +\beta {\frac {aB}{aC}}-\gamma {\frac {cB}{cA}}+\dots +\pi \left(-{\frac {cB}{cA}}\right)^{n}+\rho \left({\frac {aB}{aC}}\right)^{n}=0$,

полагая здесь ${\tfrac {aB}{aC}}=0$, получим точки $c,\,c',\dots$, общие для кривой и прямой $AB$; отсюда:

${\frac {cB}{cA}}.{\frac {c'B}{c'A}}\dots ={\frac {\alpha }{\pi }}$.

Перемножая три только что полученные соотношения, получим:

${\frac {aB}{aC}}.{\frac {a'B}{a'C}}\dots \times {\frac {bC}{bA}}.{\frac {b'C}{b'A}}\dots \times {\frac {cA}{cB}}.{\frac {c'A}{c'B}}\dots =1$,

(3.)

это соотношение выражает знаменитую теорему Л. Карно ^[5]:

Если кривая порядка $n$ пересекает стороны треугольника $ABC$ в точках $aa'\dots$ на $BC$, $bb'\dots$ на $CA$, $cc'\dots$ на $AB$, верно соотношение (3).

Эта теорема может быть применена также и к любому многоугольнику.

39. При $n=1$ теорема Л. Карно сводится к теореме Менелая. При $n=2$ она дает свойство шести точек кривой второго порядка. Поскольку кривая второго порядка полностью определяется заданием пяти точек (34), верна и обратная теорема теорема:

Если на сторонах $BC,\,CA,\,AB$ треугольника задано шесть точек $aa',\,bb',\,cc'$, удовлетворяющих условию:

${\frac {aB}{aC}}.{\frac {a'B}{a'C}}.{\frac {bC}{bA}}.{\frac {b'C}{b'A}}.{\frac {cA}{cB}}.{\frac {c'A}{c'B}}=1$,

(4.)

то эти шесть точек $aa'bb'cc'$ лежат на некоторой кривой второго порядка.

Если точки $a',\,b',\,c'$ совпадают соответственно с точками $a,\,b,\,c$, то есть кривая касается сторон треугольника в точках $a,\,b,\,c$, то последнее соотношение дает:

${\frac {aB}{aC}}.{\frac {bC}{bA}}.{\frac {cA}{cB}}=\pm 1$.

Неоднозначность со знаком, появившаяся после извлечения корня, может быть устранена: если бы в этом соотношении действительно мог стоять знак плюс, то в силу теоремы Менелая три точки $a,\,b,\,c$ лежали бы на одной прямой, что невозможно, поскольку <простая> кривая второго порядка не может пересекать прямую более чем в двух точках. Таким образом, верно

${\frac {aB}{aC}}.{\frac {bC}{bA}}.{\frac {cA}{cB}}=-1$,

это, в силу теоремы Чевы, означает, что прямые $Aa,\,Bb,\,Cc$ пересекаются в одной и той же точке. Следовательно, если кривая второго порядка вписана в треугольник, то прямые, соединяющие вершины треугольника и точки касания на противоположных сторонах пересекаются в одной точке.

39a. При $n=3$ теорема Л. Карно утверждает, что стороны треугольника $ABC$ пересекают кривую третьего порядка (коротко называемую кубикой, итал. cubica) в девяти точках $aa'a'',\,bb'b'',\,cc'c''$, делящих эти стороны в отношениях, удовлетворяющих соотношению:

${\frac {aB.a'B.a''B.bC.b'C.b''C.cA.c'A.c''A}{aC.a'C.a''C.bA.b'A.b''A.cB.c'B.c''B}}=1$.

(5.)

Если шесть точек $a,\,a',\,b,\,b',\,c,\,c'$ лежат на кривой второго порядка, то они удовлетворяют соотношению (4), разделив на него уравнение (5), получим:

${\frac {a'B.b''C.c''}{a''C.b''A.c''B}}=1$,

это означает, что точки $a'',\,b'',\,c''$ лежат прямой. И наоборот, если точки $a'',\,b'',\,c''$ лежат на прямой, то оставшиеся шесть точек лежат на кривой второго порядка.

39b. [Обратившись к случаю,] когда место второго порядка $aa'bb'cc'$ сводится к системе, образованной двумя совпадающими прямыми, имеем:

Если в точках, в которых кубика пересекает заданную прямую восстановить касательные, то они они будут пересекать кривую еще в других трех точках, лежащих на одной прямой. ^[6]

Если прямая касается кубики в точке $a$, а затем еще пересекает ее в точке $a''$, эта вторая точка называется касательной относительно первой точки. Тогда предыдущую теорему можно выразить так: если три точки кубики лежат на прямой $R$, их касательные точки лежат на другой прямой $S$.

Эта прямая $S$ называется прямой-спутником (итал. retta sattelite) исходной прямой $R$ (итал. retta primaria), а точка пересечения прямых $R$ и $S$ — точкой-спутником (итал. punto satellite) прямой $R$.

Если прямая $R$ касается кубики, ее точка-спутник совпадает с касательной точкой относительно точки касания, а прямая-спутник — с касательной к кубике в точке-спутнике.

39c. Предположим, что прямая $a''b''c''$ является стационарной касательной к кубике (§ 29), тогда:

Если в точке перегиба кубики провести три произвольные секущие, то эти последние пересекаю кубику в шести новых точках, лежащих на кривой второго порядка.

Следовательно, если три из этих шести точек лежат на одной прямой, то три другие лежат на другой прямой, откуда:

Если через точку перегиба провести три касательные к кубике, то точки касания окажутся на одной прямой.^[7]

39d. Выше мы предполагали, что точки $a'',\,b'',\,c''$ лежат на одной прямой, а другие шесть точек $aa'bb'cc'$ — на кривой второго порядка; пусть теперь к тому же три из них, скажем $a'b'c'$, совпадают, тогда верно:

Если три секущие, проведенные из одной точки $a'$, лежащей на кубике, пересекают ее в трех точках $a'',\,b'',\,c''$, лежащих на одной прямой, и еще в других трех точках $a,\,b,\,c$, то кубика пересекается в точке $a'$ с кратностью 3 с некоторой кривой второго порядка, проходящей через точки $a,\,b,\,c$. ^[8]

Допустив, что точки $a'',\,b'',\,c''$ совпадают в точке перегиба, из предыдущей теоремы получаем:

Любая секущая, проведенная из точки перегиба кубики, пересекает ее в двух точках, в которых эта кривая имеет пересечение кратности 3 с одной и той же кривой 2-го порядка.^[9]

Отсюда в частности имеем:

Если через точку перегиба кубики провести прямую, касающуюся ее в другой точке, то в этой точке кубика имеет пересечение кратности 6 с некоторой кривой 2-го порядка.^[10]

40. Рассмотрим теперь кривую-оболочку класса $m$, представленную уравнением (2'). Можно найти все касательные к этой кривой, проходящие через $A$, положив здесь ${\tfrac {bA}{bC}}=0$; получившееся таким образом уравнение укажет координаты точек $a,\,a',\dots$, в которых сторона $BC$ пересекает касательные, проходящие через $A$. Поэтому:

${\frac {aB}{aC}}.{\frac {a'B}{a'C}}\dots =(-1)^{m}{\frac {\rho }{\alpha }}$.

Аналогично, для точек $b,\,b',\dots$, в которых сторона $CA$ пересекает касательные, проходящие через $B$, имеем:

${\frac {bA}{bC}}.{\frac {b'A}{b'C}}\dots =(-1)^{m}{\frac {\rho }{\pi }}$.

Разделив теперь уравнение (2') на $\left({\tfrac {bA}{bC}}\right)^{m}$, и использовав соотношение

${\frac {aB}{aC}}:{\frac {bA}{bC}}={\frac {cB}{cA}}$,

получим:

$\alpha \left({\frac {cB}{cA}}\right)^{m}+\beta \left({\frac {cB}{cA}}\right)^{m-1}.{\frac {bC}{bA}}+\gamma \left({\frac {cB}{cA}}\right)^{m-1}+\dots +\pi +\rho \left({\frac {bC}{bA}}\right)^{m}=0$.

Положив в этом уравнении ${\tfrac {bC}{bA}}=0$, получим координаты точек $c,c',\dots$, в которых $AB$ пересекает касательные, проходящие через $C$. Следовательно,

${\frac {cB}{cA}}.{\frac {c'B}{c'A}}\dots =(-1)^{m}{\frac {\pi }{\alpha }}$.

Перемножая три полученные соотношения, имеем:

${\frac {aB}{aC}}.{\frac {a'B}{a'C}}\dots \times {\frac {bC}{bA}}.{\frac {b'C}{b'A}}\dots \times {\frac {cA}{cB}}.{\frac {c'A}{c'B}}\dots =(-1)^{m}$.

(3'.)

Таким образом, доказана теорема:

Если провести через вершины треугольника $ABC$ касательные к кривой класса $m$, то они пересекают противоположные стороны в точках $aa'\dots ,bb'\dots ,cc'\dots$, делящих стороны таким образом, что верно соотношение (3').^[11]

При $m=1$ это утверждение сводится к теореме Чевы. При $m=2$ получается некоторое свойство шести касательных кривой 2-го класса, из которого можно вывести следующее утверждение: если такая кривая описана около треугольника, то касательные к ней, проведенные в вершинах треугольника, пересекают противоположные стороны в трех точках, лежащих на одной прямой.^[12] И т.д.

41. Пусть $U=0$, $U'=0$ - два уравнения, подобные (2) и описывающие две кривые порядка $n$. Обозначим как $\lambda$ произвольную величину, тогда уравнение $U+\lambda U'=0$ описывает, очевидно, некоторую другую кривую порядка $n$. При тех значениях координат ${\tfrac {aC}{aB}},\,{\tfrac {bC}{bA}}$, в которых обращаются в нуль и $U$, и $U'$, обращается в нуль и $U+\lambda U'$; поэтому все $n^{2}$ пересечений двух кривых $U=0$ и $U'=0$ принадлежат кривой $U+\lambda U'=0$.^[13] Поскольку же это последнее уравнение представляет кривую порядка $n$ для каждого из бесконечного числа значений $\lambda$ и это значение может быть выбрано произвольным образом, верна теореме:

Через $n^{2}$ пересечений двух кривых порядка $n$ проходит бесконечное число кривых того же порядка.

В § 34 было доказано, что кривая порядка $n$ полностью определяется заданием ${\tfrac {n(n+3)}{2}}$ условий. Из предыдущей теоремы следует, что через ${\tfrac {n(n+3)}{2}}$ точек проходит, в общем, одна единственная кривая порядка $n$. В самом деле, если бы через эти точки проходило две кривые одного порядка, то в силу последней теоремы, проходило бы и бесконечно много таких кривых.

Через ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ заданных точек (§ 34) проходит бесконечное число кривых порядка $n$, две из них пересекаются еще в

$n^{2}-\left({\tfrac {n(n+3)}{2}}-1\right)={\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$

других точках, которые, следовательно, принадлежат также всем другим кривым, проходящим через заданные точки. Иными словами:

Через ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ заданных точек в общем случае проходит бесконечное число кривых порядка $n$, которые, кроме заданных точек, пересекаются еще в ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ других точках, положение которых полностью определено. ^[14]

Произвольная из этих кривых полностью определяется заданием одной точки, добавляемой к ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ данным, то есть среди бесконечного числа кривых, проходящих через ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ данных точек, имеется одна единственная, проходящая еще и через одну точку, выбранную произвольным образом. В следствии этого, индекс ряда, образованного этим бесконечным числом кривых (§ 34), равен 1. Будем называть такой ряд пучком (итал. fascio); под пучком порядка $n$ условимся понимать бесконечную систему кривых этого порядка, проходящих через ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ точек, заданных произвольным образом^[15], и еще через ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ других точек, положение которых полностью определено заданием первых. Множество $n^{2}$ пересечений кривых пучка называется базой (итал. base) пучка.

Аналогичные свойства обнаруживают и кривые заданного класса. $m^{2}$ общих касательных двух кривых класса $m$ касаются бесконечного числа кривых того же класса. Но имеется лишь одна единственная кривая класса $m$, касающаяся ${\tfrac {m(m+3)}{2}}$ прямых, взятых произвольным образом. Все кривые класса $m$, имеющие ${\tfrac {m(m+3)}{2}}-1$ общих касательных, имеют еще ${\tfrac {(m-1)(m-2)}{2}}$ общих касательных, положение которых полностью определено заданием первых.

Примечания

1. Шаль М., О сочинении Чевы... , прим. VII к «Историческому обзору». М., 1883. — Перев.
2. Ср. (1) § 8 - Перев.
3. Шаль М., О теореме Птоломея..., прим. VI к «Историческому обзору». М., 1883. — Перев.
4. Шаль М., О поризмах Евклида, прим. III к «Историческому обзору» (Брюссель, 1837 г.). См. также его Lettre à M. Quetelet. Correspondance mathématique et physique, t. VI, pag. 81, Bruxelles 1830.
5. Carnot, Géométrie de position, Paris 1803, p. 291, n. 235, а также p. 436, n. 378.
6. См. трактат Маклорена о кривых 3-го порядка в переводе Жонкьера: Jonquières, Melanges de geometrie pure, Paris 1856, p. 223.
7. Маклорен, ук. соч. p. 226.
8. Определение трехточечного касания, данное в § 32, получает здесь важно дополнение. Приняв интерпретацию, предложенную выше в прим. 3 к Art. 5, следует считать, что $a',\,b',\,c'$ — различные, следующие друг за другом на кубике. Проведем произвольную прямую, и обозначим точки ее пересечения с кубикой как $a'',\,b'',\,c''$, соединим эти точки попарно с $a',\,b',\,c'$. В результате получим треугольник, применив к которому теорему Л. Карно, видим, что существует кривая 2-го порядка, проходящая через $a',\,b',\,c'$ и еще три точки $a,\,b,\,c$, в которых стороны треугольника пересекают кубику. Эта кривая 2-го порядка и кубика пересекаются в 6 точках, причем точки кубики $a',\,b',\,c'$ следуют друг за другом на кубике и поэтому считаются как одна точка пересечения кратности 3. При этом считается очевидным, что эти точки следуют друг за другом и на кривой 2-го порядка, и что три прямые треугольника проходят через точку пересечения (хотя первая проходит только через $a'$, вторая — через $b'$, третья — через $c'$). Замечательно, что каждая прямая треугольника пересекает кривую 2-го порядка в двух различных точка, напр., первая в $a$ и $a'$, но не в $b',\,c'$, и поэтому «совпадение» точек $a',\,b',\,c'$ не приводит к тому, что прямая пересекает кривую 2-го порядка в 4-х точках. — Перев.
9. Poncelet, Analyse des transversales (Журнал Крелля, Bd. 8, Berlin, 1832, p. 129-135).
10. Plücker, Ueber Curven dritter Ordnung und analytische Beweisführung (Журнал Крелля, Bd. 34, Berlin, 1847, p. 330).
11. Chasles, Géométrie supérieure, Paris 1852, p. 361.
12. Это утверждение — двойственное к приведенному в конце § 39. — Перев.
13. Lamé, Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de géométrie, Paris 1818, p. 28.
14. Plücker, Analytisch-geometrische Entwicklungen, 1. Bd., Essen 1828, p. 229.
15. Здесь возможно вырождение, см. след параграф. – Перев.