Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/2

Проективность пунктуалов и звезд. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 2.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

7. Назовем пунктуталом (итал. punteggiata) ряд точек, расположенных на одной прямой, и пучком прямых или звездой (итал. stella) ряд прямых, лежащих на плоскости и проходящих через одну и ту же точку (центр пучка) ^[1][2]. Пунктуалы и звезды вмести называют геометрическими образами (итал. forme geometriche). Элементами геометрического образа могут выступать точки или прямые, образующие рассматриваемый пунктуал или звезду.

Два геометрических образа называются проективными, когда между их элементами имеется соотношение, ставящее в соответствие каждому элементу первого образа единственный и вполне определенный элемент второго образа, и наоборот, каждому элементу второго образа — единственный и вполне определенный элемент первого образа. ^[3][4]

Например, если пучок прямых пересекает произвольную секущую, то точки пересечений образуют ряд точек, проективный пучку.

Из данного определения со всей очевидностью следует, что два образа, проективные третьему, проективны между собой.

8. Рассмотрим две прямые, на которых лежат точки проективных пункуталов. Если $i$ — фиксированная точка первой прямой, то можно указать произвольную точку $m$ той же прямой, задав отрезок $im$; и аналогично, произвольную точку $m'$ второй прямой можно задать, указав отрезок $j'm'$, где $j'$ — фиксированная точка второй прямой. Если эти два ряда точек проективны, причем точка $m$ соответствует точке $m'$, то между отрезками $im$ и $j'm'$ имеется соотношение, которое, в силу определения проективности, неизбежно имеет следующий вид:

$\chi .im.j'm'+\lambda .im+\mu .j'm'+\nu =0$,

(1.)

где $\chi$, $\lambda$, $\mu$ и $\nu$ — постоянные коэффициенты.^[5] Это уравнение можно упростить, определив начала $i,\,j'$ подходящим образом. Пусть $i$ такая точка первого пункутала, которой соответствует бесконечно удаленная точка второго, тогда отрезку $im=0$ должен отвечать $j'm'=\infty$, и, следовательно, $\mu =0$. Аналогично, если предположить, что $j'$ — такая точка второго пункутала, которой отвечает бесконечно удаленная точка первого, то $\lambda =0$. Тогда уравнение (1) принимает вид:

$im.j'm'=k$,

(2.)

где $k$ — некоторая постоянная.

Пусть $a,b,c,d$ — четыре точки первой прямой, а $a',b',c',d'$ — соответствующие им точки на второй прямой. В силу (2) верно:

$j'a'={\frac {k}{ia}},\quad j'c'={\frac {k}{ic}}$,

следовательно,

$a'c'=-{\frac {k.ac}{ia.ic}}$.

Поступая аналогично с отрезками $c'b'$, $a'd'$ и $d'b'$, в итоге получим:

${\frac {a'c'}{c'b'}}:{\frac {a'd'}{d'b'}}={\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}$,

то есть:

$(a'b'c'd')=(abcd)$.

Пусть теперь имеется проективные звезда и пунктутал. Пересекая звезду произвольной секущей, получим новый пунктуал, проективный звезде, а, следовательно, и данному пунктуалу (§ 7). Пусть $a,b,c,d$ — четыре точки данного пункутала, $A,B,C,D$ — соответствующие им лучи звезды, а $a',b',c',d'$ — точки, в которых эти лучи пересекают секущую. Имеем:

$(a'b'c'd')=(abcd)$.

Но также верно (§ 2), что

$(a'b'c'd')=\sin(ABCD)$,

следовательно,

$(abcd)=\sin(ABCD)$.

Наконец, пусть даны две проективные звезды: пересекая их с двумя секущими (или с одной и той же секущей), получим два пунктуала, проективных соответствующим звездам, а следовательно и проективных друг другу. Пусть $A,B,C,D$ — четыре луча первой звезды, а $A',B',C',D'$ — соответствующие им лучи второй; $a,b,c,d$ и $a',b',c',d'$ — точки, в которых эти лучи пересекают соответствующие секущие. В силу проективности пунктуалов имеем

$(a'b'c'd')=(abcd)$.

Кроме того (§ 2) верно:

$(a'b'c'd')=\sin(A'B'C'D'),\quad (abcd)=\sin(ABCD)$,

следовательно,

$\sin(A'B'C'D')=\sin(ABCD)$.

Таким образом, в двух проективных образах ангармоническое отношение четырех произвольных элементов равно ангармоническому отношению четырех соответствующих им элементов другого образа.

Вследствие этого для фиксации проективности между двумя геометрическими образами, достаточно задать три пары соответствующих друг другу элементов, напр. $aa'$, $bb'$ и $cc'$. Тогда для каждого элемента $m$ первого образа, соответствующий элемент $m'$ второго образа может быть однозначно определен из условия равенства ангармонических отношений $(a'b'c'm')$ и $(abcm)$.

9. Предположим теперь, что две прямые, на которых лежат точки проективных пунктуалов, совпадают друг с другом, или же мы сами изобразили два проективных пунктуала на одной и той же прямой, что, напр., получилось выше (§ 8), когда две проективные звезды мы посекли одной и той же секущей. Проективность двух пунктуалов выражается уравнением (2):

$im.j'm'=k$.

При его помощи, мы найдем такие точки $m$, которые совпадают с соответствующими им точками $m'$.

Когда $m$ пробегает точки первого пунктуала в одном направлении, а $m'$ — соответствующие ей точки второго пунктуала, то эта точка движется или в том же направлении, что и точка $m$, или в противоположном в зависимости от того, отрицательна или положительна постоянная $k$.

Пусть $k>0$. В этом случае очевидно, что на продолжении отрезка $j'i\dots$ можно взять такую точку $e$, для которой верно $ie.j'e=k$, а на продолжении $ij'\dots$ такую точку $f$, отстоящую от $j'$ как $e$ от $i$, тогда $if.j'f=k$. То есть точки $e,f$, рассматриваемые как элементы одного из двух пунктуалов, совпадают с соответствующими им точками второго пунктуала.

Пусть теперь $k=-h^{2}$. Точки $m,m'$ не могут в этом случае совпасть вне отрезка $ij'$. Таким образом, вопрос сводится к делению этого отрезка на две части $im$ и $mj'$, такие, чтобы построенный на них прямоугольник имел площадь $h^{2}$. Следовательно, если $2h<ij'$, имеется две точки $e,\,f$, делящие таким образом отрезок $ij'$. В самом деле, построим на отрезке $ij'$ как на диаметре полукруг, тогда из точек полуокружности можно опустить на $ij'$ ровно два перпендикуляра, длина которых была бы равна $h$. Основания этих перпендикуляров и есть искомые точки $e,f$. Если $2h=ij'$, то имеется только одна единственная точка — середина отрезка $ij'$, обладающая указанным свойством. Наконец, если $2h>ij'$, то задача не допускает вещественного решения.

Таким образом, два проективные пунктуала, наложенные друг на друга, имеют две общие точки (итал. punti comuni)^[6], вещественные, мнимые или совпадающие, равноотстоящие от середины отрезка $ij'$.

То, что общих точек не может быть больше двух, можно было предвидеть заранее, поскольку два проективных пунктуала имеющих три точки, совпадающих с соответствующими им точками второго, совпадали бы тождественно. В самом деле, если $(abcm)=(abcm')$, то точка $m'$ совпадает с $m$.

Если $e,f$ — точки, общие двум проективным и наложенным друг на друга пунктуалам, в которых $a,a'$ и $b,b'$ — две пары соответствующих точек, то равенство ангармонических отношений дает:

$(abef)=(a'b'ef)$,

что можно переписать так:

$(aa'ef)=(bb'ef)$,

это означает, что ангармоническое отношение $(aa'ef)$ не зависит от выбора пары $aa'$.

10. Пусть даны две проективные звезды, имеющие один и тот же центр. Пересекая их с секущей, получим два проективных пункутала: две соответствующие друг другу точки $m,m'$ являются пересечениями секущей с двумя соответствующими друг другу лучами $M,M'$ двух звезд. Пусть $e,f$ — общие точки двух пункуталов. Тогда точки $e,f$ первого пункутала совпадают с соответствующими им точками $e',f'$ второго пункутала, и, следовательно, также и лучи $E,F$ первой звезды совпадают с лучами лучами $E',F'$, отвечающими им во второй звезде. Таким образом, две проективные концентрические звезды имеют два общих луча, вещественных, мнимых или совпадающих, то есть два луча, которые соответствуют сами себе.

Примечания

1. Bellavitis, Geometria descrittiva, Padova 1851, p. 75.
2. Термин пунктуал теперь почти не используется и не вполне понятно, следует ли его сопоставить множеству всех точек прямой, множеству некоторых точек прямой или считать понятие множества вовсе чуждым излагаемой теории. При рассмотрении проективных соответствий этот нюанс несущественен, поскольку проективное соответствие двух конечных множеств точек двух прямых продолжается единственным образом до проективного соответствия всех точек этих прямых, если в каждом из множествах более чем две точки. Кажется, что Кремона, когда это нужно, дополняет пунктуалы в т. ч. и мнимыми элементами и так же свободно их уменьшает с тем, чтобы рассматривать их как упорядоченные счетные множества. — Перев.
3. Chasles, Principe de correspondance entre deux objets variables etc. (Comptes rendus de l’Acad. de France, 24 decembre 1855). — Battaglini, Sulla dipendenza scambievole delle figure (Memorie della R. Accademia delle scienze, vol. 2, Napoli 1857, p. XXI и p. 188).
4. Ниже слово «проективный» используется в тех же конструкциях, в каких возможно использовать слово «равный», что сохранено и в переводе. — Перев.
5. Сегре в своем примечании к этому месту отметил, что в самом определении проективного отношения нужно было потребовать еще что-то, что бы вело к алгебраичности зависимости отрезков. — Перев.
6. Термин общая точка (англ. general point), используемый в современной алгебраической геометрии, соответствует не общей, а произвольной точке у старых авторов. — Перев.