Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/1

Ангармоническое отношение. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 1.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

Ангармоническое отношение четырех точек

1. Пусть на прямой заданы четыре точки $a$, $b$, $c$ и $d$; точка $c$ делит отрезок $ab$ в отношении ${\tfrac {ac}{cb}}$, а точка $d$ — в отношении ${\tfrac {ad}{db}}$. ^[1] Отношение этих двух величин,

${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}$,

называется ангармоническим отношением^[2] четырех точек $a$, $b$, $c$ и $d$ и обозначается символом $(abcd)$^[3]. Меняя порядок, в котором рассматриваются заданные точки, получим 4! ангармонических отношений, поскольку именно столько имеется перестановок четырех элементов. Коль скоро

${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}={\frac {bd}{da}}:{\frac {bc}{ca}}={\frac {ca}{ad}}:{\frac {cb}{bd}}={\frac {db}{bc}}:{\frac {da}{ac}}$,

то есть

$(abcd)=(badc)=(cdab)=(dcba)$,

среди 4! отношений каждое повторяется по четыре раза. Таким образом, среди 4! ангармонических отношений имеется только шесть, вообще говоря, различных; в качестве таковых можно взять

$(abcd),\,(acdb),\,(adbc)$,

$\,(abdc),\,(acbd),\,(adcb)$.

Поскольку справедливо равенство

$\left({\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}\right)\left({\frac {ad}{db}}:{\frac {ac}{cb}}\right)=1$,

то есть

$(abcd)(abdc)=1$,

и аналогично

$(acdb)(acbd)=1$ и $(adbc)(adcb)=1$,

то шесть ангармонических отношений можно разбить на три пары взаимно обратных величин. Назовем главными три отношения

$(abcd),\,(acdb),\,(adbc)$,

и тогда три оставшихся ангармонических отношения будут к ним обратными.

Для четырех точек на прямой, как известно, верно соотношение

$bc.ad+ca.bd+ab.cd=0$,

из которого сразу следует, что

${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}+{\frac {ab}{bc}}:{\frac {cd}{ad}}=-1$

или

$(abcd)+(acbd)=1$,

и аналогично,

$(acbd)+(adcb)=1$,

$(adbc)+(abdc)=1$,

то есть среди 6 ангармонических отношений вмести с некоторой отношением содержится и такое отношение, что их сумма равна единице. Такие отношения называют дополнительными.

Из предыдущих соотношений следует, что по одному данному из шести ангармонических отношений можно отыскать все остальные. В самом деле, пусть $(abcd)=\lambda$, тогда обратное отношение есть $(abdc)={\tfrac {1}{\lambda }}$. Дополнительные к ним отношения есть $(acbd)=1-\lambda$ и $(adbc)={\tfrac {\lambda -1}{\lambda }}$. Наконец, отношения, обратные к эти последним, есть $(acbd)={\tfrac {1}{1-\lambda }}$ и $(adcb)={\tfrac {\lambda }{\lambda -1}}$.

Ангармоническое отношение пучка четырех прямых

Фиг. к § 2.

2. Соединим заданные точки $a,\,b,\,c,\,d$ с произвольной точкой $o$, не лежащей на прямой $ab$ (см. фиг.), то есть построим пучок $o(a,b,c,d)$ четырех прямых, проходящих через точку $o$ и соответственно $a,\,b,\,c,\,d$. Из теоремы синусов, примененной к треугольникам $aoc$ и $cob$, имеем

${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ao}{bo}}={\frac {\sin aoc}{\sin cob}}$.

Аналогично, из треугольников $aod$ и $dob$ имеем

${\frac {ad}{db}}:{\frac {ao}{bo}}={\frac {\sin aod}{\sin dob}}$,

откуда

${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}={\frac {\sin aoc}{\sin cob}}:{\frac {\sin aod}{\sin dob}}$,

или, обозначая как $A,\,B,\,C,\,D$ четыре направления $oa,ob,oc,od$ и как $AC,\;CB,\dots$ углы между ними заключенные,

${\frac {ac}{cb}}:{\frac {ad}{db}}={\frac {\sin AC}{\sin CB}}:{\frac {\sin AD}{\sin DB}}$,

то есть равенство, которое символически можно записать так

$(abcd)=\sin(ABCD)$.

Выражение в правой части этого равенства можно назвать ангармоническим отношением четырех прямых $A,\,B,\,C,\,D$. Тогда: ангармоническое отношение четырех прямых $A,\,B,\,C,\,D$, выходящих из центра $O$, равно ангармоническому отношению четырех точек $a,\,b,\,c,\,d$, в которых эти прямые пересекают произвольную прямую (которую в таком случае называют секущей). Отсюда следует, что если прямые $A,\,B,\,C,\,D$ пересекают другую секущую в точках $a',\,b',\,c',\,d'$, то ангармоническое отношение этих новых четырех точек равно ангармоническому отношению точек $a,\,b,\,c,\,d$. Также очевидно, что если точки $a,\,b,\,c,\,d$ соединить с другим центром $o'$ прямыми $A',\,B',\,C',\,D'$, то ангармоническое отношение этих прямых равно отношению прямых $A,\,B,\,C,\,D$.

Фиг. 1 к § 3.

3. Пусть даны четыре точки $a,\,b,\,c,\,d$ на одной прямой и три точки $a',\,b',\,c'$ на другой прямой, на этой последней существует единственная, вполне определенная точка $d'$, такая что

$(abcd)=(a'b'c'd')$.

Это становится очевидном, если заметить, что отрезок $a'b'$ должен делиться точкой $d'$ так, чтобы было верно

${\frac {a'd'}{d'b'}}=\left({\frac {ad}{db}}:{\frac {ac}{cb}}\right){\frac {a'c'}{c'b'}}$.

В частности, если точки $a$ и $a'$ совпадают (фиг. 2), то прямые $bb',\,cc',dd'$ проходят через одну и ту же точку $o$.

Аналогично: дано два пучка четырех прямых $A,\,B,\,C,\,D$ и $A',\,B',\,C',\,D'$, центрами которых пусть являются $o$ и $o'$. Их ангармонические отношения совпадают:

$\sin(ABCD)=\sin(A'B'C'D')$,

если прямые $A$ и $A'$ совпадают друг с другом (а следовательно, и с единственной прямой, проходящей через $o$ и $o'$), то три точки пересечений прямых $B$ и $B'$, $C$ и $C'$, $D$ и $D'$ лежат на одной прямой.

Фиг. 2 к § 3.

Пусть даны четыре точки $a,\,b,\,c,\,d$ на одной прямой и четыре точки $a',\,b',\,c',\,d'$ на другой прямой (фиг. 2). Если ангармонические отношения этих точек равны:

$(abcd)=(a'b'c'd')$,

также и два пучка $a(a'b'c'd')$ и $a'(abcd)$ имеют равные ангармонические отношения (см. § 2). Но в этих двух пучках соответствующие друг другу лучи $aa'$ и $a'a$ совпадают, поэтому три точки $ab'\cap a'b$, $ac'\cap a'c$ и $ad'\cap a'd$ лежат на одной прямой. Это свойство позволяет указать простое правило построения точки $d'$, когда даны $abcd$ и $a'b'c'$.

Подобным же образом решается аналогичная проблема для двух пучков четырех прямых.

Гармонические точки

4. Четыре точки $a,\,b,\,c,\,d$ на одной прямой называются гармоническими, если

$(abcd)=-1$,

и тогда также

$(badc)=(cdab)=(dcba)=(abdc)=(bacd)=(cdba)=(dcab)=-1$

Пары точек $a,\,b$ и $c,\,d$ в этом случае называют сопряженными друг к другу, точку $b$ — гармонически сопряженной к $a$ относительно пары $c,\,d$ и т.д.^[4]

Если точка $d$ — бесконечно удаленная, отношение ${\frac {ad}{db}}$ имеет предел $-1$, тогда равенство $(abcd)=-1$ сводится к ${\frac {ac}{cb}}=1$, поэтому $c$ делит отрезок $ab$ пополам.

Гармоническое соотношение $(abcd)=-1$ можно записать так

${\frac {ac}{cb}}+{\frac {ad}{db}}=0$.

Поэтому, если одна из точек $c,\,d$, напр., $c$, лежит между $a$ и $b$, то другая точка, то есть $d$, лежит вне отрезка $ab$. В частности, если $a$ совпадает с $b$, то и $c$ совпадает с ними. Из этого же соотношения следует, что, если $a$ совпадает с $c$, то и $d$ совпадает с $a$.

Гармоническое соотношение позволяет однозначно определить одну из четырех точек по данным трем другим. Но если эти точки совпадают, то четвертая становится неопределенной.

Аналогично: четыре прямые $A$, $B$, $C$ и $D$, пересекающиеся в одной точке, называются гармоническими, если верно

$\sin(ABCD)=-1$,

то есть если они пересекают произвольную секущую в четырех гармонических точках.

Фиг. к § 5.

5. Пусть задан полный четырехсторонник (см. фиг.), то есть система четырех прямых, пересекающиеся попарно в шести точка $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$. Три диагонали $aa'$, $bb'$ и $cc'$ образуют треугольник $\alpha \beta \gamma$. Пусть $x$ — гармонически сопряженная к $\beta$ относительно $c,c'$, $y$ — гармонически сопряженная к $\gamma$ относительно $b,b'$. Прямая, гармонически сопряженная к $aa'$ относительно лучей $acb'$ и $ac'b$, должна проходить через точку $x$, а прямая, гармонически сопряженная к $aa'$ относительно лучей $a'bc$ и $a'b'c'$ — через точку $y$. [Поскольку ангармонические отношение этих пучков совпадают, то, в силу § 3, луч $a'y$ должен проходить через $x$, а $ax$ – через $y$. Это возможно лишь тогда, когда] эти точки совпадают с $\alpha$, точкой пересечения $bb'$ и $cc'$. Это означает, что каждая диагональ делится гармонически двумя другими.

Из этого следует простое правило построения одной из четырех гармонических точек $\alpha$, $\gamma$, $b$ и $b'$, когда даны три другие.

Похожим свойством обладает полный четырехугольник, то есть система четырех точек, лежащих попарно на шести прямых, и это позволяет строить гармонические пучки четырех прямых.

6. Четыре точки $m_{1},\,m_{2},\,m_{3},\,m_{4}$ на прямой, относительно точки $o$ той же прямой, можно представить уравнением четвертого порядка:

$A.{\overline {om}}^{4}+4B.{\overline {om}}^{3}+6C.{\overline {om}}^{2}+4D.{\overline {om}}+E=0$,

то есть $om_{1},\,om_{2},\,om_{3},\,om_{4}$ будут корнями этого уравнения. Если ангармоническое отношение $(m_{1}m_{2}m_{3}m_{4})=-1$, верно

$m_{1}m_{3}.m_{4}m_{2}+m_{2}m_{3}.m_{4}m_{1}=0$,

или, заменяя отрезки $m_{1}m_{3},\dots$ разностями $om_{3}-om_{1},\dots$ и принимая во внимание известное соотношение между коэффициентами и корнями уравнения,

$A(om_{1}.om_{2}+om_{3}.om_{4})-2C=0$.

Аналогично: равенства $(m_{1}m_{3}m_{4}m_{2})=-1$ и $(m_{1}m_{4}m_{2}m_{3})=-1$ дают соответственно

$A(om_{1}.om_{3}+om_{4}.om_{2})-2C=0$,

$A(om_{1}.om_{4}+om_{2}.om_{3})-2C=0$.

Перемножая эти три уравнения, получим необходимое и достаточное условие для того, чтобы одна из трех систем $(m_{1}m_{2}m_{3}m_{4})$, $(m_{1}m_{3}m_{4}m_{2})$ и $(m_{1}m_{4}m_{2}m_{3})$ была гармонической. Получающееся в результате соотношение является симметрическим относительно отрезков $om_{1},\,om_{2},\,om_{3},\,om_{4}$, и поэтому его можно выразить через коэффициенты уравнения. В итоге получится следующее: соотношение

$ACE+2BCD-AD^{2}-EB^{2}-C^{3}=0$

является условием того, что точки, представленные уравнением

$A.{\overline {om}}^{4}+4B.{\overline {om}}^{3}+6C.{\overline {om}}^{2}+4D.{\overline {om}}+E=0$,

взятые в одном из возможных порядков, образуют гармоническую систему.^[5]

Примечания

1. Следует сразу предостеречь: «длины» отрезков далее могут быть комплексными. Именно, молчаливо подразумевается, что на прямой выбрано некоторое направление. Если начало $a$ отрезка $ab$ лежит раньше его конца $b$, то его длина $ab$ считается положительной, в противном случае – отрицательной. Если какая-то задача разрешима лишь при дополнительных условиях, то считается, что она разрешима всегда в «мнимых» числах (принцип продолжения). Все основные утверждения Art. 1-5 устроены таким образом, что в них участвуют не сами длины, а отношения вида ${\tfrac {ac}{cb}}$. Разумеется, знак отношения не зависит от выборы направления на прямой. Можно сказать, что для дальнейшего достаточно смотреть на ${\tfrac {ac}{cb}}$ как на единый символ, а не отношение двух величин, постулировав существование соответствия между тройками точек прямой и полем комплексных чисел (или просто алгебраически замкнутым), обладающего очевидными свойствами. Впрочем, и сами числа появляются ниже тоже только как подобного рода отношения. — Перев.
2. Шаль, Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов, гл. I, § 30. Т. 1. Москва: М. Катков, 1883.
3. Möbius, Der barycentrische Calculus, Leipzig 1827, стр. 244 и след. — Witzschel, Grundlinien der neuer Geometrie, Leipzig 1858, стр. 21 и след.
4. Поскольку $(abcd)=(abdc)=-1$, порядок точек $c$, $d$ не важен. Это определение эквивалентно тому, которое использует Шаль (см. Примечание X к «Историческому обзору»): пара точек $a,b$ гарманически сопряжена относительно двух точек $c,d$, если верно $oa.ob=oc^{2}$ (где $o$ — середина отрезка $cd$). — Перев.
5. Salmon, Lessons introductory to the modern higher algebra. Dublin, 1859. P. 100