Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/1

Ангармоническое отношение. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 1.

автор Луиджи Кремона
См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.


Ангармоническое отношение четырех точекПравить

1. Пусть на прямой заданы четыре точки  ,  ,   и  ; точка   делит отрезок   в отношении  , а точка   — в отношении  . [1] Отношение этих двух величин,

 ,

называется ангармоническим отношением[2] четырех точек  ,  ,   и   и обозначается символом  [3]. Меняя порядок, в котором рассматриваются заданные точки, получим 4! ангармонических отношений, поскольку именно столько имеется перестановок четырех элементов. Коль скоро

 ,

то есть

 ,

среди 4! отношений каждое повторяется по четыре раза. Таким образом, среди 4! ангармонических отношений имеется только шесть, вообще говоря, различных; в качестве таковых можно взять

 ,
 .

Поскольку справедливо равенство

 ,

то есть

 ,

и аналогично

  и  ,

то шесть ангармонических отношений можно разбить на три пары взаимно обратных величин. Назовем главными три отношения

 ,

и тогда три оставшихся ангармонических отношения будут к ним обратными.

Для четырех точек на прямой, как известно, верно соотношение

 ,

из которого сразу следует, что

 

или

 ,

и аналогично,

 ,
 ,

то есть среди 6 ангармонических отношений вмести с некоторой отношением содержится и такое отношение, что их сумма равна единице. Такие отношения называют дополнительными.

Из предыдущих соотношений следует, что по одному данному из шести ангармонических отношений можно отыскать все остальные. В самом деле, пусть  , тогда обратное отношение есть  . Дополнительные к ним отношения есть   и  . Наконец, отношения, обратные к эти последним, есть   и  .

Ангармоническое отношение пучка четырех прямыхПравить

 
Фиг. к § 2.

2. Соединим заданные точки   с произвольной точкой  , не лежащей на прямой   (см. фиг.), то есть построим пучок   четырех прямых, проходящих через точку   и соответственно  . Из теоремы синусов, примененной к треугольникам   и  , имеем

 .

Аналогично, из треугольников   и   имеем

 ,

откуда

 ,

или, обозначая как   четыре направления   и как   углы между ними заключенные,

 ,

то есть равенство, которое символически можно записать так

 .

Выражение в правой части этого равенства можно назвать ангармоническим отношением четырех прямых  . Тогда: ангармоническое отношение четырех прямых  , выходящих из центра  , равно ангармоническому отношению четырех точек  , в которых эти прямые пересекают произвольную прямую (которую в таком случае называют секущей). Отсюда следует, что если прямые   пересекают другую секущую в точках  , то ангармоническое отношение этих новых четырех точек равно ангармоническому отношению точек  . Также очевидно, что если точки   соединить с другим центром   прямыми  , то ангармоническое отношение этих прямых равно отношению прямых  .

 
Фиг. 1 к § 3.

3. Пусть даны четыре точки   на одной прямой и три точки   на другой прямой, на этой последней существует единственная, вполне определенная точка  , такая что

 .

Это становится очевидном, если заметить, что отрезок   должен делиться точкой   так, чтобы было верно

 .

В частности, если точки   и   совпадают (фиг. 2), то прямые   проходят через одну и ту же точку  .

Аналогично: дано два пучка четырех прямых   и  , центрами которых пусть являются   и  . Их ангармонические отношения совпадают:

 ,

если прямые   и   совпадают друг с другом (а следовательно, и с единственной прямой, проходящей через   и  ), то три точки пересечений прямых   и  ,   и  ,   и   лежат на одной прямой.

 
Фиг. 2 к § 3.

Пусть даны четыре точки   на одной прямой и четыре точки   на другой прямой (фиг. 2). Если ангармонические отношения этих точек равны:

 ,

также и два пучка   и   имеют равные ангармонические отношения (см. § 2). Но в этих двух пучках соответствующие друг другу лучи   и   совпадают, поэтому три точки  ,   и   лежат на одной прямой. Это свойство позволяет указать простое правило построения точки  , когда даны   и  .

Подобным же образом решается аналогичная проблема для двух пучков четырех прямых.

Гармонические точкиПравить

4. Четыре точки   на одной прямой называются гармоническими, если

 ,

и тогда также

 

Пары точек   и   в этом случае называют сопряженными друг к другу, точку   — гармонически сопряженной к   относительно пары   и т.д.[4]

Если точка   — бесконечно удаленная, отношение   имеет предел  , тогда равенство   сводится к  , поэтому   делит отрезок   пополам.

Гармоническое соотношение   можно записать так

 .

Поэтому, если одна из точек  , напр.,  , лежит между   и  , то другая точка, то есть  , лежит вне отрезка  . В частности, если   совпадает с  , то и   совпадает с ними. Из этого же соотношения следует, что, если   совпадает с  , то и   совпадает с  .

Гармоническое соотношение позволяет однозначно определить одну из четырех точек по данным трем другим. Но если эти точки совпадают, то четвертая становится неопределенной.

Аналогично: четыре прямые  ,  ,   и  , пересекающиеся в одной точке, называются гармоническими, если верно

 ,

то есть если они пересекают произвольную секущую в четырех гармонических точках.

 
Фиг. к § 5.

5. Пусть задан полный четырехсторонник (см. фиг.), то есть система четырех прямых, пересекающиеся попарно в шести точка  ,  ,  ,  ,  ,  . Три диагонали  ,   и   образуют треугольник  . Пусть   — гармонически сопряженная к   относительно  ,   — гармонически сопряженная к   относительно  . Прямая, гармонически сопряженная к   относительно лучей   и  , должна проходить через точку  , а прямая, гармонически сопряженная к   относительно лучей   и   — через точку  . [Поскольку ангармонические отношение этих пучков совпадают, то, в силу § 3, луч   должен проходить через  , а   – через  . Это возможно лишь тогда, когда] эти точки совпадают с  , точкой пересечения   и  . Это означает, что каждая диагональ делится гармонически двумя другими.

Из этого следует простое правило построения одной из четырех гармонических точек  ,  ,   и  , когда даны три другие.

Похожим свойством обладает полный четырехугольник, то есть система четырех точек, лежащих попарно на шести прямых, и это позволяет строить гармонические пучки четырех прямых.

6. Четыре точки   на прямой, относительно точки   той же прямой, можно представить уравнением четвертого порядка:

 ,

то есть   будут корнями этого уравнения. Если ангармоническое отношение  , верно

 ,

или, заменяя отрезки   разностями   и принимая во внимание известное соотношение между коэффициентами и корнями уравнения,

 .

Аналогично: равенства   и   дают соответственно

 ,
 .

Перемножая эти три уравнения, получим необходимое и достаточное условие для того, чтобы одна из трех систем  ,   и   была гармонической. Получающееся в результате соотношение является симметрическим относительно отрезков  , и поэтому его можно выразить через коэффициенты уравнения. В итоге получится следующее: соотношение

 

является условием того, что точки, представленные уравнением

 ,

взятые в одном из возможных порядков, образуют гармоническую систему.[5]

ПримечанияПравить

  1. Следует сразу предостеречь: «длины» отрезков далее могут быть комплексными. Именно, молчаливо подразумевается, что на прямой выбрано некоторое направление. Если начало   отрезка   лежит раньше его конца  , то его длина   считается положительной, в противном случае – отрицательной. Если какая-то задача разрешима лишь при дополнительных условиях, то считается, что она разрешима всегда в «мнимых» числах (принцип продолжения). Все основные утверждения Art. 1-5 устроены таким образом, что в них участвуют не сами длины, а отношения вида  . Разумеется, знак отношения не зависит от выборы направления на прямой. Можно сказать, что для дальнейшего достаточно смотреть на   как на единый символ, а не отношение двух величин, постулировав существование соответствия между тройками точек прямой и полем комплексных чисел (или просто алгебраически замкнутым), обладающего очевидными свойствами. Впрочем, и сами числа появляются ниже тоже только как подобного рода отношения. — Перев.
  2. Шаль, Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов, гл. I, § 30. Т. 1. Москва: М. Катков, 1883.
  3. Möbius, Der barycentrische Calculus, Leipzig 1827, стр. 244 и след. — Witzschel, Grundlinien der neuer Geometrie, Leipzig 1858, стр. 21 и след.
  4. Поскольку  , порядок точек  ,   не важен. Это определение эквивалентно тому, которое использует Шаль (см. Примечание X к «Историческому обзору»): пара точек   гарманически сопряжена относительно двух точек  , если верно   (где   — середина отрезка  ). — Перев.
  5. Salmon, Lessons introductory to the modern higher algebra. Dublin, 1859. P. 100