Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/7

← Art. 6

Число условий, определяющих кривую данного порядка или данного класса. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 7.
автор Луиджи Кремона

Art. 8 →

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

33. Если кривая должна пройти через заданную точку $a$ , то она удовлетворяет, очевидно, одному условию.

Проведем через $a$ прямую $A$ ; если кривая должна также содержать некоторую точку прямой $A$ , следующую за точкой $a$ , то есть если кривая должна не только проходить через точку $a$ , но также касаться здесь прямой $A$ , то она удовлетворяет двум условиям.

Проведем через $a$ вторую прямую $A_{1}$ ; если кроме двух следующих друг за другом точек прямой $A$ кривая должна содержать еще и точку прямой $A_{1}$ , следующую за $a$ , то она удовлетворяет трем условиям. Но в этом случае, две прямые, проведенные через $a$ , пересекали бы здесь кривую два раза, то есть $a$ была бы двойной точкой этой кривой (§ 30). Поэтому: если кривая должна иметь двойную точку в $a$ , то она удовлетворяет трем условиям.

Если кривая должна иметь в $a$ двойную точку (три условия), произвольная прямая $A$ , проходящая через $a$ , содержит две точки кривой, совпадающие с $a$ . Если кривая должна проходить через третью точку, следующую на $A$ , то есть если эта прямая должна иметь в $a$ три общие точки с кривой, то кривая удовлетворяет еще одному новому условию. Если то же условие наложена и на второй прямой $A_{1}$ и на третьей $A_{2}$ (проходящей через $a$ ), то кривая удовлетворяет всего шести условиям. Но когда через $a$ проходят три прямые, каждая из которых пересекает здесь кривую три раза, это точка является тройной точкой кривой (§ 31); поэтому, если кривая должна иметь в $a$ тройную точку, она удовлетворяет шести условиям.

Вообще, пусть $x_{r-1}$ — число условий, выражающих то, что кривая имеет в $a$ точку кратности $(r-1)$ . Любая прямая $A$ , проходящая через $a$ , имеет здесь $r-1$ точек, общих с кривой. Если кривая должна содержать еще другую следующую за $a$ точку на прямой $A$ , то есть если прямая $A$ должна иметь в $a$ $r$ точек, общих с кривой, то кривая должна удовлетворять еще одному новому условию. Если то же требуется на других $r-1$ прямых, проходящих через $a$ , то кривая удовлетворяет всего $x_{r-1}+r$ условиям. Но когда через точку $a$ проходит $r$ прямых, имеющих здесь $r$ точек, общих с кривой, сама точка $a$ является точкой кратности $r$ (§ 31); поэтому, если кривая должна иметь в $a$ точку кратности $r$ , то она удовлетворяет $x_{r}=x_{r-1}+r$ условиям; отсюда $x_{r}={\tfrac {r(r+1)}{2}}$ .

34. Подсчитаем теперь число условий, полностью определяющих кривую порядка $n$ . Если кривая должна иметь заданную точку $a$ кратности $n$ , то она должна удовлетворять (§ 33) ${\tfrac {n(n+1)}{2}}$ условиям. Но линия порядка $n$ , имеющая точку $a$ кратности $n$ , неизбежно представляет собой систему из $n$ прямых, пересекающихся в точке $a$ (31); и для того, чтобы эти прямые полностью определить, достаточно задать на каждой из них по одной точке. Поэтому:

Число условий, полностью определяющих кривую порядка $n$ равно ${\tfrac {n(n+1)}{2}}+n={\tfrac {n(n+3)}{2}}$ .^[1] ^[2]

Если задано только ${\frac {n(n+3)}{2}}-1$ условий, то можно выделить бесконечное <число> кривых порядка $n$ , им удовлетворяющих, и среди них будет несколько, скажем $N$ , проходящих через данную произвольную точку. Вся бесконечная система называется рядом (итал. serie) порядка $n$ и индекса (итал. indice) $N$ .^[3]^[4]

Напр., касательные к кривой класса $m$ образуют серию порядка 1 и индекса $m$ .

В общем случае всегда существует линия, которая огибает данный ряд [индекса $N$ ], то есть такая линия, в каждой точке которой ее касается некоторая кривая ряда. Все ряды можно образовать непрерывным движением кривой, меняющей и форму, и положение в своем движении таким образом, чтобы все время удовлетворять всем наложенным условиям. Точки, в которых кривая ряда пересекает кривую, следующую за ней в этом ряду, являются также точками касания между первой из этих кривых и оболочкой этого ряда.

35. Только что доказанная теорема (§ 34) дает нам возможность установить следующее:

Простая кривая порядка $n$ не может иметь более чем ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ двойных точек (включая точки возвраты).

В самом деле: если бы имелось таких точек на одну больше, то через эти ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}+1$ точек и через другие $n-3$ точек той же кривой, то есть всего через ${\tfrac {(n-2)(n-2+3)}{2}}$ точек, было бы возможно провести кривую порядка $n-2$ , которая имела бы с данной линией

2\left\{{\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}+1\right\}+n-3=n(n-2)+1

точек пересечения, что невозможно, если данная кривая не составлена из линий меньшего порядка.^[5]

Примечания

↑ Аналогично, кривая класса $m$ полностью определяется заданием ${\tfrac {m(m+3)}{2}}$ условий.
↑ В § 41 особо доказывается, что через такое число точек проходит единственная кривая. Видимо, Кремона считает очевидным, что с наложением новых условий сначала бесконечное число удовлетворяющих им кривых (или элементов какого угодно ряда) становится конечным, а с наложением следующего условия — пустым.
↑ Jonquières, Théorèmes généraux concernant les courbes géométriques planes d'un ordre quelconque (Journal de M. Liouville, [2^e sèrie, t. 6] avril 1861, p. 113).
↑ В немецком переводе этот параграфа добавлено след. разъяснение: Напр., для произведения ангармонических отношений
$(abcx_{1}).(abcx_{2})\dots (abcx_{n})$ ,
где $a,\,b,\,c$ — три заданные точки на прямой, а $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\dots ,x_{n}$ — точки, в которых кривая пересекает эту прямую. Эта величина, которая принимает различные значения для различных кривых одного и того же ряда, известно под названием параметр. Если кривая зависит от иррациональных функций параметра, то различные значения этих функций, скажем $r$ значений, определяют столько же кривых, которые соответствуют одному и тому же значению параметра. Группа этих $r$ кривых можно рассматривать как место $r.n$ -го порядка, а заданный ряда как — как ряд $r.n$ -го порядка, в котором каждому значению параметра отвечает одна единственная кривая. Такой ряд называют составным относительно кривых $n$ -го порядка, и простым относительно групп или кривых $r.n$ -го порядка. Очевидно, что случай составного ряда, с этой точки зрения, может быть сведен к случаю простого ряда. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о последних, не обращая внимание на то, являются ли его элементы простыми кривыми или группами кривых.
↑ Plücker, ук. соч., p. 215.

[1] Аналогично, кривая класса $m$ полностью определяется заданием ${\tfrac {m(m+3)}{2}}$ условий.

[2] В § 41 особо доказывается, что через такое число точек проходит единственная кривая. Видимо, Кремона считает очевидным, что с наложением новых условий сначала бесконечное число удовлетворяющих им кривых (или элементов какого угодно ряда) становится конечным, а с наложением следующего условия — пустым.

[3] Jonquières, Théorèmes généraux concernant les courbes géométriques planes d'un ordre quelconque (Journal de M. Liouville, [2^e sèrie, t. 6] avril 1861, p. 113).

[4] В немецком переводе этот параграфа добавлено след. разъяснение: Напр., для произведения ангармонических отношений
$(abcx_{1}).(abcx_{2})\dots (abcx_{n})$ ,
где $a,\,b,\,c$ — три заданные точки на прямой, а $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\dots ,x_{n}$ — точки, в которых кривая пересекает эту прямую. Эта величина, которая принимает различные значения для различных кривых одного и того же ряда, известно под названием параметр. Если кривая зависит от иррациональных функций параметра, то различные значения этих функций, скажем $r$ значений, определяют столько же кривых, которые соответствуют одному и тому же значению параметра. Группа этих $r$ кривых можно рассматривать как место $r.n$ -го порядка, а заданный ряда как — как ряд $r.n$ -го порядка, в котором каждому значению параметра отвечает одна единственная кривая. Такой ряд называют составным относительно кривых $n$ -го порядка, и простым относительно групп или кривых $r.n$ -го порядка. Очевидно, что случай составного ряда, с этой точки зрения, может быть сведен к случаю простого ряда. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о последних, не обращая внимание на то, являются ли его элементы простыми кривыми или группами кривых.

[5] Plücker, ук. соч., p. 215.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]