Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/18

Приложение к кривым второго порядка. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 18.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

107. Если в изложенных выше общих теоремах положить $n=2$, можно получить утверждения, весьма важные для теории конических сечений.

Пусть задан полюс $o$ в плоскости фундаментальной кривой $C_{2}$ второго порядка, тогда место точек, гармонически сопряженных к $o$ относительно двух пересечений кривой с подвижной секущей, вращающейся вокруг точки $o$, является полярной прямой для $o$ (§ 68). Если поляра $oC_{2}$ проходит через точку $o'$, то и наоборот поляра $o'C_{2}$ содержит точку $o$ (§ 69, a); иными словами, полюса всех прямых, проходящих через заданную точку, лежат на поляре для этой точки и наоборот, все точки заданной прямой являются полюсами прямых, пересекающихся в полюсе заданной прямой.

Поскольку для каждой точки имеется одна вполне определенная полярная прямая, и наоборот, каждая прямая имеет один единственный полюс, то точки прямой составляют пунктуал, проективный звезде, образованной соответствующими им полярами. Отсюда следует, что ангармоническое отношение четырех прямых, проведенных через одну точку, равно ангармоническому отношению их полюсов.^[1]

Поляра $oC_{2}$ пересекает фундаментальную конику в тех точках, в которых эту конику касаются прямые, проведенные из точки $o$ (§ 70).

Если, рассматривая фундаментальную конику как кривую второго класса, из произвольной точки заданной прямой провести две касательные к кривой, то прямая, гармонически сопряженная к заданной относительно этих двух касательных проходит через фиксированную точку (§ 82), являющуюся полюсом заданной прямой.

Две фигуры, одна из которых содержит полюса и поляры для прямых и точек другой, называются взаимными полярами (polari reciproche).

На немногих изложенных здесь принципах основан знаменитый метод Понселе^[2] получения свойств одной фигуры из свойств ее взаимной.

108. Две точки $o$ и $o'$, одна из которых лежит на поляре для другой, называются сопряженными полюсами. Бесконечно число пар сопряженных полюсов, лежащих на секущей, образуют инволюцию (квадрику), двойные точки которой являются точками пересечения коники и секущей, то есть точки фундаментальной коники сопряжены сами себе.

Поляры для двух сопряженных полюсов, то есть две прямые, каждая из которых проходит через полюс другой, называются сопряженными. Бесконечное число пар сопряженных поляр, проходящих через одну и ту же заданную точку, образуют инволюцию (квадрику), двойные лучи которой являются касательными, которые можно провести к коники из заданной точки, то есть касательные к конике сопряжены сами себе.

108a. Два сопряженных полюса и полюс соединяющей их прямой (или две сопряженные прямые и поляра для точки их пересечения) определяют треугольник (или трехсторонник), в котором каждая сторона является полярой для противоположенной вершины. Такой треугольник или трехсторонник называется сопряженным к данной конике.

108b. Если из точки $p$ провести две секущие, пересекающие заданную конику в четырех точках $b,\,c$ и $a,\,d$, и если $q$ и $r$ — это пересечения пар прямых $(ca,\,bd)$ и $(ab,\,cd)$ соответственно, то прямая $qr$ является полярой для точки $p$; более того в треугольнике $pqr$ каждая вершина является полюсом для противоположной стороны. Сказанное является непосредственным следствием гармонического свойства полного четырехугольника $abcd$ (§ 5).[3] Поэтому все коники, описанные вокруг этого четырехугольника, являются сопряженными к треугольнику, образованному диагональными точками (punti diagonali) $p,\,q,\,r$.

108b'. Если через две точки одной заданной прямой $P$ провести четыре касательные $B,\,C$ и $A,\,D$ к заданной конике и если $Q$ и $R$ — это прямые, соединяющие пары точек $(CA,\,BD)$ и $(AB,CD)$ соответственно, то точка $QR$ является полюсом прямой $P$; более того, в треустороннике $PQR$ каждая сторона является полярой для противоположной вершины. Сказанное сращу следует из гармонических свойств полного четырехсторонника $ABCD$ (§ 5). Поэтому все коники, вписанные в четырехугольник, являются сопряженными к трехстороннику, образованному диагоналями $P,\,Q,\,R$.

108c. В общем случае, если точка имеет имеет одну и ту же полярную прямую относительно двух кривых пучка, то она является двойной для некоторой кривой пучка (§ 89). Поэтому, с другой стороны, две коники не допускают никаких общих сопряженных треугольников, кроме тех, которые имеют вершины в трех двойных точках пучка, определенного этими кониками, то есть точки, лежащие на пересечении диагоналей полного четырехугольника, образованного общими точками двух коник, и диагонали четырехсторонника, образованного общими касательными этих коник, являются углами и сторонами одного единственного треугольника, сопряженного к этим коникам.

Рис. к § 108d. Выделены четыре вершины вписанного четырехугольника, две его диагональные точки и две диагонали описанного четырехсторонника.

108d. Если в теореме Паскаля о шестиугольнике, вписанном в конику, (§ 45c) положить второй угол бесконечно близко к первому, а пятый — к шестому, то получится следующее соотношение между четырьмя точками коники и касательными в двух из них:

Если четырехугольник вписан в конику, то касательные в двух углах пересекаются на прямой, соединяющей две диагональные точки.

Отсюда легко вывести, что диагонали четырехсторонника, образованного четырьмя касательными к конике, являются сторонами треугольника, имеющего в качестве вершин диагональные точки четырехугольника, образованного четырьмя точками касания.

108e. Полный четырехугольник $abcd$ определен однозначно заданием трех диагональных точек $pqr$ и вершины $a$. В самом деле, вершина $b$ является гармонически сопряженной к $a$ относительно точек в которых $pq,\,pr$ пересекают $ar$ и т. д. Следовательно, коники, проходящие через одну и ту же точку $a$ и сопряженные к заданному треугольнику $pqr$, составляют пучок, иными словами (92):

Все коники, сопряженные к заданному треугольнику, составляют сеть.

108f. Кривые этой сети, делящие гармонически заданный отрезок $oo'$, составляют пучок. В самом деле, если $i$ — произвольная точка, то все коники сети, проходящие через $i$, имеют другие три общие точки и пересекают прямую $oo'$ в паре точек, [лежащих] в инволюции (§ 49). Но также пары точек, делящих гармонически отрезок $oo'$, составляют инволюцию (§ 25a), поэтому две эти инволюции имеют одну общую пару сопряженных точек; следовательно через $i$ проходит одна единственная коника сети, удовлетворяющая рассматриваемому условию, что и тр. д. Другими словами, сеть содержит пучок коник, относительно каждой из которых точки $o$, $o'$ являются сопряженными полюсами.

В сети любые два пучка всегда имеют одну общую кривую, поэтому задача о разыскании коники сети, относительно которой точка $o$ является сопряженной как к точке $o'$, так и к точке $o''$, то есть $o$ является полюсом поляры $o'o''$, допускает единственное решение; иными словами: существует одна единственная коника, относительно которой заданный треугольник является сопряженным и заданная точка является полюсом заданной прямой.

Рис. к § 108g.

108g. Пусть $pqr$ и $p'q'r'$ — два сопряженных к фундаментальной конике треугольника; $s$ и $t$ — точки, в которых прямые $p'q',\,p'r'$ пересекают $qr$; $s'$ и $t'$ — точки, в которых прямую $q'r'$ пересекают $pq,\,pr$. Поляры для точек $q,\,r,\,s,\,t$ являются, очевидно, прямыми $p(r,q,r',q')$, которые пересекают $q'r'$ в $t',\,s',\,r',\,q'$. Но системы этих четырех прямых и их полюсов имеют одно и то же ангармоническое отношение (§ 107), то есть:

$(qrst)=(t's'r'q')$, или в силу § 1

$(qrst)=(s't'q'r')$.

Это означает, что четыре прямые $pq,\,pr,\,p'q',\,p'r'$ пересекают прямые $qr,\,q'r'$ в двух системах четырех точек, имеющих равные ангармонические отношения. Поэтому (согласно § 60) шесть сторон этих двух треугольников составляют шестиугольник Брианшона. Кроме того два пучка четырех прямых $p'(q,r,q',r')$, $p(q,r,q',r')$ имеют равные ангармонические отношения, поэтому в силу § 59 шесть сторон этих треугольников составляют шестиугольник Паскаля^[4]. Таким образом:

Если два треугольника вписаны в некоторую конику, то вокруг них можно и описать некоторую другую конику и наоборот.

Для того, чтобы два треугольника являлись сопряженными к одной и той же конике, необходимо и достаточно, что вокруг них можно было описать некоторую другую конику или чтобы их можно было вписать некоторую третью.

Это свойство может быть выражено следующим образом: коника, касающаяся пяти из шести сторон двух треугольников, сопряженных к некоторой заданной конике, касается также и шестой, а коника, определенная заданием пяти вершин, проходит также через шестую. Отсюда получается след.:

Если коника касается сторон треугольника, сопряженного к некоторой второй конике, то имеется бесконечное число других треугольников, сопряженных ко второй конике и описаных вокруг первой коники, то есть касательные, проведенные к двум коникам из полюса (относительно второй коники) каждой касательной прямой первой коники, составляют гармонический пучок.[5]

Если коника проходит через вершины треугольника, сопряженного ко второй конике, то в первую конику можно вписать бесконечное число других треугольников, сопряженных ко второй конике; то есть каждая точка первой коники является полюсом (относительно второй коники) прямой, пересекающей две кривые в четырех гармонических точках.[6]

Рис. к § 109.

109. Коники, описанные около четырехугольника $abcd$, пересекают произвольную секущую в парах точек, составляющих инволюцию (§ 49). Среди этих коник имеются три пары прямых, поэтому пары противоположных сторон $(bc,ad)$, $(ca,bd)$ и $(ab,cd)$ четырехугольника пересекают секущую в шести точках $a'a''$, $b'b''$ и $c'c''$, которые лежат в инволюции. И наоборот, если стороны треугольника $abc$ пересекают секущую в точках $a'b'c'$ и если эти точки лежат в инволюции с точками $a_{1}b_{1}c_{1}$ той же секущей, то прямые $aa''$, $bb''$, $cc''$ пересекаются в точке $d$.

Пусть задан треугольник $abc$, стороны которого $bc$, $ca$ и $ab$ пересекают секущую в точках $a',\,b',c'$; и пусть еще задана коника, относительно которой точки $a'',\,b'',\,c''$, лежащие на той же секущей, являются сопряженными полюсами к полюсам $a',\,b',\,c'$ соответственно. Три пары точек $a'a''$, $b'b''$, $c'c''$ лежат в иновлюции (§ 108), поэтому прямые $aa''$, $bb''$ и $cc''$ пересекаются в одной и той же точке $d$. Если к тому же предположить, что $a$ и $b$ являются полюсами сопряженными соответственно к полюсам $a'$ и $b'$, то поляры $a'C_{2}$, $b'C_{2}$ — это прямые $aa''$ и $bb''$, и поэтому полюс секущей — это точка $d$. Значит, поляра $c'C_{2}$ — это $cc''$, то есть точки $c$ и $c'$ тоже являются сопряженными полюсами. Таким образом, получается след. теорема:

Если концы двух диагоналей $aa'$ и $bb'$ полного четырехсторонника^[7] образованы двумя парами сопряженных относительно некоторой заданной коники полюсов, то и концы третьей диагонали $cc'$ являются сопряженными полюсами относительно той же коники.^[8]

110. Если полюс пробегает заданную кривую $C_{m}$ порядка $m$, имеющую $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, то полярная прямая (относительно фундаментальной коники $C_{2}$) огибает другую кривую класса $m$, имеющую $\delta$ двойных касательных и $\chi$ точек перегиба, причем эту кривую можно еще определить как место полюсов касательных к $C_{m}$ (§ 103). Две эти кривые как раз и являются взаимными полярыми [введенными выше в § 107].

110a. Если фундаментальная коника $C_{2}$ является системой двух прямых, пересекающихся в точке $i$, то поляра для любой точки $o$ проходит через точку $i$, более того, она является гармонически сопряженной для $oi$ относительно пары прямых, составляющих конику (§ 73b); в тоже время поляра для самой точки $i$ остается неопределенной (§ 72), то есть любая прямая плоскости может рассматриваться как поляра для $i$. Отсюда следует, что каждая прямая, проходящая через $i$, имеет бесконечное число полюсов, лежащих на [некоторой] другой прямой, проходящей через $i$, а прямая, не проходящая через $i$ в качестве такового полюса только эту точку.		110a'. Если фундаментальная коника $C_{2}$, рассматриваемая как оболочка второго класса, является парой точек $o$ и $o'$, то полюс любой прямой $R$ лежит на прямой $oo'$, и отрезок $oo'$ делится гармонически полюсом и полярой. Однако полюс самой прямой $oo'$ неопределен, то есть любая точка плоскости может быть взята как полюс этой прямой. Отсюда следует, что каждая точка прямой $oo'$ имеет бесконечно много поляр, пересекающихся в некоторой другой точки этой же прямой, а произвольная точка, не лежащая на $oo'$, не имеет никакой другой поляры, кроме самой этой прямой.[9]
Поэтому, если задана кривая класса $r$, рассматриваемая как оболочка прямых, то ее взаимная поляра, то есть место полюсов ее касательных, является системой $r$ прямых, проходящих через $i$ и соответственно гармонически сопряженных (относительно двух прямых, составляющих конику $C_{2}$) к тем $r$ касательным к заданной кривой, проходящим через точку $i$.		Поэтому, если задана кривая порядка $r$, то ее взаимная поляра, то есть огибающая поляр для ее точек, является системой $r$ точек, лежащих на прямой $oo'$, которые, относительно точек $o$ и $o'$, гармонически сопряжены к тем точкам, в которых заданная кривая пересекает прямую $oo'$.

110b. В предположениях, сделанных в § 110a, очевидно, что каждый сопряженный трехсторонник имеет вершину в точке $i$, а две стороны образуют систему, гармоническую к дум прямым, составляющим фундаментальную конику. И наоборот, если заданный трехсторонник сопряжен к конике, которая является парой прямых, то эти прямые должны пересекаться в вершине треугольника и составлять гармонический пучок с двумя сторонами этого трехсторонника. В частности, каждая его сторона, рассмотренная как система двух совпадающих прямых, можно принять за конику, сопряженную к трехстороннику. Следовательно, три прямые, составляющие трехсторонник, содержат двойные точки коник, ему сопряженных, то есть гессиана сети, образованной кониками, сопряженными к данному треугольнику, совпадает с самим этим треугольником (§ 92, 108e).

111. В силу общей теоремы § 110, взаимная поляра к конике $K$ относительно другой $C_{2}$ является некоторой третьей коникой $K'$; две кривые $K$, $K'$ состоят друг с другом в таком отношении, что касательные касательные одной из них являются полярами для точек другой относительно коники $C_{2}$. В четырех точках, общих с $K$, фундаментальная коника $C_{2}$ имеет касательные, общие с $K'$; поэтому (§ 108d) три коники $C_{2},\,K,\,K'$ сопряжены к одному и тому же треугольнику.

111a. Если $R$ — поляра для точки $r$ относительно $K$, а $r'$ и $R'$ — соответственно полюс и поляра для $R$ и $r$ относительно $C_{2}$, то очевидно, что $r'$ является полюсом для $R'$ относительно $K'$, [то есть

$rK=r'C_{2}$ влечет $r'K'=rC_{2}$.^[10]]

111b. Общие точки коник $K$ и $K'$ — это полюса (относительно $C_{2}$) касательных, общих обоим этим коникам. Отсюда следует, что если несколько коник описано около одного и того же четырехугольника, то их взаимные поляры вписаны в один и тот же четырехсторонник.^[11] Поскольку первые коники пересекаются с произвольной секущей в парах точек, составляющих инволюцию, то касательные, проведенные из произвольной точки к коникам, вписанным в четырехсторонник, тоже состоят в инволюции.

111c. Если заданы a priori обе коники $K$ и $K'$, пересекающиеся в точках $a,\,b,\,c,\,d$ и имеющие общие касательные $A,\,B,\,C,\,D$, то коника, относительно которой $K$ и $K'$ являются взаимными полярыми, должна быть сопряженной к треугольнику, образованному диагональными точками четырехугольника $abcd$ и диагоналями четырехсторонника $ABCD$ (§ 111, 108c). Для полного определения этой коники, достаточно добавить следующее условие: точка $a$ является, относительно этой коники, полюсом одной из четырех прямых $A,\,B,\,C,\,D$ (§ 108f). Отсюда следует, что существуют четыре коники, относительно которых две заданные коники являются взаимными полярами.^[12]

111d. Пусть заданы две коники $K$ и $K'$, и пусть первая из них описана около треугольника $pqr$, сопряженного ко второй. Если $C_{2}$ — эта та коника, относительно которой заданные коники являются взаимными полярами, а прямые $P,\,Q,\,R$ — это поляры $pC_{2},\,qC_{2},\,rC_{2}$, то трехсторонник $PQR$ описан около коники $K'$. Но треугольник $pqr$ по предположению сопряжен к $K'$; поэтому трехторонник $PQR$ сопряжен к $K$ (§ 111a)^[13]. Иными словами:

Если одна коника описана около треугольника, сопряженного к другой конике, то вторая коника вписана в трехсторонник, сопряженный к первой конике, и наоборот. ^[14]

Отсюда, возвращаясь к утверждению, набранному в § 108g в две колонки, имеем:

Если одна коника вписана в треугольник, сопряженный ко второй конике (или, если вторая коника описана около треугольника, сопряженного к первой), то взаимная поляра для второй коники относительно первой коники является оболочкой таких прямых, которые две заданные коники делят гармонически, а взаимная поляра для первой относительно второй является место таких точек, что проведенные из них касательные к двум заданным коникам составляют гармонический пучок.

111e. Вообще, задавшись двумя кониками $K$ и $K'$, зададимся след. вопросами^[15]:

Какова оболочка прямых, пересекающих коники в четырех гармонических точках? Сколько прямых, обладающих этим свойством, можно провести через произвольную точку, напр., через одну из точек $a,\,b,\,c,\,d$ , общих заданным коникам? Для того, чтобы прямая, проходящая через точку $a$, пересекала коники $K$ и $K'$ в четырех гармонических точках, три из них должны совпадать в точке $a$, то есть касательные к искомой оболочке, которые можно провести через $a$, — это в точности две прямые, которые здесь касаются одной и второй коник соответственно. Следовательно, оболочка сама является коникой $F$, касающейся тех же восьми прямых, которых касаются первая или вторая коника в точках $a,\,b,\,c,\,d$.		Каково место точек, из которых можно провести гармонический пучок касательных к двум заданным коникам? Сколько точек, обладающих этим свойством, лежит на произвольной прямой, напр. на одной из касательных $A,\,B,\,C,\,D$, общих обоим заданным коникам? Очевидно, что только точки пересечения прямой $A$ с искомым местом являются точками, в которых эта прямая касается одной или другой касательной. Искомое место, является, следовательно, коникой $F'$, проходящей через восемь точек, в которых две заданные коники касаются четырех общих касательных.
Из этих восьми прямых те четыре, которые касаются $K'$, являются также касательными к конике $H$, взаимной поляре для $K$ относительно $K'$ (§ 111); иными словами, коники $K'$, $H$, $F$ вписаны в один и тот же четырехсторонник. Следовательно, если касательная к $H$, не общая с $K'$, пересекается гармонически кониками $K$ и $K'$, то коники $H$ и $F$ [имеют пять общих касательных и потому] совпадают. Это происходит всякий раз, когда коника $K$ описана около треугольника, сопряженного к $K'$ (d).		Из этих восьми точек четыре, лежащие на $K$, принадлежат также конике $H'$, взаимной поляре для $K'$ относительно $K$; это означает, что коники $K$, $H'$ и $F'$ принадлежат одному и тому же пучку. Следовательно, если точка $H'$, не общая с $K$, является центром гармонического пучка [четырех] касательных к $K$ и $K'$, то коники $H'$ и $F'$ совпадают . Это происходит всякий раз, когда $K'$ вписана в треугольник, сопряженный к $K$ (d).

Если $C_{2}$ — такая коника, относительно которой $K$ и $K'$ являются взаимными полярами, то, очевидно, коники $F$ и $F'$ (также как $H$ и $H'$) являются взаимными полярами относительно $C_{2}$. ^[16]

111f. Пусть $K$, $K'$ и $K''$ — три коники, описанные около одного и того же четырехугольника $abcd$, и первые две по отдельности пусть описаны около двух треугольников, сопряженных относительно одной и той коники $C_{2}$. Тогда все коники $H$, $H'$ и $H''$, взаимные поляры первых трех относительно $C_{2}$, касаются прямых $A=aC_{2},\dots ,D=dC_{2}$ (§ 111b). Поэтому (§ 111d) прямая $A$ делится гармонически парой коник $C_{2}$ и $K$, как и парой $C_{2}$ и $K'$; то есть пересечения $C_{2}$ с $A$ являются двойными точками инволюции (квадрики), которую задают коники пучка $(KK')$ на $A$. Отсюда следует, что $A$ делится гармонически парой $C_{2}$ и $K''$, иными словами (§ 111e):

Если две коники по отдельности описаны около двух сопряженных треугольников для заданной коники, то любая другая коника, проходящая через точки, общие обеим этим коникам, описана около некоторого треугольника, сопряженного к данной конике.

Примечания

1. Chasles, Mémoire de géométrie sur deux principes généraux de la science etc. (Mémoires couronnés par l’Académie R. de Bruxelles, t. 11, 1837, p. 582).
2. Poncelet, [Solution … suivie d’une théorie des polaires réciproques etc. (Annales de Gergonne, t. 8, Nismes 1817-18, p. 214).] — Traité des propriétés projectives des figures, Paris 1822, p. 122. — Mémoire sur la théorie des polaires réciproques (Journal für die reine und angewandte Mathematik. Bd. 4, Berlin, 1829, p. 1).

3. 

   Рис. к § 108b.

   Напр., в силу теоремы § 5 отрезок $bd$ диагонали четырехсторонника, образованного прямыми $ab,\,bc,\,cd,\,da$, делится двумя другими диагоналями гармонически, поэтому $s\in qC_{2}$, аналогично, $t\in qC_{2}$. Поэтому прямая $pr$ является полярой $qC_{2}$. — Перев.
4. Steiner, Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander, Berlin 1832, p. 308 (Aufg. 46). — Chasles, Mémoìre sur les lignes conjointes dans les coniques (Journal de mathématiques pures et appliquées, août 1838, p. 396).
5. Касательная $p'q'=r'C_{2}$ к первой конике соединяет точки $a$ и $b$, в которых две выходящие из $r'$ прямые касаются $C_{2}$. Отрезок $ab$ делится гармонически полюсом $p'$ поляры $p'C_{2}=q'r'$ и точкой $q'$ этой поляры. Поэтому и лучи $r'(a,b,p',q')$ составляют гармонический пучок. — Перев.
6. На хорде $p'q'=r'C_{2}$ лежит полюс $p'$ поляры $p'C_{2}=q'r'$, пересекающей хорду как раз в точке $q'$, поэтому точки пересечения этой хорды со второй коникой делят отрезок $q'r'$ гармонически, что и утверждается. — Перев.
7. Во введенных выше обозначениях он образован прямыми $ab,\,bc,ca$ и секущей. — Перев.
8. Hesse, De octo punctis intersectionis trium superficierum secundi ordinis (Dissertatio pro venia legendi), Regiomonti 1840, p. 17.
9. На самом деле, для такой коники $C_{2}$ определение поляры, данное в § 68, не годится. Вероятно, имеется ввиду следующее. Для невырожденной конки $C_{2}$ полярная оболочка, введенная в § 82, имеет класс 1, то есть представляет собой пучок прямых, его центр — это полюс прямой $L$. Для доказательства следует заметить, что сопряженный к конике треугольник, одной из сторон которого является прямая $L$, имеет в качестве двух других сторон прямые полярной оболочки для $L$. Такое описание полюса сохраняет смысл при рассматриваемом вырождении коники. — Перев.
10. Утверждение прямо следует из данного определения, только если $r\in K$, поскольку тогда $rK$ — касательная, проведенная в точке $r$. В общем случае можно поступить так: проведем из точки $r$ две касательные к $K$ и пусть $p$ и $q$ точки касания. Поскольку $pr=pK$ и $qr=qK$ — касательные к $K$, то их полюса $p'$ и $q'$ лежит на $K'$, а касательные к $K'$ в этих точках, то есть $p'K'$ и $q'K'$ имеют своими полюсами $p$ и $q$. Точка $r''$, в которой пересекаются $p'K'=pC_{2}$ и $q'K'=qC_{2}$, является полюсом $pq=rK=r'C_{2}$, поэтому $r''=r'$. Поэтому $r'\in p'K'\cap q'K'$, а значит, $p'q'=r'K'$. Остается вспомнить, что $r\in pK\cap qK=p'C_{2}\cap q'C_{2}$, откуда $p'q'=rC_{2}$. — Перев.
11. Связь с предыдущем не ясна. Если кривые $K$ пересекаются в точках $a,b,c,d$, то, конечно, их взаимные поляры $K'$ касаются $aC_{2},\dots ,dC_{2}$. — Перев.
12. В тексте доказано только, что таковых не более четырех. Для обращения этого утверждения можно поступить так: пусть $pqr$ — треугольник, образованный диагоналями четырехсторонника $A,\,B,\,C,\,D$, $C_{2}$ — коника, сопряженная к этому треугольнику и, для определенности, $aC_{2}=A$, и пусть $K,\,K''$ — взаимные поляры относительно $C_{2}$. Из § 111a следует, что треугольник, сопряженный для коник $K,\,C_{2}$, является сопряженным и для $K''$. Поэтому в силу § 111 коника $K''$ принадлежит сети $(K,K',C_{2})$ всех коник, сопряженных к этому треугольнику. Поскольку $A=aC_{2}$ касается $K$, то точка $a$ принадлежит $K''$, а значит, кривая $K''$ принадлежит пучку $(K,K')$. Поскольку точка $a$ принадлежит $K$, то $aC_{2}=A$ касается $K''$, поэтому в этом пучке три кривые — $K,\,K',\,K''$ — касаются прямой $A$. Это возможно лишь тогда, когда две из них совпадают (§ 85), а это — лишь когда $K'=K''$. Значит, действительно относительно построенной в тексте коники кривые $K,\,K'$ являются взаимными полярами. — Перев.
13. Напр., $r'=P\cap Q=pC_{2}\cap qC_{2}$ влечет $r'C_{2}=pq=rK'$ и теперь можно применить терему § 111a и получить $r'K=rC_{2}=Q$. — Перев.
14. Hesse, Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes, Leipzig 1861, p. 175.
15. Staudt, Ueber die Kurven 2. Ordnung, Nürnberg 1831, p. 25.
16. Произвольная касательная $L=oC_{2}$ к $H$ делится заданными кониками гаромнически на отрезки $ab$ и $cd$, поэтому ее полюс $o$ есть точка пересечения четырех поляр $aC_{2},\dots dC_{2}$. Поскольку заданные коники являются взаимными порами, то эти четыре прямые их касаются. Поскольку же между полюсами, лежащими на $L$, и полярами, проходящими через $o$, имеется взаимно однозначное соответствие, то сохраняется ангармоническое отношение и, следовательно, прямые $aC_{2},\dots dC_{2}$ составляют гармонический пучок (см. теорему Шалая из § 107). — Перев.