Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/15

Геометрические сети. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 15.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

Гессиана сети

92. Полная система линий порядка $m$, удовлетворяющим ${\tfrac {m(m+3)}{2}}-2$ условиям, называется геометрической сетью (rete) порядка $m$, когда через две взятые произвольным образом точки проходит одна единственная линия системы, то есть когда линии системы, проходящие через одну такую произвольную точку, образуют пучок.^[1]

Напр., первые поляры относительно заданной кривой порядка $n$ образуют геометрическую сеть порядка $n-1$ (§ 77a); и наоборот, многие свойства первых поляр могут быть перенесены на произвольные сети с сохранением доказательств.

Два пучку порядка $m$, имеющие общую кривую, или три кривые порядка $m$ не проходящие через одни и те же $m^{2}$ точек, определяют геометрическую сеть порядка $m$ (§ 77, a).

Место точки, в которой касаются две (а следовательно, и бесконечно много) кривых заданной сети порядка $m$ является линией порядка $3(m-1)$. Эта линия, которая может быть названа гессианой сети, является также местом двойных точек кривых сети (§ 90a).

Общие касательные в точках касания кривых сети огибают кривую класса $3m(m-1)$ (§ 91c).

92a. Предположим, что все кривые заданной сети имеют общую точку $a$. Проведем прямую $A$ через точку $a$ и пусть $a'$ — точка на $A$, бесконечно близкая к $a$; тогда бесконечно число кривых сети проходят через точку $a'$ (то есть касаются прямой $A$ в точке $a$) и образуют пучок. Проведем через $a$ вторую прямую $A_{1}$, на которой пусть $a_{1}$ — точка, следующая за $a$, то имеется (и при том только одна) кривая сети, проходящая через $a'$ и $a_{1}$, то есть имеющая двойную точку в $a$. Итого: когда все кривые сети имеют общую точку, одна из них имеет здесь двойную точку, а кривые, касающиеся прямой, проведенной через эту точку, образуют пучок.

92b. Предположим теперь, что все кривые не только имеют общую точку $a$, но и касаются здесь прямой $T$. Проведем прямую $A$ произвольным образом через точку $a$, имеется бесконечное число кривых сети, проходящих через точку на $A$, следующую за $a$, и все эти кривые составляют некоторый пучок. Каждая из них пересекает и прямую $T$, и прямую $A$ в двух точках, совпадающих с $a$, то есть имеет здесь двойную точку, а сам пучок не меняется при вращении прямой $A$ вокруг $a$. Среди кривых пучка две имеют точку возврата в $a$ (§ 48), а одна из кривых пучка имеет в качестве касательной прямую $T$. В самом деле, эта последняя кривая выделяется из кривых пучка тем, что должна пересекать $T$ в трех точка, а $A$ в двух точках, совпадающих в $a$. ^[2]

Якобиана трех кривых

93. Пусть заданы три кривые $C$, $C'$ и $C''$, порядки которых равны соответственно $m$, $m'$ и $m''$, попытаемся определить место точек, полярные прямые для которых относительно этих кривых пересекаются в одной и той же точке

$a?a^{m-1}C\cap a^{m'-1}C'\cap a^{m''-1}C''=b$;

иными словами (§ 69a), место точки, в которой пересекаются первые поляры для одной и той же точки относительно заданных кривых:

$a?bC\cap bC'\cap bC''=a$.

С этой целью поступим так: сначала через точку $o$, зафиксированную произвольным образом, проведем прямую $L$ и определим точки, обладающие тем свойством, что в каждой из них пересекаются первые поляры для одной и той же точки на $L$; затем, вращая эту прямую вокруг точки $o$, получим все точки искомого места.

Первые поляры для точек прямой $L$ относительно кривых $C$ и $C'$ образуют два проективных пучка (§ 77), и тогда соответствующие кривые, то есть поляры для одной и той же точки прямой $L$, пересекаются в точка кривой $K'$ порядка $m+m'-2$, проходящей через базовые точки обоих пучков. Следует заметить, что база первого пучка образована $(m-1)^{2}$ точками, в которых первая поляра для $o$ относительно $C$ пересекает первую поляру относительно любой другой точки прямой $L$ относительно той же кривой. Таким образом получается кривая $K'$ — место точек в которых пересекаются первые поляры относительно $C$ и $C'$ для одной и той же точки на $L$.

Каждой прямой $L$, проходящей через постоянную точку $o$, соответствует своя кривая $K'$. Среди таких кривых $K'$ имеется одна единственная, которая проходит через произвольную точку $p$. В самом деле, заданием точки $p$ вполне определены прямые $p^{m-1}C$ и $p^{m'-1}C'$, а следовательно, и их точка пересечения $p'$. Проведем прямую $L$ через эту точку и точку $o$. Тогда по теореме § 69a первые поляры $p'C$ и $p'C'$ должны проходить если через $p$, лежащую на прямой $L$, то есть точка $p$ должна лежать на кривой $K'$, соответствующей так построенной прямой $L$. ^[3] Поэтому, вращая прямую $L$ вокруг точки $o$, получим пучок кривых $K'$ (§ 41).

Далее, когда кривая $C'$ заменяется $C''$, прямая $L$ аналогично порождает кривую $K''$ порядка $m+m''-2$, которая проходит через все те же $(m-1)^{2}$ базовые точки первого пучка, что и кривая $K'$. Когда прямая $L$ вращается вокруг $o$, соответствующие кривые $K''$ образуют пучок. Два пучка, образованные кривыми $K'$ и $K''$, проективны между собой, поскольку каждый из них проективен пучку прямых $L$, проходящих через $o$. Поэтому эти два пучка, первый — порядка $m+m'-2$, второй — порядка $m+m''-2$, порождают кривую порядка $2m+m'+m''-4$ (§ 50). Но поскольку две соответствующие кривые $K'$ и $K''$ имеют $(m-1)^{2}$ точек, [движущихся при вращении $L$, но] лежащих на постоянной кривой порядка $m-1$ (именно, на первой поляре $oC$), то оставшиеся $(m+m'-2)(m+m''-2)-(m-1)^{2}$$=m'm''+m''m+mm'-2(m+m'+m'')+3$ точки, общие гомологическим кривым $K'$ и $K''$, порождают кривую порядка $2m+m'+m''-4-(m-1)=m+m'+m''-3$ (§ 50a). Эта кривая и есть искомое место. ^[4]

Эта кривая называется якобианой (Jacobiana) трех заданных кривых.^[5]

Если три заданные кривые проходят через одну и ту же точку $a$, то и полярные прямые $a^{m-1}C,\,a^{m'-1}C',\,a^{m''-1}C''$ проходят через эту точку. Поэтому, если кривые $C,\,C',\,C''$ имеют общую точку, то оная является точкой их якобианы.

Если одна из данных кривых, напр., $C''$, имеет двойную точку $d$, то полярная прямая $d^{m''-1}C''$ остается неопределенной (§ 72), и можно взять за таковую прямую, соединяющую точку $d$ с пересечением полярных прямых $d^{m-1}C$ и $d^{m'-1}C'$. Поэтому якобиана проходит через двойные точки заданных кривых.

94. Допустим, что $m'=m''$, то есть две заданные кривые имеют один и тот же порядок. В таком случае якобиана не меняется, если заменить эти две кривые на любые другие кривые пучка, заданного этими кривыми. Это очевидно, поскольку якобиана является местом точек, через которые проходят три первые поляры для одного и того же полюса, а первые поляры для одного и того же полюса относительно всех кривых пучка сами образуют пучок (§ 84a), то есть проходят через одни и те же точки.

В рассматриваемом случае, якобиана допускает другое определение. Если $p$ является ее точкой, то полярные прямые $p^{m-1}C,\,p^{m'-1}C',\,p^{m''-1}C''$ пересекаются в одной и той же точке $p'$. Но эта точка $p'$ является также и точкой, через которую проходят полярные прямые для $p$ относительно всех кривых пучка $(C'C'')$ (§ 84c); то есть полярная прямая $p^{m-1}C$ является также полярной прямой для той же точки относительно некоторой кривой пучка. Поэтому можно сказать, что якобиана заданных кривых является местом точек, имеющих одинаковые полярные прямые как относительно $C$, так и относительно некоторой кривой пучка $(C'C'')$; такое место уже было исследовано выше (§87).

95. Предположим теперь, что $m=m'=m''$, то есть что заданные кривые имеют одинаковый порядок $m$. Поскольку согласно § 94 любые две из них можно заменить двумя другими кривыми их пучка, то и три заданные кривые можно заменить на любые три кривые сети $(C,C',C'')$ (§ 92) без изменения якобианы. Отсюда: если задана сеть кривых порядка $m$, то место точек, для которых полярные прямые относительно кривых сети проходят через одну и ту же точку, является линией порядка $3(m-1)$, проходящей через все двойные точки этих кривых (§ 93). Поэтому в рассматриваемом случае якобиана совпадает с гессианой сети (§ 92). Это дает другое определение гессианы заданной сети. ^[6]

Неподвижные точки сети и ее гессиана

95bis. Рассмотрим теперь поближе случаи, когда, во-первых, кривые сети все пересекаются в одной и той же заданной точке, и, во-вторых, когда эти кривые касаются в общей точке [и одна из них имеет здесь точку возврата с касательной, совпадающей с общей касательной]. ^[7] В первом случае, не ограничивая общности рассмотрения, можно предположить, что одна из трех кривых, определяющих сеть, имеет двойную точку в заданной точке; во втором случае — что первая кривая имеет в заданной точке точку возврата и здесь касается общей касательной ко всем кривым сети (§ 92a, 92b).

Первый случай

96. Итак, пусть задано три кривые $C,\,C',\,C''$ одного порядка $m$, имеющие общую точку, в которой одна из них, именно $C''$, имеет двойную точку; разместим в этой точке полюс $o$, использованный выше в § 93 при общих изысканиях о якобиане.

96a. Первые поляры $oC$ и $oC'$ проходят через точку $o$, поэтому через эту точку проходит также все кривые $K'$ пучка, проективного пучке прямых $L$ (§ 93).

Кривая $K'$, соответствующая заданной прямой $L$, не изменится, если заменить кривые $C,\,C'$ любыми двумя кривыми из пучка $(C,\,C')$. Заменим кривую $C$ кривой $C^{o}$, касающейся в точке $o$ прямой $L$, тогда первые поляры для всех точек прямой $L$ относительно кривой $C^{o}$ проходят через точку $o$ (§ 70). Через точку $o$ проходит также первая поляра $oC'$; поскольку касательной в точке $o$ к кривой $K'$ является прямая, которая в этой точке касается $oC^{o}$ (§ 51a), то есть сама прямая $L$. Итого: когда кривые $C,\,C'$ имеют одинаковый порядок и проходят через точку $o$, то и кривая $K'$ проходит через точку $o$ и здесь касается соответствующей ей прямой $L$.

96b. Путь $o$ — двойная точка кривой $C''$, то первая поляра относительно этой кривой для всех точек прямой $L$ проходят через точку $o$ и здесь касаются одной и той же прямой $L'$, гармонически сопряженной к $L$ относительно двух касательных к $C''$ в ее двойной точке (§ 74c).

Кривая $K''$ (§ 93) порождена двумя проективными пучками: пучком первых поляр для точек $L$ относительно кривых $C''$ и пучком первых поляр для тех же точек относительно кривых $C$. Кривые первого пучка имеют в точке $o$ общую касательную $L'$. Кривая второго пучка, проходящая через $o$, то есть первая поляра $oC$, соответствует первой поляре $oC''$, то есть кривой первого пучка, для которой точка $o$ является двойной. Следовательно, какова бы ни была прямая $L$, кривая $K''$, порожденная этими двумя пучками, имеет в точке $o$ имеет двойную точку (§ 51b). Кроме того, прямая $L$ является одной из двух касательных к кривой $K''$ в двойной точке $o$ в двух случаях: во-первых, когда прямая $L$ является одной из касательных к $C''$ в двойной точке (§ 51d), и, во-вторых, когда прямая $L$ является касательной в точке $o$ к кривой $C$, и тогда все кривые второго пучка проходят через $o$ (§ 52a).

Итого: если кривые $C$ и $C''$ имеют общую точку $o$, двойную для кривой $C''$, то кривая $K''$, соответствующая прямой заданной прямой $L$ (проходящей через $o$), имеет двойную точку в $o$; прямая $L$ является одной из двух касательных, если эта прямая является касательной в точке $o$ к одной из заданных кривых.

96c. Отсюда нетрудно видеть, что в рассматриваемом случае точка $o$ принадлежит всем кривым $K'$ пучка, проективного пучку прямых $L$, проведенных через точку $o$ (§ a), и является двойной для всех кривых $K''$ пучка, проективного тому же пучку прямых (§ b). Поэтому $o$ является тройной точкой для составной кривой порядка $4(m-1)$, порожденный двумя проективными пучками кривых $K'$ и $K''$ (§ 52, 93). Но эта составная кривая содержит первую поляру $oC$, которая проходит один раз через $o$; поэтому эта точка является двойной для второй части составной кривой порядка $3(m-1)$, то есть для якобианы.

Прямая $L$ является касательной для соответствующих ей кривых $K'$ (§ a); поэтому касательные к получающейся в итоге кривой порядка $4(m-1)$ в тройной точке $o$ являются такими прямыми $L$, которые касаются также соответствующих ей кривых $K''$ (§ 52). Но $L$ касается соответствующих ей кривых $K''$ (§ b) когда она является касательной к $C$ или к $C''$; поэтому три касательные в тройной точке — это касательная к $C$ и две касательные к $C''$. Из этих трех прямых первая является касательной к первой поляре $oC$ (§ 71); поэтому две другие должны быть касательными к якобиане в ее двойной точке $o$.

Теперь можно подвести итог:

96d. Пусть задана сеть кривых проходящих через точку $o$, тогда гессиана сети проходит два раза через точку $o$ и обе касательные, проведенные в этой точке, — общие с касательными к той кривой сети, для которой точка $o$ является двойной.

Второй случай

97. Обратимся теперь к случаю, когда точка $o$, общая трем кривым $C$, $C'$ и $C''$, является точкой возврата для одной из них, а касательная возврата $T$ касается в точке $o$ обеих кривых $C$ и $C'$.

97a. Кривые $C$ и $C'$ имеют в точке $o$ одну и ту же касательную, поэтому вместо одной из них, [скажем $C'$], можно взять ту кривую пучка $(C,C')$, которая имеет двойную точку в $o$ (§ 47); поэтому эта точка является двойной для кривой $K'$, какой бы ни была прямая $L$ (§ 96b). Кроме того, когда $L$ совпадает с $T$, эта прямая является одной из двух касательных в двойной точке соответствующей ей кривой $K'$.

97b. Поскольку $o$ является точкой возврата для $C''$, первые поляры относительно этой кривой для всех точек $L$ проходят через $o$ и здесь касаются прямой $T$ (§ 74c); и среди них имеется одна поляра, именно $oC''$, для которой эта точка является точкой возврата и при этом прямая $T$ является и для нее касательной возврата. Кроме того, поляра $oC$ также проходит через $o$ и здесь касается той же прямой $T$. Поэтому, какова бы ни была прямая $L$, кривая $K''$ имеет в $o$ точку возврата, а прямая $T$ является касательной возврата (§ 51e).

Но если $L$ совпадает с $T$, то первые поляры для точек прямой $L$ относительно $C''$ имеют двойную точку в $o$ (§ 78a), в то время как первые поляры для тех же точек относительно $C$ только проходят через $o$ с кратностью 1 (§ 70); поэтому кривая $K''$, соответствующая прямой $L$, совпадающей с прямой $T$, имеет тройную точку в $o$ (§ 52).

97c. Собирая доказанное вмести, видим, что кривые $K'$ имеют в $o$ двойную точку, в то время как кривые $K''$ имеют здесь точку возврата с общей касательной возврата $T$. Отсюда следует, что $o$ является точкой четвертой кратности на составной кривой порядка $4(m-1)$, порожденной этими двумя проективными пучками кривых $K'$ и $K''$, и что две из четырех ее дуг, проходящих через точку $o$, касаются здесь прямой $T$ (§ 52). Другие две дуги касаются в точке $o$ касательных к кривой $K'$, соответствующей той кривой $K''$, которая имеет в $o$ тройную точку (§ 52a). Кривая $K''$, для которой $o$ является тройной точкой, соответствует прямой $L$, совпадающей с $T$ (§ 97b), следовательно, эта кривая соответствует той кривой $K'$, одна из двух дуг которой касается в точке $o$ прямой $T$ (§ 97a). Поэтому три из четырех касательных в точке $o$ 4-ой кратности составной кривой порядка $4(m-1)$ сливаются в прямую $T$.

Кривая порядка $4(m-1)$ составлена из якобианы трех заданных кривых и первой поляры $oC$. Эта первая поляра проходит через точку $o$ один раз и здесь имеет касательную $T$; поэтому якобиана проходит три раза через точку $o$ и две из трех ее дуг касаются здесь прямой $T$. Итого:

97d. Пусть задана сеть кривых, имеющих общую точку $o$ и здесь касающихся одной и той же прямой $T$, [которая является также касательной в $o$ и к той кривой, которая имеет в $o$ точку возврата]^[7], тогда гессиана сети имеет три дуги, проходящие через точку $o$, две из которых здесь касаются прямой $T$.

Штейнериана сети

98. Допустим, что опять заданы три кривые $C$, $C'$ и $C''$, порядки которых равны соответственно $m$, $m'$ и $m''$. Разыщем, какой порядок имеет место точки, в которой пересекаются полярные прямые для одного и того же полюса относительно заданных кривых:

$i?o^{m-1}C\cap o^{m'-1}C'\cap o^{m''-1}C''=i$.

Пусть $L$ — произвольная прямая, а $i$ — произвольная точка на этой прямой; если через $i$ требуется провести полярные прямые относительно $C$ и $C'$, то за их полюс $o$ следует взять одно из $(m-1)(m'-1)$ пересечений первых поляр $iC$ и $iC'$. Если через $o$ требуется провести первую поляру относительно $C''$, то ее полюс следует взять на прямой $o^{m''-1}C''$; полярные прямые для $(m-1)(m'-1)$ [подходящих] точек $o$ пересекают прямую $L$ в стольких же точках $i'$.

Наоборот, выберем произвольным образом точку $i'$ на $L$. Если через нее требуется провести полярную прямую относительно $C''$, то ее полюс следует взять на первой поляре $i'C''$. Полярные прямые для точек кривой $i'C''$ относительно кривой $C$ огибают кривую класса $(m-1)(m''-1)$ (§ 81), а полярные прямые для точек $i'C''$ относительно $C'$ огибают кривую класса $(m'-1)(m''-1)$. В этих двух кривых-оболочках каждой касательной одной соответствует касательная другой, если принять за соответствующие друг другу такие касательные, которые являются полярами для одной и той же точки кривой $i'C''$ относительно $C$ и $C'$. Поэтому (§ 83a) пересечения гомологических касательных порождают кривую порядка $(m-1)(m''-1)+(m'-1)(m''-1)$, пересекающую прямую в $L$ в стольких же точках $i$.

Таким образом, каждой точке $i$ соответствует $(m-1)(m'-1)$ точек $i'$, и в то же время каждой точке $i'$ отвечает $(m-1)(m''-1)+(m'-1)(m''-1)$ точек $i$. Поэтому совпадение двух гомологических точек $i$ и $i'$ на прямой $L$ происходит $(m-1)(m'-1)+(m-1)(m''-1)+(m''-1)(m-1)$ раз, то есть таков порядок искомого места. Эта кривая проходит, очевидно, через точки, общие трем заданным кривым, если таковые имеются.

98a. Когда три заданные кривые имеют один и тот же порядок $m$, то замена этих кривых на три другие кривые сети $(C,C',C'')$ не приводит к изменению места, рассмотренного в пред. параграфе. Это место имеет порядок $3(m-1)^{2}$ и может быть названо штейнерианой сети (Steineriana della rete) (ср. § 88d).

98b. Пусть задана сеть кривых порядка $m$, каждая точка $p$ гессианы является полюсом бесконечного числа полярных прямых относительно кривых сети, которые пересекаются в одной и той же точке $o$ штейнерианы (§ 95). Таким образом, каждой точке гессианы отвечает точка штейнерианы и наоборот; следовательно, прямая, соединяющая две соответствующие точки огибает некоторую третью кривую класса $3(m-1)+3(m-1)^{2}=3m(m-1)$ (§ 83b). Любая прямая, проходящая через $o$, [в том числе и $op$], является полярной для точки $p$ относительно какой-нибудь кривой сети. Но если полярная прямая проходит через полюс, то здесь фундаментальная кривая касается полярной прямой. Следовательно, прямая $op$ касается в точке $p$ некоторой кривой сети. Все кривые сети, проходящие через точку $p$, касаются здесь друг друга (§ 92), поэтому общей касательной этих кривых является $op$.

Примечания

1. Mobius, Ук. соч. p. 266. — Steiner, Ук. соч. p. 5.
2. В оригинале указано, что прямая $T$ должна быть касательной возврата для одной из двух указанных кривых, однако это утверждение вычеркнуто в авторском экземпляре. — Перев.
3. Здесь перевод немного отклоняется от оригинала. — Перев.
4. Если точка $a$ лежит на пересечении соотв. кривых $K'$ и $K''$, то обе точки $a^{m-1}C\cap a^{m'-1}C'$ и $a^{m-1}C\cap a^{m''-1}C''$ лежат на прямой $L$. Если прямая $a^{m-1}C$ отлична от $L$, то обе эти точки совпадают, то есть поляры $a^{m-1}C,\,a^{m'-1}C'$ и $a^{m''-1}C''$ пересекаются в одной точке. Если же прямая $a^{m-1}C$ совпадает с $L$, то точка $a$ является базовой точкой пучка, образованного полярами $bC$, полюса которых пробегают прямую $L$. Поэтому эти точки, описывающие при вращении $L$ поляру $oC$, и необходимо удалить при образовании искомого места. — Перев.
5. Sylvester, Ук. соч. p. 546.
6. Уже доказано, что все двойные точки образуют кривую порядка $3(m-1)$, поэтому гессеана не является составной частью якобианы, а именно совпадает с ней. — Перев.
7. В § 92b была допущена досадная ошибка, описанная в примечании к этому параграфу, после исправления которой здесь приходится делать дополнительную оговорку. — Перев.