Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/16

Формулы Плюкера. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 16.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

99. Пусть задана произвольная кривая $C$, [ее можно охарактеризовать след. числами, расположенными ниже парам в силу принципа двойственности]:

$n$	порядок (ordine),	$m$	класс (classe),
$\delta$	число двойных точек (punti doppi),	$\tau$	число двойных касательных (tangenti doppie),
$\chi$	число точек возврата (punti stazionari o cuspidi),	$\iota$	число стационарных касательных (tangenti stazionarie), то есть точек перегиба (flessi)

Поскольку $m$ означает число касательных, которые можно провести из произвольной точки к заданной кривой, то, в силу теоремы § 74c) или теоремы § (87d), верно:

$m=n(n-1)-2\delta -3\chi ,$

(1.)

эта формула позволяет найти класс кривой, когда известны порядок кривой, число двойных точек и число точек возврата.

Из принципа дуальности следует, что равенство той же формы должно быть справедливо для порядка кривой, когда известны ее класс, число двойных касательных и число стационарных касательных (§ 82), т. е.

$n=m(m-1)-2\tau -3\iota$.

(2.)

100. Поскольку каждая точка кривой $C$, для которой полярная коника оставлена из двух прямых, является или точкой перегиба или кратной точкой (§ 80), гессиана, представляющая собой геометрическое место точек, полярные коники для которых распадаются на систему прямых (§ 90a), пересекает заданную кривую именно в ее точках перегиба и кратных точках. Коль скоро гессиана имеет порядок $3(n-2)$, то, если заданная кривая не имеет кратных точек, то число точек ее перегиба равно $3n(n-2)$.^[1]

Предположим теперь, что кривая $C$ имеет двойную точку $d$; в этом случае все первые поляры проходят через $d$. Тогда гессиана сети, образованной первыми полярами, которая также является гесианой $C$ (§ 90a; 92), проходит два раза через $d$ и здесь имеет две касательные, общие с касательными к $dC$ (§96d), то есть имеет касательные, общие с заданной кривой (§ 72). Поэтому точка $d$ эквивалентна шести пересечениям гессианы с $C$ (§ 32), и каждая двойная заставляет кривую терять шесть точек перегиба.

Вообразим теперь, что кривая $C$ имеет точку возврата $d$, и пусть $T$ — касательная возврата. В этом случае первые поляры относительно $C$ проходят через $d$ и здесь касаются прямой $T$ (§ 74c) [и, кроме того, поляра $dC$ имеет точку возврата с прямой $T$ в качестве касательной возврата (§ 72)] ^[2]. Поэтому гессиана имеет три дуги, проходящие через $d$, две из которых имеют касательную $T$ (§ 97d). Поэтому точка $d$ эквивалентна шести пересечений гессианы с $C$, то есть каждая точка возврата заставляет кривую терять восемь точек перегиба. .^[3]

Таким образом, если кривая $C$ порядка $n$ имеет $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, то число точек перегиба, то есть стационарных касательных, дается формулой :

$\iota =3n(n-2)-6\delta -8\chi$.

(3.)

В силу принципа двойственности, если кривая класса $m$ имеет $\tau$ двойных касательных $\iota$ стационарных касательных, то она имеет

$\chi =3m(m-2)-6\tau -8\iota$

(4.)

точек возврата.

Из четырех найденных соотношений лишь три независимы; в самом деле, умножая (1) на 3 и вычитая отсюда (3), получим

$\chi -\iota =3(n-m)$,

(5.)

это же уравнение можно получить тем же путем из (2) и (4).

Поэтому среди шести чисел $n,\,m,\,\delta ,\,\chi ,\,\tau ,\,\iota$ имеется только три независимых, то есть по заданным трем другие три можно найти. Напр., если заданы $n,\,\delta ,\,\chi$, то значение $\tau$ получается путем исключения $m$ и $\iota$ из (1), (2) и (3):

$\tau ={\frac {1}{2}}n(n-2)(n^{2}-9)-(2\delta +3\chi )(n^{2}-n-6)+2\delta (\delta -1)+{\frac {9}{2}}\chi (\chi -1)+6\delta \chi$.

(6.)

Очень удобная формула получается, если вычесть (2) из (1) и затем исключить $\chi -\iota$, используя соотношение (5):

$2(\delta -\tau )=(n-m)(n+m-9)$.

(7.)

Эти важные соотношения между порядком, классом и плоской кривой были открыты Г. Плюкером.^[4]

101. Потребовав, чтобы кривая имеет двойную точку, не задав саму эту точку, наложим на кривую одно условие. В самом деле, для этого нужно, чтобы три первые поляры (не принадлежащие одному пучку) имели общую точку. Однако, потребовав, чтобы кривая имела точку возврата, не задав саму эту точку, то есть чтобы три первые поляры (не принадлежащие одному пучку) касались в некоторой точке, наложим на кривую два условия. Отсюда следует, что кривая порядка $n$, которая должна иметь $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, вполне определяется (§ 34) заданием

${\frac {n(n+3)}{2}}-\delta -2\chi$

условий. И, в силу принципа двойственности,

${\tfrac {m(m+3)}{2}}-\tau -2\iota$

условий вполне определяют кривую класса $m$, которая должна иметь $\tau$ двойных касательных и $\iota$ стационарных касательных.

Таким образом, если числа $n,\,m,\,\delta ,\,\chi ,\,\tau ,\,\iota$ приндлежат одной и той же кривой, то должно быть:

${\frac {n(n+3)}{2}}-\delta -2\chi ={\frac {m(m+3)}{2}}-\tau -2\iota$,

(8.)

эту формулу можно вывести и прямо из (1), (2) …^[5]. Однако, то обстоятельство, что она может быть установлена a priori, позволяет вывести из любых двух формул 1), 2), … все остальные.^[6]

102. В дальнейшем мы будем изучать свойства кривой $C$ заданного порядка $n$, исходя из того предположения, что эта кривая выбрана произвольным образом среди кривых этого порядка, то есть, если не оговорено противоположное, эта кривая имеет класс $n(n-1)$ и, следовательно, нет никаких двойных точек, но зато имеются $3n(n-2)$ точек перегиба и ${\tfrac {1}{2}}n(n-2)(n^{2}-9)$ двойных касательных.

Первые поляры относительно кривой $C$ образуют сеть порядка $n-1$, гессиана которой пересекает $C$ в $3n(n-2)$ точках ее перегиба. Штейнериана сети (§ 98a), которая является также и штейнерианой кривой $C$ (§ 88, d), имеет порядок $3(n-2)^{2}$.

Примечания

1. Plücker, System der analytischen Geometrie, Berlin 1835, p. 264. — Hesse, Ueber die Wendepuncte der Curven dritter Ordnung (Журнал Крелля, Bd. 28, Berlin, 1844, p. 104).
2. Это дополнение было сделано в авторском экз. в целях исправления ошибки, допущенной в § 92b. — Перев.
3. Cayley, Recherches sur l'élimination et sur la théorie des courbes (Журнал Крелля, Bd. 34, Berlin, 1847, p. 43).
4. Plücker, Theorie der algeb. Curven, p. 211.
5. В авт. экз. отмечено, что (8) является следствием (5), (7). Из нее же выводится еще след.:
   

   ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}-(\delta +\chi )={\tfrac {(m-1)(m-2)}{2}}-(\tau +\iota )$. 

   — Перев.
6. Salmon, Higher piane curves, p. 92.