Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/14

Теоремы о системах кривых. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 14.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

Теорема Жонкьера о точках пересечения соответствующих кривых двух проективных рядов

83. Два ряда кривых (§ 34) называются проективными, когда в силу какого-либо заданного закона каждой кривой первого ряда соответствует она единственная кривая второго ряда и наоборот.

Пусть ряд индекса $M$ и порядка $m$ проективен рядку индекса $N$ и порядка $n$; какого порядка тогда линия, образованная пересечениями соответствующих кривых? Или же, сколько на произвольной секущей прямой имеется точек, через каждую из которых проходят две соответствующие кривые? Пусть $a$ — произвольная точка на секущей. Через нее проходит $M$ кривых первого ряда, а $M$ соответствующих им кривых второго ряда пересекают секущую в $Mn$ точках $a'$. Если же напротив предположить, что точка $a'$ взята произвольным образом на секущей, и рассмотреть $N$ кривых второго ряда, проходящих через нее, то $N$ соответствующих им кривых первого ряда пересекают секущую в $Nm$ точках $a$. Следовательно каждой точке $a$ отвечает $Mn$ точек $a'$ и каждой точке $a'$ отвечает $Nm$ точек $a$. Если точки $a$ и $a'$ соотнести с одним и тем же началом $o$ (зафиксированным произвольным образом на секущей), то отрезки $oa$ и $oa'$ связаны уравнением степени $Mn$ относительно $oa'$ и степени $Nm$ относительно $oa$. Поэтому когда $a'$ совпадает с $a$, получается уравнение степени $Mn+Nm$ относительно $oa$. Это означает, что секущая содержит $Mn+Nm$ точек искомой линии. Отсюда получается общая теорема:

Пусть задано два проективных ряда кривых, первый — индекса $M$ и порядка $m$, а второй — индекса $N$ и порядка $n$, тогда место общих точек двух соответствующих кривых является линией порядка $Mn+Nm$.^{[1] [2]}

83a. При $M=N=1$, эта теорема дает порядок кривой — места пересечения соответствующих кривых двух проективных пучков (§ 50). В случае же, когда $m=n=1$, имеем:

Если касательные к кривой класса $M$ соответствуют проективно (взаимно-однозначно) касательным к другой кривой класса $N$, то место общих точек двух гомологических (итал. omologhe) прямых является линией порядка $M+N$.

83b. Аналогично доказывается другая теорема, которую можно также вывести из этой, используя принцип двойственности:

Если каждой точке заданной кривой порядка $M$ соответствует, в силу какого-либо закона, одна единственная точка другой заданной кривой порядка $N$, и наоборот, то каждой точке второй кривой отвечает одна единственная точка первой, то прямая, соединяющая две гомологические точки, огибает кривую класса $M+N$.

Поляры относительно заданного ряда кривых

84. Пусть задан ряд индекса $N$ и порядка $n$; какой индекс тогда имеет ряд $r$-ых поляр для заданной точки $o$ относительно кривых рассматриваемого ряда? Сколько таких поляр проходят через произвольную точку, напр., через ту же заданную точку $o$? Поляры, проходящие через полюс $o$, — это те поляры, фундаментальные кривые которых сами пересекаются в точке $o$, а таковых кривых имеется ровно $N$. Итак:

$r$-ые поляры для заданной точки относительно кривых порядка $n$ ряда индекса $N$, сами образуют ряд индекса $N$ и порядка $n-r$. Этот новый ряд проективен первому.

84a. При $N=1$ имеем: $r$-ые поляры для заданной точки относительно пучка составляют новый пучок, проективный первому.^[3][4]

84b. При $r=n-1$ получается след. теорема:

Полярные прямые для заданной точки относительно кривых ряда индекса $N$ огибают линию класса $N$.

84c. И в частности, при $N=1$: полярные прямые для заданной точки $o$ относительно кривых пучка пересекаются в одной единственной точке $o'$ и составляют звезду, проективную заданному пучку.^[5]

85. Пусть задан ряд индекса $N$ и порядка $n$ и точка $o$, рассмотрим другой ряд, составленный из первых поляр для $o$ относительно заданного ряда кривых (§ 84). Точки, в которых кривые порядка $n$ пересекают соответствующие им первые поляры — это точки, в которых эти кривые касаются прямых, проведенных из $o$ (§ 70). Поскольку эти два ряда проективны, то, применив общую теорему Жонкьера (§ 83), получим:

Если из точки $o$ провести касательные ко всем кривым порядка $n$ ряда индекса $N$, то точки касания лежат на линии порядка $N(2n-1)$.

Поскольку точка $o$ лежит на $N$ кривых заданного ряда, кривая — место точек касания — проходит $N$ раз через точку $o$ и здесь касается каждой из этих $N$ кривых [§ 51]. Произвольная прямая, проведенная через $o$, пересекает эту кривую еще в $2N(n-1)$ других точках, поэтому:

Среди кривых порядка $n$ ряда индекса $N$ имеется $2N(n-1)$ таких, которые касаются прямой, заданной произвольным образом. ^[6]

При $N=1$ получается теорема § 49.

86. Пусть задан ряд индекса $N$ и порядка $n$, какой порядок имеет место точек, для которых заданная прямая является полярной относительно какой-либо кривой ряда? Найдем сколько точек на произвольной прямой, напр., на самой заданной прямой обладают указанным свойством. На самой полярной прямой лежат только те точки [места полюсов], в которых полярная прямая сама касается кривой заданного ряда. Поэтому, в силу предыдущей теоремы, верно:

Место полюсов заданной прямой относительно кривых порядка $n$ ряда индекса $N$ является линией порядка $2N(n-1)$.

Когда $N=1$, в силу теоремы § 84c, точка $a$ будет принадлежать этому месту, если полярные прямые для $a$ относительно кривых заданного пучка пересекаются в одной точке $b$ на заданной прямой. Но в таком случае первые поляры для $b$ проходят через $a$ (§ 69a); поэтому:

Пусть задан пучок порядка $n$. Первые поляры для одной и той же точки относительно кривых пучка составляют новый пучок. Когда полюс пробегает вдоль [заданной] прямой, базовые точки второго пучка пробегают линию порядка $2(n-1)$, являющуюся местом полюсов для заданной прямой относительно кривых рассматриваемого пучка.^[7]

Число кривых пучка, касающихся заданной кривой

87. [Пусть заданы кривая $C_{n}$ порядка $n$ и ряд кривых $C_{m}$ индекса $M$.] Каково место точек $a$, для каждой из которых можно отыскать такую кривую $C_{m}$ заданного ряда, что верно

$a^{n-1}C_{n}=a^{m-1}C_{m}$?

Для решения проблемы разыщем, сколько точек искомого места лежат на произвольной секущей. Пусть $a$ — произвольная точка секущей. Место полюсов прямой $a^{n-1}C_{n}$ относительно кривой $C_{m}$ является линией порядка $2M(m-1)$ (§ 86), которая пересекает секущую в $2M(m-1)$ точках $a'$. И наоборот: задамся произвольной точкой $a'$ на секущей, тогда полярные прямые ${a'}^{m-1}C_{m}$ огибают кривую класса $M$ (§ 84b) и имеют $M(n-1)$ общих касательных с кривой класса $n-1$, которую огибают полярые прямые для точек секущей относительной кривой $C_{n}$ (§ 81a). Эти $M(n-1)$ общих касательных являются полярами относительно $C_{n}$ для того же числа точек $a$ на секущей. Поэтому каждой точке $a$ отвечает $2M(m-1)$ точек $a'$ и каждой точке $a'$ отвечает $M(n-1)$ точек $a$; таким образом, имеется ровно $2M(m-1)+M(n-1)$ точек $a$, каждая из которых совпадает с одной из соответствующих точек $a'$ (§ 83). Итого:

Место полюсов прямых полярных как относительно заданной кривой порядка $n$, так и какой-либо кривой ряда индекса $M$ и порядка $m$ является линией порядка $M(n+2m-3)$.

87a. Если заданная кривая $C_{n}$ имеет двойную точку $d$ (обычный узел или точку возврата), полярная прямая $d^{n-1}C_{n}$ неопределена (§ 72), поэтому в качестве таковой можно взять касательную к любой из $M$ кривых $C_{m}$, проходящих через $d$. Следовательно, кривая порядка $M(n+2m-3)$, которую далее будем обозначать как $K$, проходит $M$ раз через каждую двойную точку кривой $C_{n}$. ^[8]

87b. Пусть теперь $d$ — точка возврата кривой $C_{n}$, применим к касательной возврата $T$ предложение, сделанное выше для произвольной секущей. Следует заметить, что в этом случае оболочка полярных прямых для точек $T$ относительно кривой $C_{n}$ имеет класс $n-3$ (§ 81c), и значит, каждой точке $a'$ соответствует только $M(n-3)$ точек $a$. Поэтому прямая $T$, помимо точки $d$, пересекает кривую $K$ еще в $M(n+2m-5)$ точках, то есть точка $d$ эквивалентна $2M$ пересечениям кривой $K$ с прямой $T$. Отсюда следует, что в точке $d$ собрано $3M$ точек, общих линиям $K$ и $C_{n}$ (§ 32).

87c. Отсюда получается следующее: если заданная кривая $C_{n}$ имеет $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, то она пересекается с линией $K$ еще в $M(n(n+2m-3)-2\delta -3\chi )$ других точках. ^[9] Но эти последние, в силу определения линии $K$, являются точками, в которых кривая $C_{n}$ касается кривых заданного ряда, то есть:

В ряде индекса $M$ и порядка $m$ имеется

$M\left(n(n+2m-3)-2\delta -3\chi \right)$

кривых, касающихся заданной кривой порядка $n$, наделенной $\delta$ двойными точками и $\chi$ точками возврата.^[10]

87d. При $M=m=1$ имеем:

Число касательных прямых, которые можно провести из заданной точки к кривой порядка $n$, имеющей $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата равно $n(n-1)-2\delta -3\chi$.

Этот результат уже был получен выше в § 74c.

Число двойных точек кривых заданного пучка и штейнериана

88. Сколько в пучке порядка $m$ кривых имеет двойную точку? Зададимся произвольным образом тремя точками $o,\,o',\,o''$ (не лежащими на одной прямой), их первые поляры относительно кривых заданного пучка сами составляют три проективных пучка порядка $m-1$ (§84a), в которых соответствующими считаются поляры для $o,\,o',\,o''$ относительно одной и той же кривой пучка. Если одна из заданных кривых имеет двойную точку, то в ней пересекаются три соответствующие ей первые поляры для $o$, $o'$ и $o''$ (§ 73). Поэтому двойные точки кривых заданного пучка — это такие точки плоскости, в которых пересекаются три проективных пучка первых поляр.

Далее, пересечения соответствующих друг другу линий первого и второго пучка порождают прямую порядка $2(m-1)$ (§ 50); а пересечения кривых первого и третьего пучка — другую кривую того же порядка. Обе эти кривые проходят через $(m-1)^{2}$ базовых точек первого пучка поляр; следовательно, они пересекаются еще в $3(m-1)^{2}$ других точках, которые, очевидно, и есть искомые. Итого:

Кривые пучка порядка $m$ имеют $3(m-1)^{2}$ двойных точек.

88a. Пусть кривые заданного пучка имеют общую касательную в точке $o$, тогда одна из них, скажем $C_{m}$, имеет здесь двойную точку (§ 47). ^[11] Возьмем точку $o'$ на общей касательной кривых заданного пучка, а точку $o''$ оставим произвольной. Все первые поляры для $o$ относительно кривых рассматриваемого пучка проходят через точку $o$ и здесь касаются прямой $oo'$ (§ 71); а одна из них, именно $oC_{m}$, имеет в $o$ двойную точку (§ 72). Все поляры для $o'$ тоже проходят через точку $o$ (§ 70), а среди поляр для $o''$ лишь одна единственная, именно $o''C_{m}$, проходит через точку $o$ (§ 73).

[Пересечения] поляр для $o$ с полярами для $o'$ порождают кривую порядка $2(m-1)$, для которой $o$ — двойная точка, а прямая $oo'$ — одна из касательных, проведенных к этой кривой в точке $o$ (§ 52a), а [пересечения] поляр для $o$ с полярами для $o''$ порождают другую кривую того же порядка, тоже проходящую через точку $o$ два раза (§ 51b). Поэтому точка $o$, двойная для обеих кривых порядка $2(m-1)$, эквивалентна четырем пересечениям. В точке $o$ поляры для этой точки касаются друг друга, поэтому для формирования этого пучка требуется всего $(m-1)^{2}-2$ других базовых точек. Кроме этих точек и точки $o$ две получившиеся кривые порядка $2(m-1)$ имеют еще $4(m-1)^{2}-4-\left((m-1)^{2}-2\right)=3(m-1)^{2}-2$ общих точек.

Поэтому точка $o$, в которой кривые заданного пучка касаются друг друга, считается два раза среди двойных точек этого пучка.

88b. Предположим теперь, что в заданном пучке нашлась кривая $C_{m}$, имеющая точку возврата $o$. Тогда возьмем точку $o'$ на касательной возврата, а точку $o''$ оставим произвольной. Первые поляры для $o$ относительно кривых заданного пучка составляют пучок, в котором найдется кривая, именно $oC_{m}$, имеющая точку возврата в $o$ с касательной $oo'$ (§ 72). Соответствующая ей кривая в пучке поляр для $o'$ проходит два раза через точку $o$ (§ 78a), а в пучке поляр для $o''$ — проходит через $o$ и здесь касается $oo'$ (§ 74c). Поэтому [пересечения] первого и второго пучков порождают кривую порядка $2(m-1)$, для которой $o$ — двойная точка (§ 51f), а [пересечения] первого пучка с третьим порождает кривую того же порядка, проходящую один раз через $o$ и здесь касающуюся прямой $oo'$ (§ 51g). Эти две кривые имеют, следовательно, две общие точки, совпадающие в $o$; поэтому, исключив $(m-1)^{2}$ базовых точек первого пучка, получим всего $3(m-1)^{2}-2$ пересечений.

Итого: если в пучке имеется кривая с точкой возврата, то эта точка считается за две при подсчете двойных точек пучка.

88c. Наконец, предположим, что все кривые рассматриваемого пучка проходят через точку $o$, которая является точкой возврата для одной из них, скажем для $C_{m}$. ^[12] Возьмем точку $o'$ на касательной возврата для $C_{m}$, а точку $o''$ на прямой, касающейся в точке $o$ всех остальных кривых пучка. Поляры для $o$ проходят через эту точку и касаются здесь прямой $oo''$ а одна из них, именно $oC_{m}$, имеет точку возврата в $o$ с касательной $oo'$ (§ 71, 72). Поляры для $o''$ тоже проходят через $o$ (§ 70), а одна единственная, именно $o''C_{m}$, касается здесь прямой $oo'$ (74, c). Среди поляр для $o'$ только одна, именно $o'C_{m}$, проходит через точку $o$ и к тому же два раза (§ 78a). Отсюда следует, что поляры для $o$ и $o''$ порождают кривую порядка $2(m-1)$, для которой $o$ является двойной точкой с касательными $oo',\,oo''$ (§ 52a), а поляры для $o$ и $o'$ порождают другую кривую того же порядка, имеющую точку возврата в $o$ с касательной $oo'$ (§ 51c). Поэтому две полученные таким путем кривые имеют в $o$ общими двойную точку и одну касательную ($oo'$), то есть имеют в $o$ пересечение кратности пять (§ 32). Помимо точки $o$, в которой поляры первого пучка касаются, и остальных базовых точек этого пучка, которых имеется $(m-1)^{2}-2$, остается еще

$4(m-1)^{2}-5-((m-1)^{2}-2)=3(m-1)^{2}-3$

пересечений двух кривых порядка $2(m-1)$.

Таким образом, точка $o$, общая всем кривым рассматриваемого пучка, и являющаяся точкой возврата для одной из этих кривых, считается за три среди двойных точек этого пучка.

88d. Применив общую теорему, доказанную в пред. параграфах, к пучку первых поляр для точек заданной прямой (§ 77) относительно кривой $C_{n}$ порядка $n$, получим след.:

На произвольной прямой имеется $3(n-2)^{2}$ точек, первые поляры для которых относительно заданной линии порядка $n$ имеют двойные точки.

Используя теорему § 78, доказанное можно выразить еще и так:

Место полюсов первых поляр, наделенных двойными точками, относительно заданной линии порядка $n$, то есть место точек пересечения (punti d’incrociamento) двух прямых, составляющих конические поляры, является кривой порядка $3(n-2)^{2}$.

Это место называется Штейнерианой (curva Steineriana) фундаментальной кривой $C_{n}$. ^{[13] [14]}

88e. Если фундаментальная кривая имеет точку возврата $d$, каждая точка касательной возврата является полюсом первой поляры имеющей двойную точке в $d$ (§ 78a). Поэтому эта касательная является частью штейнерианы.

89. Все полярные прямые для фиксированной точки относительно кривых некоторого пучка проходят через другую фиксированную точку (§ 84c). Если мы рассмотрим в пучке кривую, имеющую двойную точку $d$, то полярная прямая для $d$ относительно этой кривой окажется неопределенной (§ 72); поэтому полярные прямые для $d$ относительно всех других кривых пучка должны совпадать с одной единственной прямой. Иными словами:

Двойные точки кривых пучка обладают тем свойством, что каждая из них имеет такую же полярную прямую относительно всех кривых пучка. ^[15]

Отсюда получается след. (§ 86):

Место полюсов прямой относительно кривых пучка порядка $m$ является линией порядка $2(m-1)$, проходящей через $3(m-1)^{2}$ двойных точек пучка.

[С другой стороны,] место точек, имеющих одну и ту же полярную прямую относительно заданной кривой $C_{n}$ и кривых $C_{m}$ некоторого пучка, является кривой порядка $n+2m-3$ (§ 87), проходящей через $3(m-1)^{2}$ двойных точек пучка. Поэтому все точки, в которых $C_{n}$ касается какой либо кривой $C_{m}$, лежат на этой кривой порядка $n+2m-3$. В частности:

Заданная прямая касается $2(m-1)$ кривых заданного пучка порядка $m$. При этом $2(m-1)$ точек касания вмести с $3(m-1)^{2}$ двойными точками пучка лежат на кривой порядка $2(m-1)$, представляющей собой место полюсов заданной прямой относительно кривых пучка.

Гессиана

90. Пусть задано два пучка кривых порядков $m$ и $m_{1}$, выясним, какой порядок имеет место точек, в которых некоторая кривая первого пучка касается какой-любо кривой второго пучка.

Забегая вперед, заметим, что, очевидно, искомое место проходит через $m^{2}+m_{1}^{2}$ базовых точек обоих пучков; поскольку, если $a$ — базовая точка первого пучка, то через нее проходит кривая второго пучка, касательная к которой, проведенная в точке $a$, является и касательной к некоторой кривой первого пучка, то есть эта кривая первого пучка касается в точке $a$ указанной кривой второго пучка (§ 46).

Вернемся к поставленному вопросу. Произвольная кривая первого пучка касается кривых второго пучка в $m(m+2m_{1}-3)$ точках (§ 87c); стало быть, кривая первого пучка, помимо $m^{2}$ базовых точек, содержит еще $m(m+2m_{1}-3)$ точек искомого места, то есть всего $m(2m+2m_{1}-3)$ точек. Поэтому искомое место имеем порядок $2(m+m_{1})-3$; оно проходит не только через базовые точки обоих пучков, но еще через $3(m-1)^{2}+3(m_{1}-1)^{2}$ двойных точек (§ 88), поскольку каждая из них эквивалентна двум пересечениям кривой первого пучка с кривой второго. Итого:

Даны два пучка, первый порядка $m$, а второй — порядка $m_{1}$, точки касания их кривых лежат на кривой порядка $2(m+m_{1})-3$, проходящей через базовые точки и двойные точки обоих пучка.

90a. Предположим, что кривые двух пучков — это первые поляры относительно заданной фундаментальной кривой $C_{n}$ порядка $n$. В этом случае $m=m_{1}=n-1$. Базовые точки двух пучков — это полюса для некоторых двух прямых (§ 77), поэтому все эти точки лежат на первой поляре, полюсом которой служит точка пересечения этих двух прямых (§ 69a): иными словами, два пучка в этом случае имеют общую кривую. Эта кривая является, очевидно, частью рассмотренного выше места, поэтому после отделения этой части останется кривая порядка $4(n-1)-3-(n-1)=3(n-2)$, проходящая через двойные точки заданных пучков — место точек касания кривых первого пучка с кривыми второго пучка. Эта кривая порядка $3(n-2)$ не изменится, если взять другие пучки первых поляр вместо заданных; в самом деле, поскольку все первые поляры, проходящие через одну заданную точку, имеют общими еще $(n-1)^{2}-1$ точек и образуют пучок (§ 77a), то, если две первые поляры касаются в этой точке, то и все другие поляры имеют здесь ту же касательную.

Отсюда получается, что место точек касания первых поляр содержит двойные точки всех пучков первых поляр, и следовательно, в силу теоремы § 78 является также местом полюсов таких полярных коник, которые распадаются на две прямые. Итого:

Место точек, в которых касаются две первые поляры (а следовательно, и бесконечно много первых поляр), относительно заданной кривой порядка $n$, является линией порядка $3(n-2)$, которая может также быть определена как место двойных точек первых поляр или как место полюсов вырожденных полярных коник.

Эту линию называют гессианой (Hessiana) заданной фундаментальной кривой, поскольку она представляет собой геометрическую интерпретацию того коварианта, который Сильвестр назвал гессианом (в честь Г. Гессе), то есть определителя, образованного вторыми частными производными заданной однородной формы относительно трех переменных.^[16]

90b. Точки, в которых пересекаются первые поляры для точек $o$ и $o'$, — это полюса прямой $oo'$ (§ 77); поэтому, если две первые поляры касаются, то прямая $oo'$ содержит два полюса, совпадающих в точке касания. Если к тому же условится называть сопряженными (congiunti) $(n-1)^{2}$ полюсов для одной и той же прямой, можно сказать след.:

Гессиан — это место полюса, совпадающего с одном из сопряженных к нему полюсов.

90c. Индикатриссами (indicatrici) для точки будем называть две касательные, которые можно провести через эту точку к ее полярной конике, тогда сказанное можно сформулировать так:

Фундаментальная кривая и гессиан составляют вмести место точек, индикатриссы для которых сливаются в одну единственную прямую.

Общие касательные первых поляр

91. Пусть задано три пучка кривых, порядки которых равны соответственно $m_{1}$, $m_{2}$ и $m_{3}$. В скольких точках касаются по три кривые?

Точки, в которых кривые первого пучка касаются кривых второго лежат на линии порядка $2(m_{1}+m_{2})-3$, а точки, в которых эти кривые касаются кривых третьего пучка, — на линии порядка $2(m_{1}+m_{3})-3$ (§ 90). Искомые точки лежат на пересечении этих линий, наряду с базовыми и двойными точками первого пучка. Двойных и базовых точек у первого пучка всего имеется $m_{1}^{2}+3(m_{1}-1)^{2}$, а значит, искомых точек имеется

$(2(m_{1}+m_{2})-3)(2(m_{1}+m_{3})-3)-(m_{1}^{2}+3(m-1-1)^{2})=$$4(m_{2}m_{3}+m_{3}m_{1}+m_{1}m_{2})-6(m_{1}+m_{2}+m_{3}-1)$.

91a. Полагая $m_{3}=1$, имеем:

Общие касательные в точках, где касаются кривые двух пучков порядков $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно, огибают линию класса $4m_{1}m_{2}-2(m_{1}+m_{2})$.

91b.^[17] Если два пучка имеют один и тот же порядок $m$ и если они содержат общую кривую, то эта кривая является частью оболочки, введенной в прошлом параграфе. За вычетом общей кривой, которая, допустим, не имеет кратных точек и, следовательно, класс которой равен $m(m-1)$ (§ 70), останется кривая класса $4m^{2}-4m-m(m-1)=3m(m-1)$; то есть:

Общие касательные, проведенные в точках, в которых касаются кривые двух пучков порядков $m$, имеющие одну общую кривую, огибают линию класса $3m(m-1)$.

91c. Сделанные предположения выполняются в случае, когда два пучка образованы первыми полярами относительно заданной кривой порядка, причем тогда $m=n-1$ (§ 90a). Отсюда:

Общие касательные, проведенные в точках касания первых поляр относительно заданной кривой порядка $n$, огибают линию класса $3(n-1)(n-2)$.^[18]

Примечания

1. Jonquières, Théorèmes généraux etc. p. 117.
2. Если выбрать на секущей какую-нибудь точку $o$, то между $x=oa$ и $y=oa'$ получится уравнение, которое, вообще говоря, может и не содержать член $Kx^{Nm}.y^{Mn}$. Это, однако, можно интерпретировать обычным для развиваемой геометрической теории способом: секущая пересекает искомое место в бесконечно удаленной точке (при этом, если этот челн отсутствует для любой секущей, то искомое место содержит бесконечно удаленную прямую).
   Тем не менее, в немецком переводе (Einleitung, стр. 117) Курце предпринимает неожиданные предосторожности и утверждает лишь, что это место «в общем не менее (im Allgemeinen höchstens) чем $(Mn+Nm)$-го порядка». В том же смысле отредактированы следствия этого утверждения в § 85, 86, 87. В § 83 со ссылкой на письмо Жонкьера автору в Giornale di Matematiche ad uso etc., Napoli 1863, t.1., p. 128, вставлено разъяснение: «Мы говорим „Im Allgemeinen höchstens“, если различные обстоятельства могут понизить порядок результирующей кривой. Напр., когда обе ряда содержат особую пару соответствующих друг другу элементов. Величина $Mn+Nm$ может быть, таким образом, рассмотрена скорее как верхняя граница, нежели как абсолютное число (absolute Zahl). В дальнейшем в § 111 bis мы рассмотрим приметный с этой точки зрения пример из теории конических сечений.»
   Сегре, в своем комментарии к этому месту, отметил, что письмо Жонкьера было опубликовано по представлению Кремоны и с его же комментарием, в котором он высказывает надежду на возможность защитить теоремы своего «Введения», касающиеся рядов кривых произвольных индексов. Таким образом, изменения, внесенные в немецкий перевод, не соответствовали мнению автора. Возникшие затруднения были разрешены в частной переписке, частично опубликованной в брошюре «Documents relatifs à une revendication de priorité et Réponse à quelques critiques nouvelles de M. Chasles, par M. E. De Jonquières, Paris le 4 Février 1867». О примере, приведенном Курце в § 111 bis, см. прим. к § 85. — Перев.
3. Bobillier, Recherches sur les lois qui régissent les lignes etc. (Annales de Gergonne, t. 18, Nismes 1827-28, p. 256).
4. В авторском экз. отмечено, что эту теоремы можно вывести прямо из теорем § 23 и 49. — Перев.
5. В авторском экз. отмечено, что когда $o$ движется по прямой линии, точка $o'$ описывает кривую порядка $2(n-1)$. — Перев.
6. В этой формулировке совершенно не учтено, что на заданной прямой могут лежать двойные точки кривых ряда. Пример такого ряда был рассмотрен Курце в § 111 bis. В пучке пучок коник, то есть среди кривых, проходящих через четыре точке, имеется ровно две, касающиеся заданной прямой. Поэтому, в силу принципа двойственности, среди коник, касающихся четырех прямых, имеет две, проходящие через заданную точку. Значит, в ряде коник, касающихся трех заданных прямых и проходящих через одну заданную точку, имеется ровно две, касающихся заданной прямой. Поэтому в силу теоремы § 85 вроде бы индекс это ряда должен быть равен 1, что, однако, не верно. — Перев.
7. Bobillier, Ук. соч.
8. Это доказательство названо в примечаниях Сегре (1914 г.) несоверешенным и заменено другим. — Перев.
9. Из $a\in K\cap C_{n}$ следует, что прямая $a^{n-1}C_{n}$ является касательной к $C_{n}$ и совпадает с полярой $a^{m-1}C_{m}$ для одной из кривых ряда. Из того, что точка $a$ сама лежит на касательной $a^{n-1}C_{n}$, то есть из $a\in a^{m-1}C_{m}$ следует, что $^{m-1}C_{m}$ является касательной и к $C_{m}$. — Перев.
10. Bischoff, Einige Sätze über die Tangenten algebraischer Curven (Журнал Крелля-Борхарда, Bd. 56, Berlin, 1859, p. 172). — Jonquières, Théorèmes généraux etc. p. 120.
11. Ни одна из двух касательных в двойной точке может не совпадать с общей касательной. Случай, когда двойная точка оказывается точкой возврата рассмотрен ниже в § 88c. — Перев.
12. Очевидно, предполагается еще, что кривые имеют общую касательную в $o$ — Перев.
13. В честь великого немецкого геометра, который первым, насколько я знаю, начал ее изучение.  — Авт.
14. В авторском экз. указано еще след. Если первая поляра для $o$ имеет двойную имеет двойную точке $p$, то:
    1. все первые поляры, проходящие через $p$, имеют здесь общую касательную. Пусть $o$ — точка, в которой эта поляра пересекает полярную прямую $p^{n-1}C_{n}$, тогда поляры $oC_{n}$ и $o^{2}C_{n}$ проходят через $p$ и имеют общую касательную $po$.
    2. Первая поляра для другой произвольной точки относительно поляры $oC_{n}$ проходит через $p$; поэтому первые поляры для $o$ относительно первых поляр для всех точек плоскости проходят через $p$; в следствии этого, полярые прямые для $p$ относительно всех точек плоскости проходят через $o$. — Перев.
15. Это верно. Но можно доказать и то, что для любой прямой найдется полюс, бесконечно близкий к точке $d$. В самом деле, возьмем на прямой две точки $a,\,b$ и рассмотрим место $K$, порожденное пересечениями соответствующих кривых двух проективных пучков поляр для $a$ и $b$. Двойная точка $d$ исходного пучка принадлежит обеим соответствующим полярам, а следовательно, и кривой $K$. Все прочие точки $K$ являются полюсами для заданной прямой относительно какой либо неособой кривой исходного пучка. Очевидно, что точка кривой $K$, бесконечно близкая к $d$ и является искомой. — Перев.
16. Sylvester, On a theory of the syzygetic relations of two rational integral functions (Philosophical Transactions, vol. 143, part 3, London 1853, p. 545).
17. В переводе § 91b-91c текст приведен в расширенной версии из авторского экземпляра. — Перев.
18. Steiner, Ук. соч. p. 4-6.