Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/4

Теория инволюций. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 4.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

Инволюция

21. Пусть дана некоторая прямая и пусть $o$ — фиксированная точка на этой прямой, а $a$ — подвижная точка; кроме того, пусть $k_{1},\,k_{2},\dots ,h_{1},\,h_{2},\dots$ постоянные величины, а $\omega$ — переменная величина. Пусть еще имеется уравнение вида:

$k_{n}{\overline {oa}}^{n}+k_{n-1}{\overline {oa}}^{n-1}+\dots +k_{0}+\omega \left\{h_{n}{\overline {oa}}^{n}+h_{n-1}{\overline {oa}}^{n-1}+\dots +h_{0}\right\}=0$

(1.)

Каждому значению $\omega$ отвечает $n$ значений $oa$, то есть группа $n$ точек $a$. Напротив, если дана одна из этих точек, то, подставив в (1) данное значение $oa$, найдем соответствующее значение $\omega$, и, следовательно, при помощи того же уравнения найдем и остальные $n-1$ значений $oa$. Таким образом, каждому значению $\omega$ уравнение (1) ставит в соответствие группу $n$ точек, связанных друг с другом так, что одна из них определяет все остальные. Система бесконечного числа групп $n$ точек, соответствующих бесконечному числу значений $\omega$, называют инволюцией (итал. involuzione) степени $n$.^[1][2] Например, пункутал может рассматриваться как инволюция первой степени (§ 7).

Инволюция полностью определена заданием двух групп. В самом деле, если уравнения:

$k_{n}{\overline {oa}}^{n}+k_{n-1}{\overline {oa}}^{n-1}+\dots =0,\quad h_{n}{\overline {oa}}^{n}+h_{n-1}{\overline {oa}}^{n-1}+\dots =0$

описывают две данные группы, то любая другая группа инволюции описывается уравнением:

$k_{n}{\overline {oa}}^{n}+k_{n-1}{\overline {oa}}^{n-1}+\dots +\omega \left(h_{n}{\overline {oa}}^{n}+h_{n-1}{\overline {oa}}^{n-1}+\dots \right)=0,$

где $\omega$ — произвольная величина.

22. Если две точки одной и той же группы совпадают в одной и той же точке, то эту точку называют двойной точкой инволюции. Сколько двойных точек имеет инволюция, описываемая уравнением (1)? Условие того, что это уравнение имеет два равных корня, выражается приравниванием нулю его дискриминанта. Этот дискриминант является функцией степени $2(n-1)$ коэффициентов уравнения; следовательно, приравняв его нулю, получим уравнение степени $2(n-1)$ относительно $\omega$. Это означает, что существует $2(n-1)$ групп, которые содержат две совпадающие точки, иными словами:

Инволюция степени $n$ имеет $2(n-1)$ двойных точек.

23. Пусть $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ — $n$ точек, составляющих данную группу. Гармонический центр $m$ первой степени этих точек относительно полюса $o$, взятый на данной прямой произвольным образом, определяется уравнением:

${\frac {n}{om}}=\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}$,

откуда, в силу (1), его можно выразить так:

$om=-n{\frac {k_{0}+\omega h_{0}}{k_{1}+\omega h_{1}}}.$

Следовательно, отрезок, заключенный между двумя точками $m,\,m'$, гармоническими центрами двух различных групп, можно выразить так:

$mm'=om'-om={\frac {n(h_{0}k_{1}-h_{1}k_{0})(\omega -\omega ')}{(k_{1}+\omega h_{1})(k_{1}+\omega 'h_{1})}}.$

Пусть теперь $m_{1},\,m_{2},\,m_{3},\,m_{4}$ — гармонические центры (первой степени относительно полюса $o$) четырех групп, соответствующих четырем значениям $\omega _{1},\,\omega _{2},\,\omega _{3},\,\omega _{4}$ переменной величины $\omega$; тога верно:

$(m_{1}m_{2}m_{3}m_{4})={\frac {\omega _{1}-\omega _{3}}{\omega _{2}-\omega _{3}}}:{\frac {\omega _{1}-\omega _{4}}{\omega _{2}-\omega _{4}}}.$

Этот результат не изменится, если вместо $o$ будет использована любая другая точка, то есть ангармоническое отношение четырех центров не зависит от полюса $o$. Отсюда следует, что ряд гармонических центров (первой степени) всех групп относительно полюса $o$ и ряд гармонических центров (той же степени) тех же групп относительно другого полюса $o'$ являются проективными пунктуалами.

Под ангармоническим отношением четырех групп некоторой инволюции будем далее понимать ангармоническое отношение их гармонических центров первой степени относительно произвольного полюса.

24. Две данные инволюции на одной и той же прямой или на двух различных прямых называются проективными, когда гармонические центры первой степени групп одной инволюции относительно произвольного полюса и гармонические центры первой степени групп другой инволюции относительно другого произвольного полюса образуют два проективных пунктуала. Это определение в союзе с определением ангармонического отношения четырех групп инволюции дает:

Пусть даны две проективные инволюции, ангармоническое отношение четырех групп первой инволюции равно ангармоническому отношению четырех соответствующих групп второй инволюции.

Иными словами, теорема, сформулированная в конце § 8, распространяется также и на инволюции, лишь бы им была придана геометрическая форма и их элементы были группами точек.

24a. Выясним, как алгебраически выражается проективность двух инволюций.

Пусть первая из них описывается уравнением (1), а вторая — уравнением

$K_{m}{\overline {OA}}^{m}+\dots +K_{0}+\theta \left\{H_{m}{\overline {OA}}^{m}+\dots +H_{0}\right\},$

(3.)

где $A$ — произвольная точка прямой, принадлежащая второй инволюции, $O$ — начало отрезков на этой прямой, а $H_{m},\,K_{m},\dots$ — постоянные коэффициенты.

Не ограничивая общности рассмотрения, будем считать, что группы $\omega =0,\,\omega =\infty ,\,\omega =1$ первой инволюции соответствуют во второй инволюции группам $\theta =0,\,\theta =\infty ,\,\theta =1$. Тогда, для того, чтобы уравнения (1) и (3) представляли две соответствующие друг другу группы, необходимо и достаточно, чтобы ангармоническое отношение четырех групп $\omega =(0,\infty ,1,\omega )$ первой инволюции было равно ангармоническому отношению четырех групп $\theta =(0,\infty ,1,\theta )$ второй, то есть должно быть $\omega =\theta$. Следовательно, вторая инволюция, в силу проективности с первой, может быть представлена так:

$K_{m}{\overline {OA}}^{m}+\dots +K_{0}+\omega \left\{H_{m}{\overline {OA}}^{m}+\dots +H_{0}\right\}=0.$

(4.)

Уравнения (1) и (4), при одном и том же значении $\omega$, дают две соответствующие друг другу группы проективных инволюций. Исключая $\omega$ из этих уравнений, получим соотношение, которое выражает связь или соответствие между точками $a$ и $A$.

24b. Если обе инволюции лежат на одной прямой, точки $a$ и $A$ можно соотносить с одним и тем же началом, то есть точку $O$ можно заменить на $o$. В этом случае, можно также разыскать, сколько раз точка $a$ совпадает с одной из соответствующих ей точек $A$. Исключая $\omega$ из (1) и (4) и подставляя $oa$ на место $OA$, получим:

$(k_{n}.{\overline {oa}}^{n}+\dots +k_{0})(H_{m}.{\overline {oa}}^{m}+\dots H_{0})-$ $(h_{n}.{\overline {oa}}^{n}+\dots +h_{0})(K_{m}.{\overline {oa}}^{m}+\dots K_{0})=0$,

(5.)

то есть уравнение $n+m$ степени относительно $oa$. Следовательно:

На прямой, на которой заданы две проективные инволюции, одна — степени $n$, а другая — $m$, имеется, в общем случае, $n+m$ точек, каждая из которых, будучи рассмотрена как точка, принадлежащая первой инволюции, совпадает с одной из соответствующих ей точек второй инволюции.

Эти точки будем называть общими точками (итал. punti comuni) двух инволюций.

24c. Если левая часть уравнения (1) делится на ${\overline {oa}}^{r}$, то оно описывает инволюцию степени $n$, группы которой имеют $r$ общих точек, совпадающих с точкой $o$; или же — инволюцию степени $n-r$, к каждой группе которой добавлена $r$ раз точка $o$. В этом случае очевидно, что также и левая часть уравнения (5) делится на ${\overline {oa}}^{r}$; то есть $n+m$ общими точками этих двух инволюций являются точка $o$ кратности $r$ и $m+n-r$ общих точек второй инволюции (степени $m$) и той инволюции степени $n-r$, которая получается из первой, после удаления из ее групп точки $o$. Если к тому же все группы второй инволюции содержат точку $o$ $s$ раз, то эта точка фигурирует $r+s$ раз среди общих точек двух инволюций.

24d. Если некоторая группа первой инволюции (напр., та, которая получается при $\omega =0$) содержит $r$ раз одну и ту же точку $o$, и если если соответствующая ей группа второй инволюции содержит $s$ раз ту же точку $o$, причем $s>r$, то очевидно, что левая часть уравнения (5) делится на ${\overline {oa}}^{r}$, то есть точка $o$ занимает место $r$ общих точек двух инволюций.

Квадратичная инволюция

25. Особого изучения заслуживают инволюции второй степени или квадратичные инволюции, уравнение которых имеет вид:

$k_{2}.{\overline {oa}}^{2}+k_{1}.oa+k_{0}+\omega (h_{2}.{\overline {oa}}^{2}+h_{1}.oa+h_{0})=0.$

(6.)

Здесь каждая группа состоит только из двух точек, которые называются сопряженными (итал. coniugati); а центральной точкой называется такая точка, сопряженная к которой бесконечно далека.

Если выбрать начало $o$ отрезков в центральной точке и, кроме того, принять группу, которой принадлежит эта точка, за соответствующую $\omega =\infty$, то тогда должно быть $h_{2}=h_{0}=0$. Поэтому, если $a,\,a'$ две произвольные сопряженные точки, то в силу уравнения (6) верно:

$oa.oa'={\frac {k_{0}}{k_{2}}}=$const.

Сравнивая это уравнение и уравнение, которое выражает проективность двух пунктуалов (§ 9):

$ia.j'a'=$ const.,

видим, что квадратичную инволюцию порождают два проективных пунктуала, которые наложены друг на друга таким образом, чтобы точкам $i,\,j'$ соответствовали бесконечно удаленные точки. Иными словами, два проективных и наложенных друг на друга пунктуала образуют квадратичную инволюцию, когда точка $a$, вне зависимости от того, рассматривается ли она как точка первого или второго пунктуала, соответствует одна и та же точка $a'$.^[3]

Из этого свойство можно заключить, что в квадратичной инволюции ангармоническое отношение четырех точек равно ангармоническому отношению сопряженным к ним точек.

25a. Пусть $e,\,f$ — две двойные точки инволюции (§ 22), заданные уравнением $oe^{2}=of^{2}=$ const.; имеем:

$(efaa')=(efa'a),$

то есть ангармоническое отношение $(efaa')$ равно обратному к нему числу, и именно $=-1$, поскольку ангармоническое отношение четырех различных точек не может быть равно $+1$. Следовательно: в квадратичной инволюции две двойные точки и две произвольные сопряженные образуют гармоническую систему. (§ 4)

Отсюда следует, что инволюция второй степени может быть рассмотрена как бесконечный ряд пар точек $a,\,a'$, делящих гармонически заданный отрезок $ef$.

25b. Две квадратичные инволюции, заданные на одной и той же прямой, имеют общую группу, то есть существуют две такие точки $a,\,a'$, что отрезок $aa'$ делится гармонически как двумя двойными точками $e,\,f$ первой инволюции, так и двумя двойными точками $g,\,h$ второй инволюции.^[4] В самом деле, возьмем произвольную точку $m$ на заданной прямой и пусть $m'$ и $m_{1}$ — сопряженные к $m$ точки в первой и второй инволюциях соответственно. При движении точки $m$ точки $m',\,m_{1}$ пробегают два проективных пунктуала, общие точки которых составляют, очевидно, общую группу двух заданных инволюций.^[5]

Очевидно также, что две инволюции произвольной степени, большей двух, заданные на одной и той же прямой не имеют в общем случае ни одной общей группы.

Эквиангармоническая система четырех точек

26. Теория квадратичных инволюций послужит нам в решении следующей задачи.

Пусть $a,\,b,\,c,\,d$ — четыре точки на прямой и пусть названные выше главными (§ 1) ангармонические отношения равны:

$(abcd)=\lambda ,\,(acdb)={\frac {1}{1-\lambda }},\,(adbc)={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.$

Если первые два отношения равны друг другу, то есть, если

$\lambda ={\frac {1}{1-\lambda }}$, или $\lambda ^{2}-\lambda +1=0,$

(7.)

то верно также и следующее:

$\lambda ={\frac {\lambda -1}{\lambda }},$

то есть все три фундаментальные ангармонические отношения равны между собой.

Пусть даны точки $a,\,b,\,c$ на прямой, мы разыщем такую точку $d$, которая бы удовлетворяла уравнению:

$(abcd)=(acdb),$ то есть $(abcd)=(cabd)$,

следующим образом. Возьмем произвольную точку $m$ на данной прямой и определим точку $m'$ так, чтобы

$(abcm)=(cabm').$

При своем одновременном движении, точки $m,\,m'$ описывают проективные пунктуалы, в которых точки $a,\,b,\,c,\,m$ отвечают, соответственно, точкам $c,\,a,\,b,\,m'$. Обозначив как $d,\,e$ общие точки этих пунктуалов, имеем:

$(abcd)=(cabd),\quad (abce)=(cabe),$

то есть точки $d,\,e$ и есть искомые.

Пусть теперь $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ — три такие точки на данной прямой, что три системы $\{b,c,a,\alpha \}$, $\{c,a,b,\beta \}$, $\{a,b,c,\gamma \}$ — гармонические.^[6] Две системы $\{a,b,c,\gamma \}$ и $\{a,c,b,\beta \}$ проективны и поскольку точка $b$, рассматриваемая как точка первой или второй системы, соответствует точке $c$, три пары $aa,\,bc,\,\beta \gamma$ лежат в одной инволюции, то есть $a$ есть двойная точка квадратичной инволюции, заданной парами $bc,\,\beta \gamma$.^[7] Другая двойная точка этой инволюции — $\alpha$, поскольку отрезок $bc$ делится гармонически точками $a,\,\alpha$ (см. § 25a). Следовательно, $a,\,\alpha$ делят гармонически не только $bc$, но и $\beta \gamma$. Поэтому:

$(bca\alpha )=(\beta \gamma a\alpha )=-1,$

то есть системы $\{b,c,a,\alpha \}$, $\{\beta ,\gamma ,\alpha ,a\}$ проективны, а отсюда по тем же причинам, что и выше, получается, что пары $a\alpha ,\,b\beta ,\,c\gamma$ лежат в инволюции.^[8]

Из точки $o$, взятой произвольным образом вне данной прямой, проведем лучи $o(a,\alpha ,b,\beta ,c,\gamma )$ и $o(d,e)$, и посечем их секущей, параллельной $oc$, пусть $a',\,\alpha ',\,b',\,\beta ',\,\infty ,\,\gamma ',\,d',\,e'$ — точки пересечения лучей и секущей. Имеем:

$\lambda =(acdb)=(a'\infty d'b')={\frac {a'd'}{a'b'}},$

или, в силу (7),

${\overline {a'd'}}^{2}-a'd'.a'b'+{\overline {a'b'}}^{2}=0.$

(8.)

Вспоминая, что $(abc\gamma )=-1$, имеем

$(a'b'\infty \gamma ')=-1$,

то есть $\gamma '$ — середина отрезка $a'b'$. Полагая в (8)

$a'd'=\gamma 'd'-\gamma 'a'$ и $a'b'=-2\gamma 'a'$,

получим:

${\overline {\gamma 'd'}}^{2}=-3{\overline {\gamma 'a'}}^{2}.$

Отсюда

${\overline {\gamma 'd'}}^{2}={\overline {\gamma 'e'}}^{2}=3\gamma 'a'.\gamma 'b',$

(9.)

откуда видно, что точка $\gamma '$ является серединой отрезка $d'e'$, и, следовательно,

$(d'e'\infty \gamma ')=-1$,

откуда

$(dec\gamma )=-1$.

Аналогично доказывается, что

$(deb\beta )=-1$, $(dea\alpha )=-1$;

другими словами, $d,\,e$ — двойные точки инволюции $(a\alpha ,b\beta ,c\gamma )$.^[9]

Ангармоническое отношение $\lambda$ есть корень уравнения (7), или мнимый кубический корень из $-1$. Следовательно, четыре точки $a,\,b,\,c,\,d$ или $a,\,b,\,c,\,e$ не могут быть все одновременно вещественными. Уравнение (9) имеет положительную или отрицательную правую часть в зависимости от того, являются ли точки, сопряженные к $a'b'$, вещественными или мнимыми. Поэтому, если все три данные точки $a,\,b,\,c$ — вещественные, то точки $d,\,e$ являются комплексно сопряженными, а если две из трех данных точек — комплексно сопряженные, то точки $d,\,e$ — вещественные.

Из уравнения (8) видно, что, если $a'b'=0$, то также и $a'd'=a'e'=0$; то есть две данные точки совпадают с одной единственной точкой, то в эту последнюю попадают и обе точки $d,\,e$.

27. Назовем эквиангармонической (итал. equianarmonico) систему четырех точек, для которых главные ангармонические отношения равны друг другу, иными словами, систему четырех точек, ангармонические отношения которых равны мнимому кубическому корню из $-1$.

Положение четырех точек $m_{1},\,m_{2},\,m_{3},\,m_{4}$ на прямой линии описывается уравнением (§ 6):

$A.{\overline {om}}^{4}+4B.{\overline {om}}^{3}+6C.{\overline {om}}^{2}+4D.om+E=0.$

(10.)

Если система этих четырех точек — эквиангармоническая, то

$(m_{1}m_{2}m_{3}m_{4})=(m_{1}m_{3}m_{4}m_{2}),$

или, после подстановки вместо отрезков $m_{1}m_{2},\dots$ разностей $om_{2}-om_{1},\dots$:

$(om_{1}-om_{2})(om_{1}-om_{3})(om_{4}-om_{2})(om_{4}-om_{3})+(om_{2}-om_{3})^{2}(om_{1}-om_{4})^{2}=0.$

После раскрытия скобок, это уравнение примет вид, симметричный относительно четырех отрезков $om$, поэтому его можно выразить при помощи одних коэффициентов уравнения (10). А именно, используя между коэффициентами и корнями уравнения, без труда можно получить

$AE-4BD+3C^{2}=0,$

как необходимое и достаточное условие того, что четыре точки, описанные уравнением (10), образуют эквиангармоническую систему.^[10]

Примечания

1. Jonquières, Généralisation de la théorie de l'involution (Annali di Matematica, tomo 2.°, Roma 1859, pag. 86).
2. Термины инволюция и группа в современном смысле стали использоваться с конца XIX века. Об эволюции термина инволюция см. Примечание X к Историческому обзору Шаля. — Перев.
3. В проективной геометрии такое соответствие называют инволюционным. Следует еще заметить, что если указанное свойство выполняется для одной фиксированной пары соответствующих точек, то оно верно и для всех соответствующих пар точек прямой. В самом деле, пусть имеются два проективных ряда $\{a,b,c,\dots \}$ и $\{a',c,b,\dots \}$, тогда проективное соответствие между произвольными точками $m$ и $m'$ этих рядов аналитически можно записать так $(a,b,c,m)=(a',c,b,m')$. Но тогда $(a'bcm')=1-(a'cbm')=1-(abcm)=(acbm)$, то есть точке $m'$, рассматриваемой как элемент первого ряда, отвечает точка $m$ второго ряда. Геометрическое доказательство см., напр., в Проективной геометрии Н.А. Глаголева (М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. § 6, п. 2).
4. Понятие общих точек двух инволюций введено только для проективных инволюций. Здесь же не предполагается, что инволюции проективны или, вообще, как то связаны: обе инволюции — суть ряды групп точек, в которых есть совпадающие элементы, их то автор и называет общими группами двух инволюций. — Перев.
5. По § 9 таких общих точки имеется две, скажем $a_{1},\,a_{2}$, и пусть первая достигается точками $m',\,m_{1}$, когда $m$ попадает в точку $b_{1}$, а вторая — когда $m$ попадает в точку $b_{2}$. Тогда по построению

   $(efb_{1}a_{1})=(ghb_{1}a_{1})=-1$ и $(efb_{2}a_{2})=(ghb_{2}a_{2})=-1$,

   то есть имеется две пары точек $a_{1}\,b_{1}$ и $a_{2}\,b_{2}$, делящих гармонически оба отрезка $ef,\,gh$. В силу симметрии, пары $b_{1}\,a_{1}$ и $b_{2}\,a_{2}$ обладают тем же свойством, то есть $b_{1}=a_{2},\,b_{2}=a_{1}$, и поэтому имеется лишь одна подходящая пара, именно, образованная общими точками проективных пунктуалов $a_{1},\,a_{2}$. — Перев.
6. Способ построения таких точек по заданным $a,\,b,\,c$ был указан в § 5. — Перев.
7. Автор считает очевидным, что выполнение условия из § 25 для одной пары точек влечет его выполнение для всех пар, то есть инволюционность проективного соответствия. См. прим. к § 25. — Перев.
8. Staudt, Geometrie der Lage, Nürnberg 1847, p. 121.
9. Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage, Nürnberg, 1856-57-60, p. 178.
10. Painvin, Équation des rapports anharmoniques etc. (Nouvelles Annales de Mathématiques, t. 19. Paris, 1860, p. 412).