Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/5

Определения, касающиеся плоских линий. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 5.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

28. Плоскую линию можно рассматривать как образованную движением точки или прямой: в первом случае линия оказывается местом (итал. luogo) всех положений подвижной точки, а во втором — оболочкой (итал. inviluppo) положений подвижной прямой.^[1]^[2]

Прямая, рассматриваемая как место лежащих на ней точек, доставляет наиболее простой пример линии-места, а точка, рассматриваемая как оболочка всех проходящих через нее прямых, доставляет простейший пример линии-оболочки.

Говорят, что место имеет порядок (итал. ordine) $n$ , если произвольная прямая пересекает его в $n$ точках (вещественных, мнимых, различных или совпадающих). Место первого порядка — прямая. Система, составленная из $n$ прямых, — кривая порядка $n$ . Два места порядков $n,\,n'$ соответственно вмести образуют кривую порядка $n+n'$ .

Место порядка $n$ уже в силу самого своего определения не может пересекаться с прямой более, чем в $n$ . Следовательно, если такое место имеет с некоторой прямой в более чем $n$ общих точек, то эта прямая является частью этого места в том смысле, что ему принадлежат все точки прямой.

Кривая данного порядка называется простой, если она не может быть составлена из кривых меньших порядков.

Говорят, что оболочка имеет класс (итал. classe) $n$ , если через произвольную точку проходит $n$ положений огибающей оболочку прямых, или, иначе говоря, $n$ касательных прямых (вещественных, мнимых, различных или совпадающих). Оболочка первого класса — точка. Система, составленная из $n$ точек, — оболочка класса $n$ . Две оболочки классов $n,\,n'$ соответственно образуют вмести оболочку класса $n+n'$ .

Если оболочка класса $n$ имеет более чем $n$ касательных, проходящих через одну точку, то сама эта точка необходимо принадлежит оболочке, то есть все прямые, проходящие через эту точку являются касательными к рассматриваемой оболочке.

Оболочка данного класса называется простой, если она не может быть составлена из оболочек меньших классов.

29. Рассмотрим теперь кривую-место порядка $n$ . Если $a$ — некоторое положение точки, пробегающей кривую, или, говоря короче, точки кривой, то прямая $A$ , проходящая через точку $a$ и следующее положение подвижной точки, является касательной к кривой в этой точке. То есть, кривая как место положений подвижной точки является также и оболочкой прямых, соединяющих между собой следующие друг за другом положения подвижной точки. ^[3]

В точке касания $a$ кривая имеет c касательной $A$ две общие точки (двухточечное касание); следовательно, эти две линии имеет, в общем случае, еще $(n-2)$ точек пересечения, отличных от точки касания. Если две из этих $(n-2)$ точек опять совпадают в некоторой точкой $b$ , прямая $A$ является касательной к кривой также и в точке $b$ . В этом случае прямая $A$ называется двойной касательной, а $a$ и $b$ являются двумя точками касания. ^[4]

Однако, если одно из $n-2$ пересечений приближается бесконечно близко к $a$ , то прямая $A$ имеет здесь тройное касание (итал. contatto tripunto) с кривой. В этом случае, прямая $A$ называется стационарной (итал. stazionaria) касательной, поскольку, если мы обозначим как $a,\,a',\,a''$ три бесконечно близкие точки, составляющие касание, устойчивая касательная представляет две следующие друг за другом касательные $aa',\,a'a''$ ; и можно также сказать, что она является двойной касательной, точки касания $a,\,a'$ которой бесконечно близки. Иными словами, если предположить, что линия образована движением прямой, когда эта прямая попадает в положение $A$ , она перестает вращаться в одном направлении, останавливается и потом начинает вращаться в противоположном направлении. Точка касания $a$ кривой с постоянной касательной называется точкой перегиба, поскольку здесь прямая $A$ касается и рассекает кривую на две части, лежащие по разные стороны касательной.

30. Рассмотрим теперь оболочку класса $m$ . Если $A$ — некоторое положение прямой, движение которой задает оболочку, то есть касательная к кривой, то точка $a$ , где $A$ пересекает следующую за ней касательную, является точкой, в которой прямая $A$ касается кривой. Следовательно, оболочка подвижной прямой является также и местом точек, общих двум следующим друг за другом положениям этой прямой.

Через одну произвольную точку можно провести, в общем случае, $m$ касательных к кривой. Обратившись к точке $a$ на кривой, видим, что две из этих $m$ прямых — суть следующие друг за другом касательные, которые совпадают с касательной $A$ . Следовательно, кроме них остается еще $m-2$ касательных прямых кривой в других точках. ^[5]

Если другие две из этих $m-2$ касательных совпадают с некоторой прямой прямой $B$ , кривая имеет в $a$ две касательные $A,\,B$ , то есть проходит два раза через $a$ , образуя здесь узел (итал. nodo); прямые $A$ и $B$ касаются в точке $a$ двух дуг (итал. rami) кривой, которые здесь скрещиваются. В этом случае точка $a$ называется двойной точкой. ^[6].

Напротив, если одна из $m-2$ касательных совпадает с $A$ , эта прямая представляет три следующие друг за другом касательные $A,\,A',\,A''$ , и точка $a$ может рассматриваться как двойная точка, касательные $A,\,A'$ в которой совпадают (то есть в которой узел сводится к точке). В этом случае точка $a$ называется точкой возврата (итал. cuspide) или стационарной точкой, потому что она представляет пересечения касательной $A$ с $A'$ и касательной $A'$ с $A''$ ; или потому что, вообразив кривую, которую пробегает подвижная точка, видим, что когда подвижная точка приходит в $a$ , она останавливается, меняет направление своего движения и, таким образом, переходит на другую сторону касательной $A$ (касательной возврата).

Согласно формулам Плюкера, которые будут доказаны ниже (Art. XVI), кривая данного порядка не имеет в общем случае ни двойных точек, ни точек возврата, но имеет двойные и постоянные касательные, а оболочка данного класса в общем случае не имеет особых касательных, но зато имеет двойные и стационарные точки.

Тем не менее, если в особых случаях кривая может иметь особые точки и касательные и даже большей кратности (итал. moltiplicita). Говорят, что касательная имеет кратность $r$ , или является $(r)$ -кратной, если она касается кривой в $r$ точках, которые могут быть различными, а могут целиком или частично совпадать друг с другом. Точка называется $(r)$ -кратной, если здесь имеется $r$ касательных, которые могут быть различны, а могут частично или целиком совпадать друг с другом.

31. Если кривая имеет $(r)$ -кратную точку $a$ , любая прямая, проходящая через эту точку, пересекает здесь кривую $r$ раз, поэтому точка $a$ эквивалентна $r$ пересечениям прямой с кривой. Но если эта прямая касается одной из дуг кривой, проходящих через $a$ , она имеет в качестве общей точки с кривой еще и точку дуги, которая следует за $a$ , то есть эта точка считается как $r+1$ пересечение кривой с касательной. Следовательно, среди всех прямых, проходящих через $a$ , имеется не более $r$ прямых (касательные к $r$ дугам), которые пересекают здесь кривую в $r+1$ совпадающих точках; поэтому, существование $r+1$ прямых, обладающих этим свойством, возможно лишь тогда, когда им обладает любая другая прямая, проходящая через $a$ , то есть когда $a$ является точкой кратности $r+1$ .

Аналогично: если кривая имеет касательную $A$ кратности $r$ , она считается как $r$ касательных, проведенных из точки, взятой на ней произвольным образом; однако она считается как $r+1$ касательных относительно каждой из точек касания кривой с прямой $A$ . Таким образом, через каждую точку прямой $A$ проходят $r$ касательных, совпадающих с $A$ ; и имеется самое большее $r$ точек на этой прямой, через каждую из которых проходит $r+1$ касательная, совпадающая с этой прямой. Поэтому наличие большего числа точек, обладающих этим свойством, приводит к тому, что все точки прямой $A$ неизбежно обладают этим свойством, и следовательно, эта прямая является касательной кратности $r+1$ .

Из этих немногих предпосылок вытекает след.:

Линия порядка $n$ , имеющая точку $a$ кратности $(n)$ , является системой $n$ прямых, пересекающихся в точке $a$ . В самом деле, прямая, соединяющая точку $a$ с другой произвольной точкой линии-места, имеет с этой линией $(n+1)$ -у общую точку, и следовательно, является часть самой линии.

Аналогично, оболочка класса $m$ , имеющая касательную кратности $(m)$ , является системой $m$ точек, лежащих на этой прямой.

Простая кривая порядка $n$ , имеющая одну точку кратности $(n-1)$ , не может иметь других кратных точек, поскольку в противном случае прямая, их соединяющая, пересекала бы кривую в более чем в $n$ . Аналогично, простая кривая класса $m$ , имеющая касательную кратности $(m-1)$ , не может иметь других кратных касательных, поскольку в противном случае через их точку пересечения проходило бы более чем $m$ касательных.

Примечания править

↑ Plücker, Theorie, der algebraischen Curven, Bonn 1839, p. 200.
↑ Согласно принятой в русской литературе традиции, «inviluppo» следовало бы перевести как «огибающая», но это разрушило бы противопоставление «место-оболочка». Перевод термина «locus» (luogo) в русской литературе до сих пор не утвердился, одни авторы его всячески избегают вне конструкции «геометрическое место точек», другие заменяют точкой, а в современной литературе употребляют анг. кальку — «плейс». — Перев.
↑ Постоянно используемые далее обороты «соседние точки кривой», «бесконечно близкие» и «точки, совпадающие с (или в) другой точкой» (но от нее в некотором смысле отличные) весьма трудны для интерпретации. Эти понятия, нигде формально неопределенные, раскрываются постепенно, причем особое внимание следует обратить на начало Art. 10.
Кажется, что многие темные места проясняются, если рассматривать не кривую как множество точек, а точки как условия, налагаемые на кривые.
Начнем с того, что кривые-места некоторой линейной системы можно подчинить условию прохождения через некоторую точку плоскости, уменьшив размерность системы на единицу. Значит, утверждение «кривая $C$ порядка n проходит через точку $a$ » можно понимать так: имеется линейное условие $a$ , выделяющее из всех кривых порядка $n$ линейное семейство кривых, которому принадлежит $C$ . Двойственно: утверждение «кривая $C$ класса $m$ касается прямой $A$ » можно понимать так: имеется линейное условие $A$ , выделяющее из всех кривых класса $m$ линейное семейство кривых, которому принадлежит $C$ . Условие $b$ , накладываемое только на кривые, проходящие через точку $a$ , будем называть точкой, бесконечно близкой к $a$ , если все кривые, удовлетворяющие этим двум условиям, имеет общую касательную $A$ . Двойственно: условие $B$ , накладываемое только на кривые, касающиеся $A$ , будем называть прямой, бесконечно близкой к $A$ , если все кривые, удовлетворяющие этим двум условиям, пересекаются в точке $a$ . Условие $c$ , накладываемое только на кривые, проходящие через точку $a$ и бесконечно близкую к ней точку $b$ , будем называть точкой, бесконечно близкой к $b$ , если все кривые, удовлетворяющие этим условиям, имеет общую касательную $A$ и бесконечно близкую к ней касательную $B$ . И т.д.
Про кривую, удовлетворяющую, напр., условиям $a,b,c$ , можно сказать, что на ее дуге (или ветви) точки $a,b,c$ следуют друг за другом, равно как и касательные $A$ и $B$ . Две кривые, удовлетворяющие этим условиям, пересекаются в трех точках, совпадающих с $a$ . Остается рассмотреть еще особый случай, когда из условий $a,b,c$ следует еще, что кривые имеют касательную $B'\not =B$ , бесконечно близкую к $A$ , а следовательно, и любую касательную, бесконечно близкую к $A$ (ср. § 33). Это вырождение происходит, когда точки $a,b,c$ лежат на одной прямой, поскольку кривая второго порядка, проходящая через точки $a,b,c$ , вырождается в прямую $A$ . Геометрически точка $a$ интерпретируется как точка перегиба, а $A$ — как стационарная касательная (ср. конец § 29).
Следующее после Кремоны поколение геометров уделило большое внимание новому обоснованию теорем алгебраической геометрии (см. лекции по алгебраической геометрии Севери, относительно современного состояния проблемы подсчета кратности пересечений см. лекции Хартсхорна). О трудностях интерпретации метода бесконечно малых см. «Вступительное слово» М. Я. Выгодского к «Дифференциальному исчислению» Эйлера. — Перев.
↑ Обе точки касания могут быть мнимыми даже тогда, когда касательная $A$ является вещественной. Она обладает и в этом случае всеми свойствами двойной касательной. — Прим. авт.
↑ В этом параграфе описывается ситуация, двойственная к предыдущему. Прямые пучка прямых, проходящих через одну точку отождествляются таким образом, чтобы через две различные точки произвольной прямой проходили две различные прямые пучка и наоборот. Различные прямые на (проективной) плоскости пересекаются в одной точке, но могут совпадать с одной и той же прямой пучка прямых, проходящих через эту точку и в этом случае две прямые называются бесконечно близкими. Следующие друг за другом прямые оболочки бесконечно близки (и в этом смысле оболочка непрерывна) и в общем случае различны как прямые на плоскости. Поэтому они пересекаются в единственной точке $a$ и совпадают с одной и той же прямой $A$ пучка прямых, проходящих через $a$ . — Перев.
↑ При этом допускается, что две касательные $A,\,B$ — мнимые, и тогда также мнимыми будут две дуги кривой, хотя бы и точка пересечения $a$ была вещественной. Эта точка называется изолированной и в этот случай можно рассматривать как бесконечно малый овал. — Прим. авт.

[1] Plücker, Theorie, der algebraischen Curven, Bonn 1839, p. 200.

[2] Согласно принятой в русской литературе традиции, «inviluppo» следовало бы перевести как «огибающая», но это разрушило бы противопоставление «место-оболочка». Перевод термина «locus» (luogo) в русской литературе до сих пор не утвердился, одни авторы его всячески избегают вне конструкции «геометрическое место точек», другие заменяют точкой, а в современной литературе употребляют анг. кальку — «плейс». — Перев.

[3] Постоянно используемые далее обороты «соседние точки кривой», «бесконечно близкие» и «точки, совпадающие с (или в) другой точкой» (но от нее в некотором смысле отличные) весьма трудны для интерпретации. Эти понятия, нигде формально неопределенные, раскрываются постепенно, причем особое внимание следует обратить на начало Art. 10.
Кажется, что многие темные места проясняются, если рассматривать не кривую как множество точек, а точки как условия, налагаемые на кривые.
Начнем с того, что кривые-места некоторой линейной системы можно подчинить условию прохождения через некоторую точку плоскости, уменьшив размерность системы на единицу. Значит, утверждение «кривая $C$ порядка n проходит через точку $a$ » можно понимать так: имеется линейное условие $a$ , выделяющее из всех кривых порядка $n$ линейное семейство кривых, которому принадлежит $C$ . Двойственно: утверждение «кривая $C$ класса $m$ касается прямой $A$ » можно понимать так: имеется линейное условие $A$ , выделяющее из всех кривых класса $m$ линейное семейство кривых, которому принадлежит $C$ . Условие $b$ , накладываемое только на кривые, проходящие через точку $a$ , будем называть точкой, бесконечно близкой к $a$ , если все кривые, удовлетворяющие этим двум условиям, имеет общую касательную $A$ . Двойственно: условие $B$ , накладываемое только на кривые, касающиеся $A$ , будем называть прямой, бесконечно близкой к $A$ , если все кривые, удовлетворяющие этим двум условиям, пересекаются в точке $a$ . Условие $c$ , накладываемое только на кривые, проходящие через точку $a$ и бесконечно близкую к ней точку $b$ , будем называть точкой, бесконечно близкой к $b$ , если все кривые, удовлетворяющие этим условиям, имеет общую касательную $A$ и бесконечно близкую к ней касательную $B$ . И т.д.
Про кривую, удовлетворяющую, напр., условиям $a,b,c$ , можно сказать, что на ее дуге (или ветви) точки $a,b,c$ следуют друг за другом, равно как и касательные $A$ и $B$ . Две кривые, удовлетворяющие этим условиям, пересекаются в трех точках, совпадающих с $a$ . Остается рассмотреть еще особый случай, когда из условий $a,b,c$ следует еще, что кривые имеют касательную $B'\not =B$ , бесконечно близкую к $A$ , а следовательно, и любую касательную, бесконечно близкую к $A$ (ср. § 33). Это вырождение происходит, когда точки $a,b,c$ лежат на одной прямой, поскольку кривая второго порядка, проходящая через точки $a,b,c$ , вырождается в прямую $A$ . Геометрически точка $a$ интерпретируется как точка перегиба, а $A$ — как стационарная касательная (ср. конец § 29).
Следующее после Кремоны поколение геометров уделило большое внимание новому обоснованию теорем алгебраической геометрии (см. лекции по алгебраической геометрии Севери, относительно современного состояния проблемы подсчета кратности пересечений см. лекции Хартсхорна). О трудностях интерпретации метода бесконечно малых см. «Вступительное слово» М. Я. Выгодского к «Дифференциальному исчислению» Эйлера. — Перев.

[4] Обе точки касания могут быть мнимыми даже тогда, когда касательная $A$ является вещественной. Она обладает и в этом случае всеми свойствами двойной касательной. — Прим. авт.

[5] В этом параграфе описывается ситуация, двойственная к предыдущему. Прямые пучка прямых, проходящих через одну точку отождествляются таким образом, чтобы через две различные точки произвольной прямой проходили две различные прямые пучка и наоборот. Различные прямые на (проективной) плоскости пересекаются в одной точке, но могут совпадать с одной и той же прямой пучка прямых, проходящих через эту точку и в этом случае две прямые называются бесконечно близкими. Следующие друг за другом прямые оболочки бесконечно близки (и в этом смысле оболочка непрерывна) и в общем случае различны как прямые на плоскости. Поэтому они пересекаются в единственной точке $a$ и совпадают с одной и той же прямой $A$ пучка прямых, проходящих через $a$ . — Перев.

[6] При этом допускается, что две касательные $A,\,B$ — мнимые, и тогда также мнимыми будут две дуги кривой, хотя бы и точка пересечения $a$ была вещественной. Эта точка называется изолированной и в этот случай можно рассматривать как бесконечно малый овал. — Прим. авт.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]