Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание XV

Примечание XV. : Об ангармоническом свойстве точек конического сечения. Доказательство самых общих свойств этих кривых.
автор Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингер

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Из цикла «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: Сканы, размещённые на Викискладе

Об ангармоническом свойстве точек конического сечения. Доказательство самых общих свойств этих кривых.

Примечание к n° 26.

1. Подобно тому, как в теореме Дезарга об инволюции шести точек, представим себе четырехугольник, вписанный в коническое сечение, и какую-нибудь секущую.

Из двух противоположных вершин четырехугольника проведем прямые к двум точкам, в которых секущая встречается с коническим сечением; каждая из этих вершин будет точкою, из которой выходят четыре прямые. Легко видеть, что инволюционное соотношение Дезарга [см. Прим. X, § 23] выражает собою равенство между ангармоническим отношением четырех точек пересечения секущей с четырьмя прямыми, выходящими из одной вершины четырехугольника, и ангармоническим отношением четырех точек пересечения той же секущей с четырьмя прямыми, выходящими из противоположной вершины четырехугольника; отсюда мы заключаем, что ангармоническое отношение первых четырех прямых равно ангармоническому отношению четырех других.

2. Итак мы имеем следующую общую теорему, взаимную тому заключению, которое мы вывели из теоремы Дезарга:

Когда два пучка из четырех прямых соответствуют друг другу так, что ангармоническое отношение четырех первых прямых равно ангармоническому отношению четырех других, то прямые одного пучка встречаются с соответственными прямыми другого в четырех точках, лежащих на коническом сечении, проходящем еще через две точки, именно через центры обоих пучков.

Эта теорема, как видно из предложенного нами здесь доказательства её, в сущности есть только другое выражение теоремы Дезарга; но её следствия, чрезвычайно многочисленные, обнимают часть таких свойств конических сечений, на которые, кажется, не распространяются теоремы Дезарга и Паскаля. Действительно, кроме преимущества своей особой формы, эта теорема имеет нечто более общее, чем те две теоремы, которые поэтому получаются из неё уже не как видоизменения её, но как её следствия. Мы сейчас подтвердим это, указывая на приложения, к которым способна эта теорема.

Но прежде дадим прямое доказательство её, так как мы ею хотим заменить самые общие из употреблявшихся до сих пор теорем и вывести их все из неё же.

3. Доказательство это до крайности легко и просто. Так как теорема выражает равенство ангармонических отношений в двух пучках четырех линий, и так как эти отношения сохраняют свою величину в перспективе, то достаточно доказать, что равенство существует в круге, служащем основанием того конуса, на котором рассматривается коническое сечение. Но в круге углы между линиями первого пучка соответственно равны углам между соответствующими линиями второго пучка, потому что эти углы опираются на те же дуги; так как синусы их также равны между собою, то ангармоническое отношение синусов углов первого пучка равно ангармоническому отношению синусов углов второго пучка.

Таким образом теорема доказана.

4. Представим себе, что три прямые первого пучка и три соответствующие прямые второго — неподвижны; что четвертая прямая первого пучка вращается около своего центра и что соответствующая ей прямая второго пучка также вращается и притом таким образом, что всегда сохраняется равенство ангармонических отношений в обоих пучках: эти две вращающиеся прямые будут пересекаться всегда на коническом сечении, определяемом пятью неподвижными точками фигуры, именно: центрами двух пучков и точками, в которых три неподвижные прямые первого пучка пересекаются с соответствующими им линиями второго.

5. Отсюда проистекает бесчисленное множество способов образования конических сечений чрез пересечение двух прямых, вращающихся около двух неподвижных точек. Потому что бесконечно разнообразно можно составить два пучка прямых, соответствующих одна другой и притом так, что ангармоническое отношение каких-нибудь четырех прямых первого пучка всегда будет равно ангармоническому отношению четырех прямых во втором пучке.

6. Например, представим себе постоянный угол; пусть около данной точки, как около полюса, вращается прямая линия, которая во всяком положении будет встречаться с сторонами угла в двух точках. Четыре, определенные таким образом, точки на одной из сторон угла будут иметь одинаковое ангармоническое отношение с четырьмя соответствующими точками на другой стороне (потому что оба эти отношения равны ангармоническому отношению четырех секущих, служащих для определения этих точек). Отсюда следует, что, если мы соединим какую-нибудь неподвижную точку с точками, отмеченными на одной стороне угла, и другую неподвижную точку — с точками, отмеченными на другой стороне, то получим два пучка соответствующих прямых, пересекающихся между собою на коническом сечении, проходящем через две неподвижные точки. Итак

Фиг. к n° 6

Если три стороны треугольника, изменяющего свой вид, вращаются около трех неподвижных точек и две вершины его перемещаются по двум неподвижным прямым, то третья вершина описывает коническое сечение, проходящее через две точки, около которых вращаются стороны, прилежащие к этой вершине^[1]

Эта теорема есть ничто иное, как мистический шестиугольник Паскаля, только представленный в иной форме. Теорема в этом виде находится y Маклорена и Брайкенриджа; она именно и привела первого из этих геометров к изложению теоремы Паскаля.

7. Рассмотрим два пучка прямых, выходящих из двух различных центров и пересекающихся по-парно на одной прямой, взятой произвольно в плоскости. Ангармоническое отношение каких-нибудь четырех прямых первого пучка равно ангармоническому отношению четырех соответствующих линий во втором пучке (оба равны именно ангармоническому отношению четырех точек, в которых эти прямые встречаются с постоянной прямой). Изменим теперь относительное положение пучков, перенеся их на плоскости в другие места; соответствующие прямые уже не будут пересекаться на одной прямой, но из нашей теоремы следует, что они будут пересекаться на коническом сечении, проходящем через вершины обоих пучков.

8. Положим, что первоначальные пучки сохранили при перемещении свои прежние центры, т. е. что мы повернули их около их центров; тогда изложенная нами теорема обращается прямо в теорему Ньютона об органическом образовании конических сечений.

9. Если бы лучи первоначальных пучков встречались не на прямой линии, a на коническом сечении, проходящем чрез два центра их, то пучки эти всё-таки удовлетворяли бы условию равенства ангармонических отношений между четырьмя лучами одного и четырьмя соответствующими лучами другого пучка (на основании теоремы n° 2). Следовательно и после какого-нибудь перемещения этих пучков соответствующие лучи их будут опять пересекаться на коническом сечении.

10. Если пучки повернем только около их центров, то получится теорема:

Когда два какие-нибудь постоянные угла вращаются около своих вершин так, что точка пересечения двух их сторон описывает коническое сечение, проходящее через две вершины, то две другие стороны пересекаются в точках другого конического сечения, также проходящего через вершины.

11. Эта теорема, представляющая обобщение теоремы Ньютона, сама представляет один из бесчисленного множества подобных же частных способов построения конических сечений чрез пересечение двух прямых, вращающихся около двух постоянных точек или чрез пересечение сторон углов, которые движутся около своих вершин; притом вместо углов постоянной величины, которые мы брали сейчас, можно предполагать углы переменные и при этом установить бесконечно разнообразное соотношение между их величинами.

Так например, можно предполагать, что каждый из них образует на постоянной прямой отрезки постоянной величины.

Такам образом, теорема Ньютона, имевшая некоторую знаменитость и казавшаяся основною в теории конических сечений, оказывается не более, как весьма частным случаем общего способа образования этих кривых.

12. Это обстоятельство ведет, как нам кажется, к двум заключениям. Оно показывает, во-первых, что всегда полезно восходить к начальному происхождению геометрических истин и с этой возвышенной точки зрения обозревать и открывать разнообразные формы, в которых они могут представляться и которые могут расширить их приложения; так, теорема Ньютона, которую многие весьма замечательные геометры считали нужным доказывать, как одну из лучших теорем в теории конических сечений, не приводила однако к важным результатам, потому что форма её удобна для получения только немногих следствий. Общая же теорема, из которой мы ее вывели, способна, напротив, ко множеству разнообразных выводов.

Вовторых, мы видим здесь доказательство той истины, что самые общие и богатые предложения суть в то же время самые простые и легче всего доказываются. Ни одно из известных доказательств теоремы Ньютона не может сравниться по краткости с доказательством общей теоремы, которое дано нами в n° 3; при этом последнее имеет еще то преимущество, что в нем не требуется предварительного знания никаких свойств конических сечений.

13. Возьмем опять два пучка, пересекающиеся по прямой линии, и предположим, что прямая эта находится в бесконечности; т. е. что прямые двух пучков соответственно параллельны между собою. Переместим пучки, обращая их около центров; соответствующие прямые будут пересекаться на коническом сечении, проходящем через оба центра. Отсюда проистекает такая теорема: Если имеем в плоскости две подобные, но не подобно расположенные, фигуры, то прямые, проведенные на первой фигуре через произвольную точку, будут пересекаться на коническом сечении с соответствующими прямыми второй фигуры. Теорему эту мы изложили уже без доказательства в сочинении о перемещении твердого тела в пространстве (Bulletin universel des sciences, t. XIV, p. 321).

14. Общую теорему, составляющую предмет этого Примечания, можно изложить еще в таком виде: Если шестиугольник вписан в коническое сечение и из двух вершин его проведено по четыре прямые в четыре остальные вершины, то ангармоническое отношение первых четырех прямых равно ангармоническому отношению четырех других.

Т. е. Четыре первые прямые встречаются с какою-нибудь секущею в четырех точках, четыре другие с другою произвольною секущей — в четырех соответствующих точках: ангармоническое отношение первых четырех точек равно ангармоническому отношению четырех других.

В этом изложении теорема представляет весьма большую общность по причине неопределенного положения двух секущих.

15. Положим, что первая секущая есть одна из прямых, проведенных через вторую вершину шестиугольника, a вторая секущая — одна из прямых, проведенных через первую вершину; получаемая при этом теорема будет именно первая из теорем, изложенных Паскалем в Essai pour les coniques и выведенных им из его шестиугольника.

16. Положим далее, что обе секущие совпадают с одной из сторон шестиугольника; — получим теорему Дезарга об инволюции шести точек.

17. Если в этой теореме Дезарга заменим отрезки, заключающиеся на секущей между двумя точками кривой и между четырьмя сторонами четырехугольника, — выражениями их в функции перпендикуляров, опущенных из двух точек конического сечения на четыре стороны, то получим теорему:

Если из какой-нибудь точки конического сечения опустим перпендикуляры на четыре стороны вписанного четырехугольника, то произведение перпендикуляров, опущенных на две противоположные стороны будет иметь постоянное отношение к произведению двух других перпендикуляров, где бы ни была взята точка конического сечения.

Вместо перпендикуляров можно взять наклонные, образующие со сторонами четырехугольника, к которым они проводятся, равные углы. Это предложение есть ничто иное, как теорема ad quatuor lineas, приводимая Паппом.

18. И так мы доказали, что мистический шестиугольник, другая теорема Паскаля также о шестиугольнике, теорема Ньютона об органическом образований конических сечений, теорема Дезарга об инволюции шести точек и теорема древних ad quatuor lineas — все суть следствия нашей теоремы. Отсюда понятно, что эта теорема распространяется на множество частных истин, указывая незамеченные до сих пор соотношения между ними и представляя для них общее и достаточное основание.

Эту теорему можно, в некотором смысле, рассматривать, как центр, из которого проистекает большая часть, даже самых общих, предложений; вследствие этого необыкновенного богатства и чрезвычайной простоты доказательства она могла бы служить основанием геометрической теории конических сечений.

19. Так как главный характер этой теоремы, делающий ее способною к бесчисленному множеству выводов заключается в понятии об ангармоническом отношении, то мы будем называть ее ангармоническим свойством точек конического сечения^[2].

Заметим, что, если теоремы Паскаля, Дезарга, Ньютона и предложение ad quatuor lineas суть следствия ангармонического свойства, то это последнее тем же путем может в свою очередь быть выведено из каждой из этих теорем и таким образом служить для перехода от одной из них к другой. Это доказывает, что понятие об ангармоническом отношении представляет действительно общую связь между этими различными теоремами, которые поэтому отличаются друг от друга только по форме.

Уже прежде было замечено соотношение, можно сказать почти тождество, между теоремами Дезарга и Паскаля, но не между этими теоремами и другими важнейшими предложениями, о которых мы упомянули. Напротив, каждое из этих предложений доказывалось совершенно особым образом и эти доказательства были всегда несравненно длиннее того очевидного доказательства, которое мы дали для общей теоремы.

20. Из этой же теоремы можно вывести прекрасное предложение Карно о соотношении между отрезками, образуемыми коническим сечением на трех сторонах треугольника, взятого в той же плоскости, — предложение, которое выражает такое же общее свойство шести точек конического сечения, как и теоремы Дезарга, Паскаля и Ньютона.

21. Наконец наше ангармоническое свойство может быть представлено еще в другой форме, в которой оно является новым предложением, отличающимся от всех предыдущих и способным к новому роду чрезвычайно многочисленных выводов.

Это новое предложение представляется в виде трехчленного уравнения; его можно изложить так:

На плоскости даны две секущие; возьмем на первой из них две какие-нибудь точки $O$, $E$ и на второй две также какие-нибудь точки $O'$, $E'$.

Если около неподвижных полюсов $P$, $P'$, взятых произвольно в плоскости чертежа, будем обращать две прямые, встречающиеся с двумя секущими соответственно в точках $a$, $a'$, определяемых так, что всегда существует соотношение

${\frac {Oa}{Ea}}+\lambda {\frac {O'a'}{E'a'}}=\mu$,

(A.)

где $\lambda$ и $\mu$ — постоянные.

То точка пересечения двух движущихся прямых будет описывать коническое сечение, проходящее через оба полюса $P$, $P'$.

22. Эта теорема, в которой так много произвольных элементов, именно: направление секущих, положение на них четырех точек, положение двух полюсов и величина двух коэффициентов, — в сущности не отличается от тех общих свойств конических сечений, о которых говорилось в этом Примечании; потому что, как и каждое из них, она выводится из нашего ангармонического свойства. Но особая форма её дает возможность распространить её приложения гораздо далее, чем это сделано для других предложений.

23. Так например, если предположим, что точки $E$, $E'$ помещены на линии, соединяющей полюсы $P$, $P'$, то уравнение будет выражать уже не коническое сечение, а просто прямую линию. Отсюда будут проистекать, как следствия бесчисленного множества свойств конических сечений, бесчисленные же свойства прямой линии; между ними будут находиться различные системы координат и в том числе, как частный случай, система Декарта.

Есть много других способов выражать этим уравнением прямую линию. Для этого вообще достаточно удовлетворить условию между данными вопроса, выражаемому уравнением

${\frac {O\varepsilon }{E\varepsilon }}+\lambda {\frac {O'\varepsilon '}{E'\varepsilon '}}=\mu$,

где $\varepsilon$, $\varepsilon '$ суть точки пересечения двух секущих с прямою, соединяющею полюсы $P$, $P'$.

В другом сочинении мы покажем многочисленные приложения, к которым, кажется, способно уравнение (A) в теории конических сечений и в теории трансверсалей.

24. Я возвращусь также в другом месте к ангармоническому свойству конических сечений, выражаемому в виде равенства двух членов в теореме n° 2; оно представится нам в теории гомографических фигур, в которых оно является главным свойством. Тогда мы выразим его такими словами:

В двух гомографических пучках, находящихся в одной плоскости, прямые одного пучка пересекаются с соответственными прямыми другого в точках конического сечения, проходящего через центры обоих пучков.

В этом изложении идея ангармонического отношения, сама по себе уже весьма простая, но относящаяся прямо только к пучку из четырех прямых, заменяется другим понятием, в котором подразумеваются все прямые пучка; это вносит еще более быстроты и легкости в приложения теоремы.

25. Нам, быть может, извинят продолжительность этого Примечания, если обратят внимание на то, что в нем изложены, вместе с доказательствами, почти все самые изящные и общие свойства из теории конических сечений. Анализ, в этом случае, наверно не мог бы быть так краток и прост, как чистая геометрия.

Заметим по этому поводу, что ни одно из этих предложений, которые однако суть самые важные и богатые в теории конических сечений, не вводится теперь в аналитических сочинениях, имеющих предметом изучение этих кривых. Такие сочинения совсем не представляют трактатов о конических сечениях; это приложение аналитический геометрии и введение в общую теорию кривых линий; и в приложениях этих доказываются не самые общие и важные свойства конических сечений, но только самые элементарные и ограниченные, потому что они легче выражаются формулами анализа. Другие свойства, которые были бы гораздо полезнее и на которых основывается непрестанное развитие теории конических сечений, остаются неизвестны для молодых геометров, изучающих эту важную теорию только по руководствам аналитической геометрии.

Таким образом изучение конических сечений чрезвычайно отстало уже около столетия. Это весьма жалко; не только потому, что эти знаменитые кривые играют весьма важную роль во всех частях геометрии, вследствие чего знание их решительно необходимо; но также и на основании того общего положения, что во всех понятиях надобно приучать ум направлять свои соображения к самым общим истинам каждой теории. Это самый верный, если не единственный, способ упростить изучение науки и упрочить её развитие.

Примечания

1. Если бы сторона треугольника, противолежащая образующей вершине, вместо того, чтобы вращаться около неподвижной точки, скользила по коническому сечению, касающемуся двух неподвижных прямых, то свободная вершина треугольника описывала бы также коническое сечение, проходящее через две неподвижные точки.
   Это следует из того, что четыре касательные конического сечения пересекают каждую из двух других касательных в четырех точках, которые на той и на другой касательной имеют одинаковое ангармоническое отношение (см. следующее Примечание).
   Это обобщение теоремы Маклорена и Брайкенриджа может вести ко множеству различных, большею частью новых, предложений.
2. Мы говорим точек конического сечения, потому что в следующем Примечании увидим, что конические сечения обладают еще, другим ангармоническим свойством, подобным этому и относящимся к их касательным.