Но прежде дадимъ прямое доказательство ея, такъ какъ мы ею хотимъ замѣнить самыя общія изъ употреблявшихся до сихъ поръ теоремъ и вывести ихъ всѣ изъ нея же.
3. Доказательство это до крайности легко и просто. Такъ какъ теорема выражаетъ равенство ангармоническихъ отношеній въ двухъ пучкахъ четырехъ линій, и такъ какъ эти отношенія сохраняютъ свою величину въ перспективѣ, то достаточно доказать, что равенство существуетъ въ кругѣ, служащемъ основаніемъ того конуса, на которомъ разсматривается коническое сѣченіе. Но въ кругѣ углы между линіями перваго пучка соотвѣтственно равны угламъ между соотвѣтствующими линіями втораго пучка, потому что эти углы опираются на тѣ же дуги; такъ какъ синусы ихъ также равны между собою, то ангармоническое отношеніе синусовъ угловъ перваго пучка равно ангармоническому отношенію синусовъ угловъ втораго пучка.
Такимъ образомъ теорема доказана.
4. Представимъ себѣ, что три прямыя перваго пучка и три соотвѣтствующія прямыя втораго — неподвижны; что четвертая прямая перваго пучка вращается около своего центра и что соотвѣтствующая ей прямая втораго пучка также вращается и притомъ такимъ образомъ, что всегда сохраняется равенство ангармоническихъ отношеній въ обоихъ пучкахъ: эти двѣ вращающіяся прямыя будутъ пересѣкаться всегда на коническомъ сѣченіи, опредѣляемомъ пятью неподвижными точками фигуры, именно: центрами двухъ пучковъ и точками, въ которыхъ три неподвижныя прямыя перваго пучка пересѣкаются съ соотвѣтствующими имъ линіями втораго.
5. Отсюда проистекаетъ безчисленное множество способовъ образованія коническихъ сѣченій чрезъ пересѣченіе двухъ прямыхъ, вращающихся около двухъ неподвижныхъ точекъ. Потому что безконечно разнообразно можно составить два пучка прямыхъ, соотвѣтствующихъ одна другой и притомъ такъ, что ангармоническое отношеніе какихъ-нибудь
Но прежде дадим прямое доказательство её, так как мы ею хотим заменить самые общие из употреблявшихся до сих пор теорем и вывести их все из неё же.
3. Доказательство это до крайности легко и просто. Так как теорема выражает равенство ангармонических отношений в двух пучках четырех линий, и так как эти отношения сохраняют свою величину в перспективе, то достаточно доказать, что равенство существует в круге, служащем основанием того конуса, на котором рассматривается коническое сечение. Но в круге углы между линиями первого пучка соответственно равны углам между соответствующими линиями второго пучка, потому что эти углы опираются на те же дуги; так как синусы их также равны между собою, то ангармоническое отношение синусов углов первого пучка равно ангармоническому отношению синусов углов второго пучка.
Таким образом теорема доказана.
4. Представим себе, что три прямые первого пучка и три соответствующие прямые второго — неподвижны; что четвертая прямая первого пучка вращается около своего центра и что соответствующая ей прямая второго пучка также вращается и притом таким образом, что всегда сохраняется равенство ангармонических отношений в обоих пучках: эти две вращающиеся прямые будут пересекаться всегда на коническом сечении, определяемом пятью неподвижными точками фигуры, именно: центрами двух пучков и точками, в которых три неподвижные прямые первого пучка пересекаются с соответствующими им линиями второго.
5. Отсюда проистекает бесчисленное множество способов образования конических сечений чрез пересечение двух прямых, вращающихся около двух неподвижных точек. Потому что бесконечно разнообразно можно составить два пучка прямых, соответствующих одна другой и притом так, что ангармоническое отношение каких-нибудь
