Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/313

22. Эта теорема, въ которой такъ много произвольныхъ элементовъ, именно: направленіе сѣкущихъ, положеніе на нихъ четырехъ точекъ, положеніе двухъ полюсовъ и величина двухъ коэффиціентовъ, — въ сущности не отличается отъ тѣхъ общихъ свойствъ коническихъ сѣченій, о которыхъ говорилось въ этомъ Примѣчаніи; потому что, какъ и каждое изъ нихъ, она выводится изъ нашего ангармоническаго свойства. Но особая форма ея даетъ возможность распространить ея приложенія гораздо далѣе, чѣмъ это сдѣлано для другихъ предложеній.

23. Такъ напримѣръ, если предположимъ, что точки $E$, $E'$ помѣщены на линіи, соединяющей полюсы $P$, $P'$, то уравненіе будетъ выражать уже не коническое сѣченіе, а просто прямую линію. Отсюда будутъ проистекать, какъ слѣдствія безчисленнаго множества свойствъ коническихъ сѣченій, безчисленныя же свойства прямой линіи; между ними будутъ находиться различныя системы координатъ и въ томъ числѣ, какъ частный случай, система Декарта.

Есть много другихъ способовъ выражать этимъ уравненіемъ прямую линію. Для этого вообще достаточно удовлетворить условію между данными вопроса, выражаемому уравненіемъ

${\frac {O\varepsilon }{E\varepsilon }}+\lambda {\frac {O'\varepsilon '}{E'\varepsilon '}}=\mu$,

гдѣ $\varepsilon$, $\varepsilon '$ суть точки пересѣченія двухъ сѣкущихъ съ прямою, соединяющею полюсы $P$, $P'$.

Въ другомъ сочиненіи мы покажемъ многочисленныя приложенія, къ которымъ, кажется, способно уравненіе (A) въ теоріи коническихъ сѣченій и въ теоріи трансверсалей.

24. Я возвращусь также въ другомъ мѣстѣ къ ангармоническому свойству коническихъ сѣченій, выражаемому въ видѣ равенства двухъ членовъ въ теоремѣ n° 2; оно представится намъ въ теоріи гомографическихъ фигуръ, въ которыхъ оно является главнымъ свойствомъ. Тогда мы выразимъ его такими словами:

Тот же текст в современной орфографии

22. Эта теорема, в которой так много произвольных элементов, именно: направление секущих, положение на них четырех точек, положение двух полюсов и величина двух коэффициентов, — в сущности не отличается от тех общих свойств конических сечений, о которых говорилось в этом Примечании; потому что, как и каждое из них, она выводится из нашего ангармонического свойства. Но особая форма её дает возможность распространить её приложения гораздо далее, чем это сделано для других предложений.

23. Так например, если предположим, что точки $E$, $E'$ помещены на линии, соединяющей полюсы $P$, $P'$, то уравнение будет выражать уже не коническое сечение, а просто прямую линию. Отсюда будут проистекать, как следствия бесчисленного множества свойств конических сечений, бесчисленные же свойства прямой линии; между ними будут находиться различные системы координат и в том числе, как частный случай, система Декарта.

Есть много других способов выражать этим уравнением прямую линию. Для этого вообще достаточно удовлетворить условию между данными вопроса, выражаемому уравнением

${\frac {O\varepsilon }{E\varepsilon }}+\lambda {\frac {O'\varepsilon '}{E'\varepsilon '}}=\mu$,

где $\varepsilon$, $\varepsilon '$ суть точки пересечения двух секущих с прямою, соединяющею полюсы $P$, $P'$.

В другом сочинении мы покажем многочисленные приложения, к которым, кажется, способно уравнение (A) в теории конических сечений и в теории трансверсалей.

24. Я возвращусь также в другом месте к ангармоническому свойству конических сечений, выражаемому в виде равенства двух членов в теореме n° 2; оно представится нам в теории гомографических фигур, в которых оно является главным свойством. Тогда мы выразим его такими словами: