Эта теорема есть ничто иное, какъ мистическій шестиугольникъ Паскаля, только представленный въ иной формѣ. Теорема въ этомъ видѣ находится y Маклорена и Брайкенриджа; она именно и привела перваго изъ этихъ геометровъ къ изложенію теоремы Паскаля.
7. Разсмотримъ два пучка прямыхъ, выходящихъ изъ двухъ различныхъ центровъ и пересѣкающихся по-парно на одной прямой, взятой произвольно въ плоскости. Ангармоническое отношеніе какихъ-нибудь четырехъ прямыхъ перваго пучка равно ангармоническому отношенію четырехъ соотвѣтствующихъ линій во второмъ пучкѣ (оба равны именно ангармоническому отношенію четырехъ точекъ, въ которыхъ эти прямыя встрѣчаются съ постоянной прямой). Измѣнимъ теперь относительное положеніе пучковъ, перенеся ихъ на плоскости въ другія мѣста; соотвѣтствующія прямыя уже не будутъ пересѣкаться на одной прямой, но изъ нашей теоремы слѣдуетъ, что онѣ будутъ пересѣкаться на коническомъ сѣченіи, проходящемъ черезъ вершины обоихъ пучковъ.
8. Положимъ, что первоначальные пучки сохранили при перемѣщеніи свои прежніе центры, т.-е. что мы повернули ихъ около ихъ центровъ; тогда изложенная нами теорема обращается прямо въ теорему Ньютона объ органическомъ образованіи коническихъ сѣченій.
9. Если бы лучи первоначальныхъ пучковъ встрѣчались не на прямой линіи, a на коническомъ сѣченіи, проходящемъ чрезъ два центра ихъ, то пучки эти все-таки удовлетворяли бы условію равенства ангармоническихъ отношеній между четырьмя лучами одного и четырьмя соотвѣтствующими лучами другаго пучка (на основаніи теоремы n° 2). Слѣдовательно и послѣ какого-нибудь перемѣщенія этихъ пучковъ соотвѣтствующіе лучи ихъ будутъ опять пересѣкаться на коническомъ сѣченіи.
10. Если пучки повернемъ только около ихъ центровъ, то получится теорема:
Эта теорема есть ничто иное, как мистический шестиугольник Паскаля, только представленный в иной форме. Теорема в этом виде находится y Маклорена и Брайкенриджа; она именно и привела первого из этих геометров к изложению теоремы Паскаля.
7. Рассмотрим два пучка прямых, выходящих из двух различных центров и пересекающихся по-парно на одной прямой, взятой произвольно в плоскости. Ангармоническое отношение каких-нибудь четырех прямых первого пучка равно ангармоническому отношению четырех соответствующих линий во втором пучке (оба равны именно ангармоническому отношению четырех точек, в которых эти прямые встречаются с постоянной прямой). Изменим теперь относительное положение пучков, перенеся их на плоскости в другие места; соответствующие прямые уже не будут пересекаться на одной прямой, но из нашей теоремы следует, что они будут пересекаться на коническом сечении, проходящем через вершины обоих пучков.
8. Положим, что первоначальные пучки сохранили при перемещении свои прежние центры, т. е. что мы повернули их около их центров; тогда изложенная нами теорема обращается прямо в теорему Ньютона об органическом образовании конических сечений.
9. Если бы лучи первоначальных пучков встречались не на прямой линии, a на коническом сечении, проходящем чрез два центра их, то пучки эти всё-таки удовлетворяли бы условию равенства ангармонических отношений между четырьмя лучами одного и четырьмя соответствующими лучами другого пучка (на основании теоремы n° 2). Следовательно и после какого-нибудь перемещения этих пучков соответствующие лучи их будут опять пересекаться на коническом сечении.
10. Если пучки повернем только около их центров, то получится теорема:
