Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/312

между этими теоремами и другими важнѣйшими предложеніями, о которыхъ мы упомянули. Напротивъ, каждое изъ этихъ предложеній доказывалось совершенно особымъ образомъ и эти доказательства были всегда несравненно длиннѣе того очевиднаго доказательства, которое мы дали для общей теоремы.

20. Изъ этой же теоремы можно вывести прекрасное предложеніе Карно о соотношеніи между отрѣзками, образуемыми коническимъ сѣченіемъ на трехъ сторонахъ треугольника, взятаго въ той же плоскости, — предложеніе, которое выражаетъ такое же общее свойство шести точекъ коническаго сѣченія, какъ и теоремы Дезарга, Паскаля и Ньютона.

21. Наконецъ наше ангармоническое свойство можетъ быть представлено еще въ другой формѣ, въ которой оно является новымъ предложеніемъ, отличающимся отъ всѣхъ предыдущихъ и способнымъ къ новому роду чрезвычайно многочисленныхъ выводовъ.

Это новое предложеніе представляется въ видѣ трехчленнаго уравненія; его можно изложить такъ:

На плоскости даны двѣ сѣкущія; возьмемъ на первой изъ нихъ двѣ какія-нибудь точки $O$, $E$ и на второй двѣ также какія-нибудь точки $O'$, $E'$.

Если около неподвижныхъ полюсовъ $P$, $P'$, взятыхъ произвольно въ плоскости чертежа, будемъ обращать двѣ прямыя, втрѣчающіяся съ двумя сѣкущими соотвѣтственно въ точкахъ $a$, $a'$, опредѣляемыхъ такъ, что всегда существуетъ соотношеніе

${\frac {Oa}{Ea}}+\lambda {\frac {O'a'}{E'a'}}=\mu$,

(A.)

гдѣ $\lambda$ и $\mu$ — постоянныя.

То точка пересѣченія двухъ движущихся прямыхъ будетъ описывать коническое сѣченіе, проходящее черезъ оба полюса $P$, $P'$.

Тот же текст в современной орфографии

между этими теоремами и другими важнейшими предложениями, о которых мы упомянули. Напротив, каждое из этих предложений доказывалось совершенно особым образом и эти доказательства были всегда несравненно длиннее того очевидного доказательства, которое мы дали для общей теоремы.

20. Из этой же теоремы можно вывести прекрасное предложение Карно о соотношении между отрезками, образуемыми коническим сечением на трех сторонах треугольника, взятого в той же плоскости, — предложение, которое выражает такое же общее свойство шести точек конического сечения, как и теоремы Дезарга, Паскаля и Ньютона.

21. Наконец наше ангармоническое свойство может быть представлено еще в другой форме, в которой оно является новым предложением, отличающимся от всех предыдущих и способным к новому роду чрезвычайно многочисленных выводов.

Это новое предложение представляется в виде трехчленного уравнения; его можно изложить так:

На плоскости даны две секущие; возьмем на первой из них две какие-нибудь точки $O$, $E$ и на второй две также какие-нибудь точки $O'$, $E'$.

Если около неподвижных полюсов $P$, $P'$, взятых произвольно в плоскости чертежа, будем обращать две прямые, встречающиеся с двумя секущими соответственно в точках $a$, $a'$, определяемых так, что всегда существует соотношение

${\frac {Oa}{Ea}}+\lambda {\frac {O'a'}{E'a'}}=\mu$,

(A.)

где $\lambda$ и $\mu$ — постоянные.

То точка пересечения двух движущихся прямых будет описывать коническое сечение, проходящее через оба полюса $P$, $P'$.