произвольною сѣкущей — въ четырехъ соотвѣтствующихъ точкахъ: ангармоническое отношеніе первыхъ четырехъ точекъ равно ангармоническому отношенію четырехъ другихъ.
Въ этомъ изложеніи теорема представляетъ весьма большую общность по причинѣ неопредѣленнаго положенія двухъ сѣкущихъ.
15. Положимъ, что первая сѣкущая есть одна изъ прямыхъ, проведенныхъ черезъ вторую вершину шестиугольника, a вторая сѣкущая — одна изъ прямыхъ, проведенныхъ черезъ первую вершину; получаемая при этомъ теорема будетъ именно первая изъ теоремъ, изложенныхъ Паскалемъ въ Essai pour les coniques и выведенныхъ имъ изъ его шестиугольника.
16. Положимъ далѣе, что обѣ сѣкущія совпадаютъ съ одной изъ сторонъ шестиугольника; — получимъ теорему Дезарга объ инволюціи шести точекъ.
17. Если въ этой теоремѣ Дезарга замѣнимъ отрѣзки, заключающіеся на сѣкущей между двумя точками кривой и между четырьмя сторонами четыреугольника, — выраженіями ихъ въ функціи перпендикуляровъ, опущенныхъ изъ двухъ точекъ коническаго сѣченія на четыре стороны, то получимъ теорему:
Если изъ какой-нибудь точки коническаго сѣченія опустимъ перпендикуляры на четыре стороны вписаннаго четыреугольника, то произведеніе перпендикуляровъ, опущенныхъ на двѣ противоположныя стороны будетъ имѣть постоянное отношеніе къ произведенію двухъ другихъ перпендикуляровъ, гдѣ бы ни была взята точка коническаго сѣченія.
Вмѣсто перпендикуляровъ можно взять наклонныя, образующія со сторонами четыреугольника, къ которымъ онѣ проводятся, равные углы. Это предложеніе есть ничто иное, какъ теорема ad quatuor lineas, приводимая Паппомъ.
произвольною секущей — в четырех соответствующих точках: ангармоническое отношение первых четырех точек равно ангармоническому отношению четырех других.
В этом изложении теорема представляет весьма большую общность по причине неопределенного положения двух секущих.
15. Положим, что первая секущая есть одна из прямых, проведенных через вторую вершину шестиугольника, a вторая секущая — одна из прямых, проведенных через первую вершину; получаемая при этом теорема будет именно первая из теорем, изложенных Паскалем в Essai pour les coniques и выведенных им из его шестиугольника.
16. Положим далее, что обе секущие совпадают с одной из сторон шестиугольника; — получим теорему Дезарга об инволюции шести точек.
17. Если в этой теореме Дезарга заменим отрезки, заключающиеся на секущей между двумя точками кривой и между четырьмя сторонами четырехугольника, — выражениями их в функции перпендикуляров, опущенных из двух точек конического сечения на четыре стороны, то получим теорему:
Если из какой-нибудь точки конического сечения опустим перпендикуляры на четыре стороны вписанного четырехугольника, то произведение перпендикуляров, опущенных на две противоположные стороны будет иметь постоянное отношение к произведению двух других перпендикуляров, где бы ни была взята точка конического сечения.
Вместо перпендикуляров можно взять наклонные, образующие со сторонами четырехугольника, к которым они проводятся, равные углы. Это предложение есть ничто иное, как теорема ad quatuor lineas, приводимая Паппом.
