[268]41. Особыя теоріи въ геометріи. Въ послѣдніе тридцать лѣтъ геометрія обогатилась столь многими и разнообразными предложеніями и даже теоріями, что въ нашемъ обзорѣ ея успѣховъ за это время мы принуждены были остановиться только на важнѣйшихъ методахъ, указывая ихъ происхожденіе, характеръ и употребленіе въ раціональной геометріи.
Болѣе подробный разборъ множества сочиненій, въ которыхъ для настоящей минуты заключается будущность геометріи и зачатки ея дальнѣйшаго развитія, былъ бы безспорно очень полезенъ, но на это потребовался бы цѣлый томъ и чрезмѣрно расширились бы границы, въ которыхъ мы должны держаться.
Однако мы не можемъ не остановиться на двухъ, изъ множества другихъ отдѣловъ, которые по различнымъ причинамъ представляютъ, какъ намъ кажется, особенную важность для развитія отвлеченной геометріи и ея приложеній къ вопросамъ о явленіяхъ природы. Мы говоримъ о теоріи поверхностей втораго порядка и о геометріи сферы, т.-е. ученіи о сферическихъ фигурахъ.
Послѣднее ученіе существуетъ уже такъ давно, поверхности же втораго предмета представляютъ предметъ настолько избитый, особенно въ послѣдніе годы, что можетъ, вѣроятно, возникнуть сомнѣніе, возможно-ли еще что-нибудь сдѣлать въ этихъ двухъ отдѣлахъ геометріи и имѣютъ ли они дѣйствительно ту важность, которую мы имъ приписываемъ. Поспѣшимъ оправдать наше мнѣніе, что бы предупредить
[269]чувство недовѣрчивости, которое мы боимся встрѣтить во многихъ геометрахъ, прочитывающихъ наше сочиненіе.
42. Геометрія сферы. Геометрія сферы восходитъ до глубокой древности; она получила свое начало въ тотъ день, когда астрономъ-философъ сдѣлалъ попытку открыть связь между явленіями планетнаго міра. Мы видѣли, что Гиппархъ, Ѳеодосій, Менелай, Птоломей обладали уже значительными познаніями въ сферической тригонометріи. Но вся эта наука приводилась къ вычисленію треугольниковъ; хотя впослѣдствіи она развилась и въ рукахъ нашихъ знаменитѣйшихъ геометровъ достигла высокой степени совершенства, но всегда оставалась въ однихъ и тѣхъ же рамкахъ, потому что сохраняла всегда одно и то же назначеніе, именно — вычисленіе треугольниковъ для употребленія въ астрономіи, мореплаваніи и въ тѣхъ громадныхъ геодезическихъ работахъ, которыя открыли намъ истинную форму земнаго сфероида. Но эта наука, соотвѣтствующая почти вполнѣ ученію о прямой линіи и о треугольникахъ въ геометріи на плоскости, не составляетъ еще всей геометріи сферы. На этой кривой поверхности очевидно можно, подобно фигурамъ на плоскости, разсматривать множество различныхъ фигуръ, начиная съ круга какъ фигуры простѣйшей.
Но такое естественное распространеніе было введено въ геометрію сферы не болѣе сорока лѣтъ тому назадъ. Это сдѣлано было геометрами сѣверной Европы. Если оставить въ сторонѣ теорію сферическихъ эпициклоидъ и нѣкоторыя особыя изслѣдованія, напр. изслѣдованія Гвидо Гранди о кривыхъ, названныхъ клеліями, то мы не замѣтимъ, чтобы кто нибудь пытался разрѣшить на сферѣ задачи, подобныя задачамъ плоской геометріи, раньше Лекселя (Lexell), который въ Актахъ Петербургской Академіи (т. V и VI) изслѣдовалъ свойство круговъ проведенныхъ на сферѣ, подобныя свойствамъ круговъ на плоскости. Этому геометру обязаны мы изящною теоремою о кривой, представляющей мѣсто
[270]вершинъ сферическихъ треугольниковъ, имѣющихъ общее основаніе и одинаковую площадь.
Вскорѣ послѣ этого Фуссъ, соотечественникъ Лекселя, въ двухъ мемуарахъ (Nova Acta, t. III et IV) разрѣшилъ нѣсколько вопросовъ сферической геометріи, занимаясь преимущественно свойствами сферическаго эллипса. Это — кривая, представляющая мѣсто вершинъ треугольниковъ, имѣющихъ общее основаніе и постоянную сумму двухъ другихъ сторонъ. Фуссъ нашелъ, что эта кривая есть пересѣченіе сферы съ конусомъ втораго порядка, имѣющимъ вершину въ центрѣ сферѣ; другими словами, — это есть линія кривизны конусовъ втораго порядка[1].
Эти первыя работы Лекселя и Фусса были продолжаемы въ Актахъ Петербургской Академіи Шубертомъ[2], о которомъ мы уже говорили по тому поводу, что онъ всю сферическую тригонометрію основалъ на одной теоремѣ Птоломея[3]. Этотъ геометръ рѣшилъ многіе вопросы о геометрическихъ мѣстахъ вершины треугольника, имѣющаго неизмѣнное основаніе, какъ въ задачахъ Лекселя и Фусса, но двѣ другія стороны котораго подчиняются различнымъ другимъ условіямъ.
Этотъ новый родъ изысканій, обѣщавшій обильную жатву новыхъ и интересныхъ истинъ, остался однако такъ мало замѣченнымъ, что изъ изящной теоремы Лекселя, хотя она и помѣщалась въ многочисленныхъ изданіяхъ геометріи Лежандра, никто не вывелъ заключенія о существованіи подобной же и не менѣе интересной теоремы, получаемой изъ нея согласно теоріи дополнительныхъ фигуръ. Только въ недавнее время Sorlin получилъ прямо эту теорему въ мемуарѣ о
[271]сферической тригонометріи, въ которомъ двойственность сферическихъ фигуръ, т.-е. двоякаго рода свойства ихъ, изложены въ полномъ соотвѣтствіи между собою[4].
Весьма также недавно Магнусомъ, изъ Берлина, былъ снова выведенъ на сцену сферическій эллипсъ Фусса; Магнусъ путемъ анализа открылъ и доказалъ сперва соотвѣтственное свойство конуса и отсюда уже, какъ слѣдствіе, вывелъ свойство этого эллипса. Онъ открылъ въ немъ еще другое прекрасное свойство, аналогическое съ однимъ изъ важнѣйшихъ свойствъ плоскаго эллипса, именно: дуги двухъ большихъ круговъ, проведенныхъ изъ фокусовъ въ точку кривой, образуютъ равные углы съ дугою круга касательнаго въ этой точкѣ[5].
43. Нѣсколькими годами ранѣе другіе геометры разрѣшили различные вопросы сферической геометріи и указали аналогію ихъ съ вопросами геометріи на плоскости. Люилье, изъ Женевы, нашелъ для сферическихъ прямоугольныхъ треугольниковъ теоремы сходныя съ важнѣйшими предложеніями о прямоугольныхъ треугольникахъ на плоскости, какова напр. теорема Пиѳагора[6]; онъ опредѣлилъ также центръ среднихъ разстояній для сферическаго треугольника[7]. Жергоннъ, въ Annales de Mathématiques, предложилъ рѣшеніе различныхъ вопросовъ геометріи на сферѣ, имѣющихъ себѣ соотвѣтственные на плоскости; приведемъ напримѣръ слѣдующее прекрасное свойство сферическаго четыреугольника, принадлежащее также и плоскому четыреугольнику: если сумма двухъ противоположныхъ сторонъ равна суммѣ двухъ другихъ, то около четыреугольника можно описать кругъ[8]. Потомъ Гено (Guéneau d'Aumont); профессоръ въ
[272]Дижонѣ, открылъ въ сферическихъ четыреугольникахъ, вписанныхъ въ кругъ, характеристическое свойство, соотвѣтствующее въ дополнительныхъ фигурахъ теоремѣ Жергона: сумма двухъ противоположныхъ угловъ такого четыреугольника равна суммѣ двухъ остальныхъ[9]; это свойство есть безспорно одно изъ важнѣйшихъ въ элементахъ сферической геометріи, такъ какъ оно выражаетъ собою простое и богатое слѣдствіями соотношеніе между четырьмя точками, лежащими на одномъ маломъ кругѣ. — Кетле разсматривалъ на сферѣ многоугольники, составленные изъ дугъ большихъ или малыхъ круговъ, и далъ простую и изящную формулу для вычисленія ихъ поверхности[10]. Этотъ вопросъ уже не разъ занималъ геометровъ; прежде всего — Курсье[11], о которомъ мы уже говорили какъ о геометрѣ, построившемъ нѣкоторыя линіи двойной кривизны, затѣмъ — Д'Аламберта[12] и Боссю[13], которые прилагали къ рѣшенію аналитическіе пріемы и для которыхъ этотъ вопросъ служилъ доказательствомъ, что чистая геометрія представляетъ нерѣдко болѣе легкій и быстрый путь, нежели самыя утонченныя и остроумныя вычисленія.
44. До сихъ поръ мы встрѣтили только нѣсколько разрозненныхъ предложеній, весьма красивыхъ и способныхъ привлечь интересъ къ сферической геометріи, но еще не представляющихъ систематическаго и послѣдовательнаго изученія этого отдѣла науки о пространствѣ. Только въ послѣднее время стали пытаться основать геометрію сферы въ такомъ же видѣ, какъ существующая геометрія на плоскости. Первый пошелъ этимъ путемъ, сколько намъ извѣстно, Штейнеръ въ сочиненіи о преобразованіи и раздѣленіи сферическихъ фигуръ на основаніи графическихъ построеній
[273][14]; сочиненіе это основано на вышеупомянутой изящной теоремѣ Гено. Штейнеръ доказываетъ здѣсь предложеніе соотвѣтствующее, по способу дополнительныхъ фигуръ, теоремѣ Фусса о сферическомъ эллипсѣ[15] и находитъ двѣ дуги большихъ круговъ, играющія роль асимптоты гиперболы на плоскости. (Это тѣ самые двѣ дуги, которыя мы въ Mémoire sur les coniques sphériques назвали циклическими дугами (arcs cycliques) и къ которымъ были приведены изслѣдованіемъ круговыхъ сѣченій конуса втораго порядка).
Не можемъ входить въ дальнѣйшія подробности по поводу сочиненія Штейнера, которое написано по-нѣмецки и извѣстно намъ только по разбору, находящемуся въ Bulletin universel des sciences t. VIII, p. 298. Также кратко укажемъ на Гудермана по поводу его спеціальныхъ и глубокихъ изслѣдованій объ аналогіи между сферическими и плоскими фигурами[16].
45. Такимъ образомъ положено начало сферической геометріи въ правильной и догматической формѣ; имена геометровъ, взявшихъ на себя это дѣло, ручаются за быстрые успѣхи этого отдѣла науки о пространствѣ. Никто не станетъ
[274]оспаривать теоретической пользы подобныхъ изысканій.
Чтобы это подтвердить, достаточно замѣтить, что плоская геометрія есть не болѣе какъ частный случай сферической, именно тотъ, когда радіусъ предполагается безконечнымъ; поэтому всѣ важнѣйшія истины первой необходимо находятся въ связи съ наиболѣе общими свойствами въ послѣдней; всегда полезно разсматривать геометрическія истины въ ихъ наибольшей общности, въ ихъ, если можно такъ выразиться, наибольшей близости къ высшимъ законамъ, изысканіе которыхъ есть постоянная цѣль всѣхъ усилій геометровъ. При такой общности эти истины представляютъ такія соотношенія к аналогіи, которыя не замѣчаются въ ихъ слѣдствіяхъ, но которыя обнаруживаютъ ихъ взаимную связь и даютъ возможность восходить къ еще болѣе общимъ принципамъ, слѣды которыхъ неясны и неразличимы въ предложеніяхъ частныхъ и ограниченныхъ. Геометрія сферы, независимо отъ свойственнаго ей самой характера и безспорнаго ея значенія, заслуживаетъ слѣдовательно со стороны геометровъ вниманія и изученія уже какъ способъ обобщенія свойствъ фигуръ на плоскости. Мы уже замѣтили выше[17], что при настоящемъ состояніи геометріи обобщеніе есть самое вѣрное средство для дальнѣйшаго ея развитія и для новыхъ открытій. Трудами геометровъ должно руководить именно такое направленіе научнаго изслѣдованія[18].
Сканы, размещённые на Викискладе