[8]
§ 3. Числа и счетъ.
1. Согласно изложенному, мы можемъ соединить всѣ комплексы, имѣющiе съ однимъ изъ нихъ, а слѣдовательно, и другъ съ другомъ
[9](§ 2, 3), одинаковую мощность, въ одну систему, въ одну категорiю; такого рода категорiи, вслѣдствiе присущей имъ большой общности, находятъ себѣ широкое примѣненiе. Эти категорiи называются числами. Наименованiя, которыя они получаютъ, суть названiя чиселъ, а знаки, которыми они обозначаются на письмѣ, называются цифрами. Если
есть знакъ или названiе такого рода категорiи, въ составъ которой входитъ комплексъ
, то говорятъ, что
есть число элементовъ комплекса
или, что комплексъ
состоитъ изъ
элементовъ, или короче, что
есть число комплекса
, или
есть значенiе этого числа, или наконецъ, что комплексъ
имѣетъ мощность
[1].
Каждое число вполнѣ опредѣляется однимъ комплексомъ, принадлежащимъ соотвѣтствующей категорiи; такой комплексъ мы будемъ называть представителемъ этой категорiи.
Съ этой точки зрѣнiя числа не представляютъ собой бессодержательныхъ символовъ, надъ которыми мы оперируемъ по произвольно созданнымъ правиламъ; это есть содержательное родовое понятiе, къ которому мы были приведены практическими потребностями нашего духа и его отношенiемъ къ внѣшнему міру[2].
Всѣ комплексы, состоящiе только изъ одного элемента, имѣютъ одинаковую мощность; они образуютъ одну категорiю, число которой называется „одинъ“ и обозначается символомъ „1“.
2. Если
есть число комплекса
и
представляетъ собой элементъ, не входящiй въ составъ комплекса
, то мы будемъ обозначать число комплекса
символомъ
. Это число
не мѣняется, если мы замѣнимъ комплексъ
другимъ представителемъ числа или элементъ
другимъ элементомъ, не входящимъ въ составъ комплекса
(§ 2, 6).
[10]
Не исключена, однако, возможность, что комплексы
и
имѣютъ одинаковую мощность, такъ что
и
выражаютъ одно и то же число.
3. Если число
отлично оть
, то оно называется конечнымъ числомъ. Если-же число
совпадаетъ съ числомъ
, то оно называется безконечнымъ числомъ[3]. Число
есть конечное число. Мы апеллируемъ при этомъ къ очевидности, что два объекта (напр.
) не могутъ быть однозначно сопряжены съ однимъ объектомъ (
). Число
или
, такимъ образомъ отлично отъ
.
Если число
конечно, то и число
конечно.
Это слѣдуетъ непосредственно изъ предложенiя § 2,7.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть комплексы
,
,
будутъ представители чиселъ
,
,
; если бы комплексы
и
имѣли одинаковую мощность, то въ силу названнаго предложенiя комплексы
и
также имѣли бы одинаковую мощность, т. е.
не было бы конечнымъ числомъ.
4. Теперь мы займемся особыми комплексами
, элементами которыхъ служатъ числа (числовыми комплексами); именно, мы будемъ обозначать символомъ
комплексы, обладающiе слѣдующими двумя свойствами:
α) Число
содержится въ комплексѣ
.
β) Если въ комплексѣ
содержится число
, то въ немъ содержится и число
.
Эти два свойства во всякомъ случаѣ принадлежатъ комплексу, содержащему всѣ числа. Но существуютъ и другiе числовые комплексы, обладающiе этими свойствами.
Мы опредѣлимъ теперь натуральный рядъ чиселъ
, какъ пересѣченiе всѣхъ комплексовъ
, обладающихъ свойствами α) и β). Иными словами, мы введемъ въ составъ комплекса
тѣ и только тѣ числа, которыя фигурируютъ во всѣхъ комплексахъ
.
Согласно этому опредѣленiю, число
во всякомъ случаѣ фигурируетъ въ комплексѣ
. Кромѣ того, если въ комплексѣ
содержится
[11]число
, то въ немъ содержится также число
. Эти числа
мы будемъ называть натуральными числами.
5. Всякое натуральное число конечно, т. е. если
есть натуральное число, то оно отлично отъ числа
. Въ самомъ дѣлѣ, комплексъ
всѣхъ конечныхъ чиселъ, согласно пункту 3, удовлетворяетъ условiямъ α) и β) [4]. Слѣдовательно,
представляетъ собой одинъ изъ комплексовъ
; поэтому
входитъ въ составъ комплекса
, т. е. каждое число комплекса
конечно.
Справедливо ли также обратное предложенiе, т. е. фигурируетъ-ли каждое конечное число въ натуральномъ рядѣ, — это вопросъ, рѣшенiе котораго мы вынуждены еще отложить.
При помощи натуральнаго ряда чиселъ мы выдѣлимъ частные числовые комплексы слѣдующимъ образомъ:
6. Пусть
будетъ натуральное число; мы будемъ обозначать символомъ
числовой комплексъ, удовлетворяющiй слѣдующимъ двумъ требованiямъ:
α') Число
входитъ въ составъ комплекса
.
β') Если въ составъ комплекса
входитъ число
, то въ его составъ входитъ также число
.
Этимъ требованiямъ удовлетворяетъ самый натуральный рядъ
; но имъ удовлетворяютъ и другiе числовые комплексы; каждый такой комплексъ, какъ сказано, мы будемъ обозначать символомъ
. Теперь мы опредѣлимъ комплексъ
, какъ пересеченiе всѣхъ комплексовъ
. Въ такомъ случаѣ комплексъ
содержится въ каждомъ комплексѣ
.
Согласно этому, комплексъ
опредѣляется слѣдующими свойствами:
α'') Число
фигурируетъ въ комплексѣ
.
β'') Если число
содержится въ комплексѣ
, то въ немъ содержится также и число
.
(Для краткости мы здѣсь пишемъ
вместо
.)
Отсюда слѣдуетъ, что каждый комплексъ
представляетъ собой также комплексъ
. Если-же комплексъ
содержитъ число
, то онъ представляетъ собой въ то же время комплексъ
; но если комплексъ
числа
не содержитъ, то къ нему достаточно присоединить число
, чтобы получить комплексъ
. Въ обозначенiяхъ
[12]§2 это можно выразить слѣдующимъ образомъ:
[5]
|
|
Основываясь на этомъ, легко доказать слѣдующее предложенiе.
7. Число
не содержится въ комплексѣ
. Обозначимъ черезъ
числовой комплексъ, который образуется изъ комплекса
, если удалить изъ него число
, т. е. положимъ
. Въ такомъ случаѣ комплексъ
удовлетворяетъ условiямъ α') и β') предыдущаго пункта при
, и потому
представляетъ собой комплексъ
. Съ другой стороны, комплексъ
содержится во всякомъ комплексѣ
; въ самомъ дѣлѣ, если къ какому-либо комплексу
присоединимъ число
, то получимъ комплексъ
; если бы поэтому существовалъ такой комплексъ
, въ которомъ не содержался бы комплексъ
, то присоединивъ къ нему
, мы получили бы такой комплексъ
, въ которомъ не содержался бы комплексъ
, — что противорѣчитъ опредѣленiю натуральнаго ряда [6].
8. Если число
не содержится въ комплексѣ
, то число
не содержится въ комплексѣ
.
Въ самомъ дѣлѣ, если число
не входитъ въ составъ комплекса
, то оно не входитъ также въ составъ комплекса
; поэтому комплексъ
удовлетворяетъ требованiямъ α'') и β''), a потому
[13]представляетъ собой комплексъ
. Съ другой стороны, комплексъ
содержится въ каждомъ комплексѣ
; дѣйствительно,
есть комплексъ
(п. 6), и потому содержитъ комплексъ
; слѣдовательно, комплексъ
содержитъ
, т. е.
. Изъ сказаннаго вытекаетъ, что
.
9. Число
не содержится въ комплексѣ
.
Действительно, обозначимъ черезъ
комплексъ чиселъ
, удовлетворяющихъ требованiю, что комплексъ
не содержитъ числа
; въ такомъ случаѣ, согласно п. 7, число
входитъ въ составъ комплекса
. Съ другой стороны, въ виду п. 8, если въ составъ комплекса
входитъ число
, то въ его составъ входитъ также число
. Вслѣдствiе этого комплексъ
представляетъ собой комплексъ
, и потому содержитъ въ себе натуральный рядъ (п. 4). А такъ какъ индексъ
въ обозначенiи комплекса
, согласно определенiю (п. 6), есть натуральное число, то оно входитъ въ составъ комплекса
, т. е. комплексъ
, не содержитъ числа
.
10. Если число
содержится въ комплексѣ
, то комплексъ
содержится въ комплексѣ
.
Дѣйствительно, если комплексъ
содержитъ число
, то онъ содержитъ также число
; а такъ какъ онъ удовлетворяетъ также условiю β'), то онъ при этихъ условiяхъ представляетъ собой комплексь
, и потому содержитъ въ себѣ комплексъ
(п. 6).
11. Если число
содержится въ комплексѣ
, то число
не содержится въ комплексе
.
Согласно п. 9, число
не содержится въ комплексѣ
; поэтому, при условiяхъ заданiя, оно не можетъ содержаться и въ комплексѣ
,
[14]такъ какъ всѣ элементы послѣдняго комплекса въ этомъ случаѣ принадлежатъ комплексу
(п. 10).
Мы будемъ называть комплексъ
совокупность натуральныхъ чиселъ, которыя больше числа
. Если
есть число комплекса
, то мы будемъ говорить, что число „
больше числа
“ и будемъ выражать это въ знакахъ такъ:
.
|
|
Въ этой терминологiи предложенiя п. п. 9, 10 и 11 могутъ быть выражены такъ:
9*. Число
не больше числа
.
10*. Если число
больше числа
, а число
больше числа
, то число
больше числа
.
11*. Если число
больше числа
, то число
не больше
числа
.
12. Каждое натуральное число
, за исключенiемъ
, можетъ быть получено изъ нѣкотораго опредѣленнаго натуральнаго числа
прибавленiемъ къ нему единицы, т. е. существуетъ опредѣленное такое число
, что
. Это число
мы будемъ обозначать символомъ
.
Чтобы доказать высказанное утвержденiе, обозначимъ черезъ
комплексъ, содержащiй всѣ числа вида
, гдѣ
есть натуральное число. Въ составъ этого комплекса входитъ число
, т. е.
; кромѣ того, если число
входитъ въ составъ этого комплекса, то въ немъ содержится и число
. Слѣдовательно, комплексъ
удовлетворяетъ требованiямъ α') и β') п. 6 при
, и потому представляетъ собой комплексъ
; такимъ образомъ комплексъ
, входитъ въ составъ комплекса
. Но съ другой стороны, каждое число комплекса
входитъ въ составъ комплекса
, ибо послѣднiй содержитъ всѣ натуральныя числа, кромѣ
; вслѣдствiе этого комплексы
и
совпадаютъ.
Итакъ, каждое число комплекса
, можетъ быть представлено въ видѣ
. Что же касается того, что данному числу
отвѣчаетъ только одно число
, то это вытекаетъ изъ предложенiя § 2, 7; въ самомъ дѣлѣ, согласно этому предложенiю, если
представляетъ собой комплексъ мощности
и
есть какой либо элементъ этого комплекса, то всѣ комплексы
имѣютъ одинаковую мощность.