[8]
§ 3. Числа и счетъ.
1. Согласно изложенному, мы можемъ соединить всѣ комплексы, имѣющiе съ однимъ изъ нихъ, а слѣдовательно, и другъ съ другомъ
[9](§ 2, 3), одинаковую мощность, въ одну систему, въ одну категорiю; такого рода категорiи, вслѣдствiе присущей имъ большой общности, находятъ себѣ широкое примѣненiе. Эти категорiи называются числами. Наименованiя, которыя они получаютъ, суть названiя чиселъ, а знаки, которыми они обозначаются на письмѣ, называются цифрами. Если есть знакъ или названiе такого рода категорiи, въ составъ которой входитъ комплексъ , то говорятъ, что есть число элементовъ комплекса или, что комплексъ состоитъ изъ элементовъ, или короче, что есть число комплекса , или есть значенiе этого числа, или наконецъ, что комплексъ имѣетъ мощность [1].
Каждое число вполнѣ опредѣляется однимъ комплексомъ, принадлежащимъ соотвѣтствующей категорiи; такой комплексъ мы будемъ называть представителемъ этой категорiи.
Съ этой точки зрѣнiя числа не представляютъ собой бессодержательныхъ символовъ, надъ которыми мы оперируемъ по произвольно созданнымъ правиламъ; это есть содержательное родовое понятiе, къ которому мы были приведены практическими потребностями нашего духа и его отношенiемъ къ внѣшнему міру[2].
Всѣ комплексы, состоящiе только изъ одного элемента, имѣютъ одинаковую мощность; они образуютъ одну категорiю, число которой называется „одинъ“ и обозначается символомъ „1“.
2. Если есть число комплекса и представляетъ собой элементъ, не входящiй въ составъ комплекса , то мы будемъ обозначать число комплекса символомъ . Это число не мѣняется, если мы замѣнимъ комплексъ другимъ представителемъ числа или элементъ другимъ элементомъ, не входящимъ въ составъ комплекса (§ 2, 6).
[10]
Не исключена, однако, возможность, что комплексы и имѣютъ одинаковую мощность, такъ что и выражаютъ одно и то же число.
3. Если число отлично оть , то оно называется конечнымъ числомъ. Если-же число совпадаетъ съ числомъ , то оно называется безконечнымъ числомъ[3]. Число есть конечное число. Мы апеллируемъ при этомъ къ очевидности, что два объекта (напр. ) не могутъ быть однозначно сопряжены съ однимъ объектомъ (). Число или , такимъ образомъ отлично отъ .
Если число конечно, то и число конечно.
Это слѣдуетъ непосредственно изъ предложенiя § 2,7.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть комплексы , , будутъ представители чиселъ , , ; если бы комплексы и имѣли одинаковую мощность, то въ силу названнаго предложенiя комплексы и также имѣли бы одинаковую мощность, т. е. не было бы конечнымъ числомъ.
4. Теперь мы займемся особыми комплексами , элементами которыхъ служатъ числа (числовыми комплексами); именно, мы будемъ обозначать символомъ комплексы, обладающiе слѣдующими двумя свойствами:
α) Число содержится въ комплексѣ .
β) Если въ комплексѣ содержится число , то въ немъ содержится и число .
Эти два свойства во всякомъ случаѣ принадлежатъ комплексу, содержащему всѣ числа. Но существуютъ и другiе числовые комплексы, обладающiе этими свойствами.
Мы опредѣлимъ теперь натуральный рядъ чиселъ , какъ пересѣченiе всѣхъ комплексовъ , обладающихъ свойствами α) и β). Иными словами, мы введемъ въ составъ комплекса тѣ и только тѣ числа, которыя фигурируютъ во всѣхъ комплексахъ .
Согласно этому опредѣленiю, число во всякомъ случаѣ фигурируетъ въ комплексѣ . Кромѣ того, если въ комплексѣ содержится
[11]число , то въ немъ содержится также число . Эти числа мы будемъ называть натуральными числами.
5. Всякое натуральное число конечно, т. е. если есть натуральное число, то оно отлично отъ числа . Въ самомъ дѣлѣ, комплексъ всѣхъ конечныхъ чиселъ, согласно пункту 3, удовлетворяетъ условiямъ α) и β) [4]. Слѣдовательно, представляетъ собой одинъ изъ комплексовъ ; поэтому входитъ въ составъ комплекса , т. е. каждое число комплекса конечно.
Справедливо ли также обратное предложенiе, т. е. фигурируетъ-ли каждое конечное число въ натуральномъ рядѣ, — это вопросъ, рѣшенiе котораго мы вынуждены еще отложить.
При помощи натуральнаго ряда чиселъ мы выдѣлимъ частные числовые комплексы слѣдующимъ образомъ:
6. Пусть будетъ натуральное число; мы будемъ обозначать символомъ числовой комплексъ, удовлетворяющiй слѣдующимъ двумъ требованiямъ:
α') Число входитъ въ составъ комплекса .
β') Если въ составъ комплекса входитъ число , то въ его составъ входитъ также число .
Этимъ требованiямъ удовлетворяетъ самый натуральный рядъ ; но имъ удовлетворяютъ и другiе числовые комплексы; каждый такой комплексъ, какъ сказано, мы будемъ обозначать символомъ . Теперь мы опредѣлимъ комплексъ , какъ пересеченiе всѣхъ комплексовъ . Въ такомъ случаѣ комплексъ содержится въ каждомъ комплексѣ .
Согласно этому, комплексъ опредѣляется слѣдующими свойствами:
α'') Число фигурируетъ въ комплексѣ .
β'') Если число содержится въ комплексѣ , то въ немъ содержится также и число .
(Для краткости мы здѣсь пишемъ вместо .)
Отсюда слѣдуетъ, что каждый комплексъ представляетъ собой также комплексъ . Если-же комплексъ содержитъ число , то онъ представляетъ собой въ то же время комплексъ ; но если комплексъ числа не содержитъ, то къ нему достаточно присоединить число , чтобы получить комплексъ . Въ обозначенiяхъ
[12]§2 это можно выразить слѣдующимъ образомъ:
[5]
|
|
Основываясь на этомъ, легко доказать слѣдующее предложенiе.
7. Число не содержится въ комплексѣ . Обозначимъ черезъ числовой комплексъ, который образуется изъ комплекса , если удалить изъ него число , т. е. положимъ . Въ такомъ случаѣ комплексъ удовлетворяетъ условiямъ α') и β') предыдущаго пункта при , и потому представляетъ собой комплексъ . Съ другой стороны, комплексъ содержится во всякомъ комплексѣ ; въ самомъ дѣлѣ, если къ какому-либо комплексу присоединимъ число , то получимъ комплексъ ; если бы поэтому существовалъ такой комплексъ , въ которомъ не содержался бы комплексъ , то присоединивъ къ нему , мы получили бы такой комплексъ , въ которомъ не содержался бы комплексъ , — что противорѣчитъ опредѣленiю натуральнаго ряда [6].
8. Если число не содержится въ комплексѣ , то число не содержится въ комплексѣ .
Въ самомъ дѣлѣ, если число не входитъ въ составъ комплекса , то оно не входитъ также въ составъ комплекса ; поэтому комплексъ удовлетворяетъ требованiямъ α'') и β''), a потому
[13]представляетъ собой комплексъ . Съ другой стороны, комплексъ содержится въ каждомъ комплексѣ ; дѣйствительно, есть комплексъ (п. 6), и потому содержитъ комплексъ ; слѣдовательно, комплексъ содержитъ , т. е. . Изъ сказаннаго вытекаетъ, что .
9. Число не содержится въ комплексѣ .
Действительно, обозначимъ черезъ комплексъ чиселъ , удовлетворяющихъ требованiю, что комплексъ не содержитъ числа ; въ такомъ случаѣ, согласно п. 7, число входитъ въ составъ комплекса . Съ другой стороны, въ виду п. 8, если въ составъ комплекса входитъ число , то въ его составъ входитъ также число . Вслѣдствiе этого комплексъ представляетъ собой комплексъ , и потому содержитъ въ себе натуральный рядъ (п. 4). А такъ какъ индексъ въ обозначенiи комплекса , согласно определенiю (п. 6), есть натуральное число, то оно входитъ въ составъ комплекса , т. е. комплексъ , не содержитъ числа .
10. Если число содержится въ комплексѣ , то комплексъ содержится въ комплексѣ .
Дѣйствительно, если комплексъ содержитъ число , то онъ содержитъ также число ; а такъ какъ онъ удовлетворяетъ также условiю β'), то онъ при этихъ условiяхъ представляетъ собой комплексь , и потому содержитъ въ себѣ комплексъ (п. 6).
11. Если число содержится въ комплексѣ , то число не содержится въ комплексе .
Согласно п. 9, число не содержится въ комплексѣ ; поэтому, при условiяхъ заданiя, оно не можетъ содержаться и въ комплексѣ ,
[14]такъ какъ всѣ элементы послѣдняго комплекса въ этомъ случаѣ принадлежатъ комплексу (п. 10).
Мы будемъ называть комплексъ совокупность натуральныхъ чиселъ, которыя больше числа . Если есть число комплекса , то мы будемъ говорить, что число „ больше числа “ и будемъ выражать это въ знакахъ такъ:
.
|
|
Въ этой терминологiи предложенiя п. п. 9, 10 и 11 могутъ быть выражены такъ:
9*. Число не больше числа .
10*. Если число больше числа , а число больше числа
, то число больше числа .
11*. Если число больше числа , то число не больше
числа .
12. Каждое натуральное число , за исключенiемъ , можетъ быть получено изъ нѣкотораго опредѣленнаго натуральнаго числа прибавленiемъ къ нему единицы, т. е. существуетъ опредѣленное такое число , что . Это число мы будемъ обозначать символомъ .
Чтобы доказать высказанное утвержденiе, обозначимъ черезъ комплексъ, содержащiй всѣ числа вида , гдѣ есть натуральное число. Въ составъ этого комплекса входитъ число , т. е. ; кромѣ того, если число входитъ въ составъ этого комплекса, то въ немъ содержится и число . Слѣдовательно, комплексъ удовлетворяетъ требованiямъ α') и β') п. 6 при , и потому представляетъ собой комплексъ ; такимъ образомъ комплексъ , входитъ въ составъ комплекса . Но съ другой стороны, каждое число комплекса входитъ въ составъ комплекса , ибо послѣднiй содержитъ всѣ натуральныя числа, кромѣ ; вслѣдствiе этого комплексы и совпадаютъ.
Итакъ, каждое число комплекса , можетъ быть представлено въ видѣ . Что же касается того, что данному числу отвѣчаетъ только одно число , то это вытекаетъ изъ предложенiя § 2, 7; въ самомъ дѣлѣ, согласно этому предложенiю, если представляетъ собой комплексъ мощности и есть какой либо элементъ этого комплекса, то всѣ комплексы имѣютъ одинаковую мощность.