Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/29

такъ какъ всѣ элементы послѣдняго комплекса въ этомъ случаѣ принадлежатъ комплексу $N_{a}$ (п. 10).

Мы будемъ называть комплексъ $N_{a}$ совокупность натуральныхъ чиселъ, которыя больше числа $a$. Если $b$ есть число комплекса $N_{a}$, то мы будемъ говорить, что число „$b$ больше числа $a$“ и будемъ выражать это въ знакахъ такъ:

$b>a$.

Въ этой терминологiи предложенiя п. п. 9, 10 и 11 могутъ быть выражены такъ:

9^*. Число $a$ не больше числа $a$.

10^*. Если число $b$ больше числа $a$, а число $c$ больше числа $b$, то число $c$ больше числа $a$.

11^*. Если число $b$ больше числа $a$, то число $a$ не больше числа $b$.

12. Каждое натуральное число $n$, за исключенiемъ $1$, можетъ быть получено изъ нѣкотораго опредѣленнаго натуральнаго числа $m$ прибавленiемъ къ нему единицы, т. е. существуетъ опредѣленное такое число $m$, что $n=m+1$. Это число $m$ мы будемъ обозначать символомъ $n-1$.

Чтобы доказать высказанное утвержденiе, обозначимъ черезъ $N'$ комплексъ, содержащiй всѣ числа вида $m+1$, гдѣ $m$ есть натуральное число. Въ составъ этого комплекса входитъ число $2$, т. е. $(1+1)$; кромѣ того, если число $a$ входитъ въ составъ этого комплекса, то въ немъ содержится и число $a+1$. Слѣдовательно, комплексъ $N'$ удовлетворяетъ требованiямъ α') и β') п. 6 при $a=1$, и потому представляетъ собой комплексъ $Z_{1}$; такимъ образомъ комплексъ $N_{1}$, входитъ въ составъ комплекса $N'$. Но съ другой стороны, каждое число комплекса $N'$ входитъ въ составъ комплекса $N_{1}$, ибо послѣднiй содержитъ всѣ натуральныя числа, кромѣ $1$; вслѣдствiе этого комплексы $N_{1}$ и $N'$ совпадаютъ.

Итакъ, каждое число комплекса $N_{1}$, можетъ быть представлено въ видѣ $m+1$. Что же касается того, что данному числу $m+1$ отвѣчаетъ только одно число $m$, то это вытекаетъ изъ предложенiя § 2, 7; въ самомъ дѣлѣ, согласно этому предложенiю, если $A$ представляетъ собой комплексъ мощности $a+1$ и $\alpha$ есть какой либо элементъ этого комплекса, то всѣ комплексы $A-\alpha$ имѣютъ одинаковую мощность.

Тот же текст в современной орфографии

так как все элементы последнего комплекса в этом случае принадлежат комплексу $N_{a}$ (п. 10).

Мы будем называть комплекс $N_{a}$ совокупность натуральных чисел, которые больше числа $a$. Если $b$ есть число комплекса $N_{a}$, то мы будем говорить, что число «$b$ больше числа $a$» и будем выражать это в знаках так:

$b>a$.

В этой терминологии предложения п. п. 9, 10 и 11 могут быть выражены так:

9^*. Число $a$ не больше числа $a$.

10^*. Если число $b$ больше числа $a$, а число $c$ больше числа $b$, то число $c$ больше числа $a$.

11^*. Если число $b$ больше числа $a$, то число $a$ не больше числа $b$.

12. Каждое натуральное число $n$, за исключением $1$, может быть получено из некоторого определённого натурального числа $m$ прибавлением к нему единицы, т. е. существует определённое такое число $m$, что $n=m+1$. Это число $m$ мы будем обозначать символом $n-1$.

Чтобы доказать высказанное утверждение, обозначим через $N'$ комплекс, содержащий все числа вида $m+1$, где $m$ есть натуральное число. В состав этого комплекса входит число $2$, т. е. $(1+1)$; кроме того, если число $a$ входит в состав этого комплекса, то в нём содержится и число $a+1$. Следовательно, комплекс $N'$ удовлетворяет требованиям α') и β') п. 6 при $a=1$, и потому представляет собой комплекс $Z_{1}$; таким образом комплекс $N_{1}$, входит в состав комплекса $N'$. Но с другой стороны, каждое число комплекса $N'$ входит в состав комплекса $N_{1}$, ибо последний содержит все натуральные числа, кроме $1$; вследствие этого комплексы $N_{1}$ и $N'$ совпадают.

Итак, каждое число комплекса $N_{1}$, может быть представлено в виде $m+1$. Что же касается того, что данному числу $m+1$ отвечает только одно число $m$, то это вытекает из предложения § 2, 7; в самом деле, согласно этому предложению, если $A$ представляет собой комплекс мощности $a+1$ и $\alpha$ есть какой-либо элемент этого комплекса, то все комплексы $A-\alpha$ имеют одинаковую мощность.

---

§ 4. Теорема о совершенной индукцiи.

На этомъ точномъ опредѣленiи натуральнаго ряда чиселъ покоится предложенiе, представляющее собой одно изъ наиболѣе важныхъ и плодотворныхъ средствъ для познаванiя математическихъ истинъ; это есть

Тот же текст в современной орфографии

§ 4. Теорема о совершенной индукции.

На этом точном определении натурального ряда чисел покоится предложение, представляющее собой одно из наиболее важных и плодотворных средств для познавания математических истин; это есть