Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/23

Точно такъ же, если комплексы $A$ и $B$ не имѣютъ общихъ элементовъ и комплексъ $C$ составляетъ часть комплекса $B$, то

$(A+B)-C=A+(B-C)$;

если же $B$ eсть часть комплекса $A$, а $C$ часть комплекса $B$, то

$A-(B-C)=(A-B)+C$.

6. Если $A$ и $B$ суть комплексы одинаковой мощности и $\alpha$ представляетъ собой элементъ, не входящiй въ составъ комплекса $A$, а $\beta$ есть элементъ, не входящiй въ составъ $B$, то комплексы $A+\alpha$ и $B+\beta$ имѣютъ одинаковую мощность.

Дѣйствительно, если установлено однозначное соотвѣтствiе между комплексами $A$ и $B$, то достаточно отнести элементъ $\alpha$ къ элементу $\beta$, чтобы установить однозначное cooтвѣтствiе между комплексами $A+\alpha$ и $B+\beta$.

Если всѣ элементы комплекса $B$ входятъ также въ составъ комплекса $A$, то мы будемъ говорить, что комплексъ $B$ содержится въ комплексѣ $A$; при этомъ $B$ либо совпадаетъ съ $A$, либо составляетъ правильную часть его.

Вмѣстѣ съ тѣмъ имѣетъ мѣсто слѣдующее предложенiе:

7. Если комплексы $A$ и $B$ имѣютъ одинаковую мощность и $\alpha$ представляетъ собой элементъ комплекса $A$, а $\beta$ элементъ комплекса $B$, то $A-\alpha$ и $B-\beta$ суть комплексы одинаковой мощности.

Въ самомъ дѣлѣ, если комплексы $A$ и $B$ имѣютъ одинаковую мощность, то между ними можетъ быть установлено однозначное соотвѣтствiе. Если при этомъ соотвѣтствiи элементъ $\alpha$ связанъ съ элементомъ $\beta$, то достаточно опустить эту пару элементовъ и сохранить тѣ же соотношенiя между остальными элементами, чтобы комплексъ $A-\alpha$ былъ однозначно сопряженъ съ комплексомъ $B-\beta$. Если же $\alpha$ связанъ съ элементомъ $\beta '$ комплекса $B$, отличнымъ отъ элемента $\beta$, и слѣдовательно, элементъ $\beta$, въ свою очередь, связанъ съ нѣкоторымъ элементомъ $\alpha '$ комплекса $A$, отличнымъ отъ $\alpha$, то достаточно опустить элементы $\alpha$ и $\beta$ и связать другъ съ другомъ элементы $\alpha '$ и $\beta '$; этимъ будетъ вновь установлено однозначное соотвѣтствiе между комплексами $A-\alpha$ и $B-\beta$, и они имѣютъ, слѣдовательно, одинаковую мощность, какъ это требовалось доказать.

Тот же текст в современной орфографии

Точно так же, если комплексы $A$ и $B$ не имеют общих элементов и комплекс $C$ составляет часть комплекса $B$, то

$(A+B)-C=A+(B-C)$;

если же $B$ eсть часть комплекса $A$, а $C$ часть комплекса $B$, то

$A-(B-C)=(A-B)+C$.

6. Если $A$ и $B$ суть комплексы одинаковой мощности и $\alpha$ представляет собой элемент, не входящий в состав комплекса $A$, а $\beta$ есть элемент, не входящий в состав $B$, то комплексы $A+\alpha$ и $B+\beta$ имеют одинаковую мощность.

Действительно, если установлено однозначное соответствие между комплексами $A$ и $B$, то достаточно отнести элемент $\alpha$ к элементу $\beta$, чтобы установить однозначное cooтветствие между комплексами $A+\alpha$ и $B+\beta$.

Если все элементы комплекса $B$ входят также в состав комплекса $A$, то мы будем говорить, что комплекс $B$ содержится в комплексе $A$; при этом $B$ либо совпадает с $A$, либо составляет правильную часть его.

Вместе с тем имеет место следующее предложение:

7. Если комплексы $A$ и $B$ имеют одинаковую мощность и $\alpha$ представляет собой элемент комплекса $A$, а $\beta$ элемент комплекса $B$, то $A-\alpha$ и $B-\beta$ суть комплексы одинаковой мощности.

В самом деле, если комплексы $A$ и $B$ имеют одинаковую мощность, то между ними может быть установлено однозначное соответствие. Если при этом соответствии элемент $\alpha$ связан с элементом $\beta$, то достаточно опустить эту пару элементов и сохранить те же соотношения между остальными элементами, чтобы комплекс $A-\alpha$ был однозначно сопряжён с комплексом $B-\beta$. Если же $\alpha$ связан с элементом $\beta '$ комплекса $B$, отличным от элемента $\beta$, и следовательно, элемент $\beta$, в свою очередь, связан с некоторым элементом $\alpha '$ комплекса $A$, отличным от $\alpha$, то достаточно опустить элементы $\alpha$ и $\beta$ и связать друг с другом элементы $\alpha '$ и $\beta '$; этим будет вновь установлено однозначное соответствие между комплексами $A-\alpha$ и $B-\beta$, и они имеют, следовательно, одинаковую мощность, как это требовалось доказать.

---

§ 3. Числа и счетъ.

1. Согласно изложенному, мы можемъ соединить всѣ комплексы, имѣющiе съ однимъ изъ нихъ, а слѣдовательно, и другъ съ другомъ

Тот же текст в современной орфографии

§ 3. Числа и счёт.

1. Согласно изложенному, мы можем соединить все комплексы, имеющие с одним из них, а следовательно, и друг с другом